2016高考數(shù)學大一輪復習2.9函數(shù)模型及其應用教師用書理蘇教版

1、§2.9函數(shù)模型及其應用1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b (k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單

2、調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax2.解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義以上過程用框圖表示如下：【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)函數(shù)y2

3、x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大(×)(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快(×)(3)不存在x0，使<x<logax0.(×)(4)美緣公司2013年上市的一種化妝品，由于脫銷，在2014年曾提價25%,2015年想要恢復成原價，則應降價25%.(×)(5)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，恒有h(x)<f(x)<g(x)()1(2014·湖南改編)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，

4、第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為_答案1解析設年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)，x1.2某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站_千米處答案5解析由題意得，y1，y2k2x，其中x>0，當x10時，代入兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k120，k2，y1y2x28，當且僅當x，即x5時取等號3.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降

5、低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為_答案15,12解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180，當y12時，S有最大值，此時x15.4(2014·北京改編)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為_分鐘答案3.75解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5

6、)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以當t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘.題型一二次函數(shù)模型例1某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段，已知跳水板AB長為2 m，跳水板距水面CD的高BC為3 m，CE5 m，CF6 m，為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點h m(h1)時達到距水面最大高度4 m，規(guī)定：以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標系(1)當h1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到壓水花的訓練要求，求達到壓水花的訓練要求時

7、h的取值范圍解(1)由題意知最高點為(2h,4)，h1，設拋物線方程為yax(2h)24，當h1時，最高點為(3,4)，方程為ya(x3)24，將A(2,3)代入，得3a(23)24，解得a1.當h1時，跳水曲線所在的拋物線方程為y(x3)24.(2)將點A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21，所以a.由題意，得方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內(nèi)有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，則f(5)(3h)240，且f(6)(4h)240.解得1h.所以達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍為1，思維升華實際生活中的二次函數(shù)問題(如面積、利潤、產(chǎn)量等)，可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型

8、，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點解決，解題中一定要注意函數(shù)的定義域某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(xN*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，則每輛客車營運_年時，其營運的年平均利潤最大答案5解析由題圖可得營運總利潤y(x6)211，則營運的年平均利潤x12，xN*，2122，當且僅當x，即x5時取“”x5時營運的年平均利潤最大題型二指數(shù)函數(shù)模型例2(1)一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛

9、員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過_小時才能開車(精確到1小時)(2)里氏震級M的計算公式：Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍答案(1)5(2)610 000解析(1)設經(jīng)過x小時才能開車由題意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小為5.(2)由Mlg Alg A0知，Mlg 1 000lg 0.0013(3)6

10、，此次地震的震級為6級設9級地震的最大振幅為A1,5級地震的最大振幅為A2，則lglg A1lg A2(lg A1lg A0)(lg A2lg A0)954.10410 000，9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10 000倍思維升華一般地，涉及增長率問題、存蓄利息問題、細胞分裂問題等，都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解求解時注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實際問題中的條件限制某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k_，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為_個答案2ln 21 024解析當t0.5時

11、，y2，2，k2ln 2，ye2tln 2，當t5時，ye10ln 22101 024.題型三分段函數(shù)模型例3中共十八屆三中全會提出要努力建設社會主義文化強國為響應中央號召某市2016年計劃投入600萬元加強民族文化基礎(chǔ)設施改造據(jù)調(diào)查，改造后預計該市在一個月內(nèi)(以30天計)，民族文化旅游人數(shù)f(x)(萬人)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(x)4(1)，人均消費g(x)(元)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(x)104|x23|.(1)求該市旅游日收益p(x)(萬元)與時間x(1x30，xN*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若以最低日收益的15%為純收入，該市對純收入按1.5%的稅率來收回投資，按此

12、預計兩年內(nèi)能否收回全部投資解(1)由題意知p(x)f(x)g(x)4(1)(104|x23|)(1x30，xN*)(2)由p(x)當1x23時，p(x)4(1)(81x)4(82x)4(822)400，當且僅當x，即x9時p(x)取得最小值400.當23<x30時，p(x)4(1)(127x)4(126x)設h(x)x，則h(x)在(23,30上為減函數(shù)，則p(x)在(23,30上也是減函數(shù)，所以當x30時，p(x)min4(12630)400>400.所以當x9時，p(x)取得最小值400萬元則兩年內(nèi)的稅收為400×15%×30×12×2&

13、#215;1.5%648>600，所以600萬元的投資可以在兩年內(nèi)收回思維升華(1)分段函數(shù)的特征主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同分段函數(shù)模型的最值問題，應該先求出每一段上的最值，然后比較大小(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，保證不重不漏某學校制定獎勵條例，對在教育教學中取得優(yōu)異成績的教職工實行獎勵，其中有一個獎勵項目是針對學生高考成績的高低對任課教師進行獎勵的獎勵公式為f(n)k(n)(n10)，n>10(其中n是任課教師所在班級學生參加高考該任課教師所任學科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學任課教師，甲所教

14、的學生高考數(shù)學平均分超出省平均分18分，而乙所教的學生高考數(shù)學平均分超出省平均分21分則乙所得獎勵比甲所得獎勵多_元答案1 700解析k(18)200(元)，f(18)200×(1810)1 600(元)又k(21)300(元)，f(21)300×(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)函數(shù)應用問題典例：(14分)某工廠統(tǒng)計資料顯示，一種產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x(xN*,80x100)件之間的關(guān)系如下表所示：日產(chǎn)量x808182x9899100次品率pp(x)其中p(x)(a為常數(shù))已知生產(chǎn)一件正品盈利k元，生產(chǎn)一件次品損失元(k

15、為給定常數(shù))(1)求出a，并將該廠的日盈利額y(元)表示為日生產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)為了獲得最大盈利，該廠的日生產(chǎn)量應該定為多少件？思維點撥(1)首先根據(jù)圖表確定次品率p(x)，利用“日盈利額正品盈利總額次品損失總額”求出y關(guān)于x的函數(shù)；(2)求第(1)步建立函數(shù)模型的最大值解(1)根據(jù)列表數(shù)據(jù)可得a108，所以p(x)(xN*,80x100)，2分由題意，當日產(chǎn)量為x時，次品數(shù)為·x，正品數(shù)為(1)·x，3分所以y(1)·x·k·x·k，6分整理得ykx(3)(xN*,80x100)7分(2)令t108x，t8,28，tN*.8

16、分則yk(108t)(3)k3283(t)k(3283×2·)k.12分當且僅當t，即t12時取得最大盈利，此時x96.13分答為了取得最大盈利，該工廠的日生產(chǎn)量應定為96件14分解函數(shù)應用題的一般程序：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；第三步：解模求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義第五步：反思對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結(jié)果，必須驗證這個數(shù)學結(jié)果對實際問題的合理性溫馨提醒(1)本題函數(shù)模型的建立分為兩個階段：先求次品率p(x)，再求日盈利額關(guān)于日

17、產(chǎn)量x的函數(shù)，要在充分理解題意的基礎(chǔ)上建模；(2)求函數(shù)模型的最值時一定要考慮函數(shù)的定義域；解題步驟的最后要對所求問題作答.方法與技巧1認真分析題意，合理選擇數(shù)學模型是解決應用問題的基礎(chǔ)2實際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求得最值3解函數(shù)應用題的四個步驟：審題；建模；解模；還原失誤與防范1函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤所以，要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型2要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學結(jié)果對實際問題的合理性.A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1某家具的標價為1

18、32元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是_元答案108解析設進貨價為a元，由題意知132×(110%)a10%·a，解得a108.2若一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為_答案解析根據(jù)題意得解析式為h205t(0t4)，其圖象為.3利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y30x4 000，則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量為_噸答案200解析依題意，得每噸的成本為30，則2 301

19、0，當且僅當，即x200時取等號，因此，當每噸成本最低時，年產(chǎn)量為200噸4.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差_元答案10解析設A種方式對應的函數(shù)解析式為sk1t20，B種方式對應的函數(shù)解析式為sk2t，當t100時，100k120100k2，k2k1，t150時，150k2150k120150×2010.5某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(

20、單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是_萬元答案43解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.1×32.因為x0,16，且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元6如圖是某質(zhì)點在4秒鐘內(nèi)作直線運動時，速度函數(shù)vv(t)的圖象，則該質(zhì)點運動的總路程為_cm.答案11解析總路程為(24)×1×4×1×2×411.7一個容器裝有細沙a c

21、m3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_ min，容器中的沙子只有開始時的八分之一答案16解析當t0時，ya，當t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.8某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元現(xiàn)某

22、人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_ km.答案9解析設出租車行駛x km時，付費y元，則y由y22.6，解得x9.9某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億千瓦時本年度計劃將電價調(diào)至0.55元0.75元之間，經(jīng)測算，若電價調(diào)至x元，則本年度新增用電量y(億千瓦時)與(x0.4)(元)成反比例又當x0.65時，y0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每千瓦時電的成本價為0.3元，則電價調(diào)至多少時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？收益用電量×(實際電價成本價)解(1)y與(x0.4)成反比例，設y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0

23、.2.y，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.(2)根據(jù)題意，得(1)·(x0.3)1×(0.80.3)×(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.經(jīng)檢驗x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范圍是0.550.75，故x0.5不符合題意，應舍去x0.6.當電價調(diào)至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.10“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)當x不超過4尾/立方米時，v的值為2

24、千克/年；當4<x20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年(1)當0<x20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值解(1)由題意得當0<x4時，v2；當4<x20時，設vaxb，顯然vaxb在(4,20內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以vx，故函數(shù)v(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)當0<x4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)maxf(4)4×28；當4<x20時，f(x)x2x(x220x)(x1

25、0)2，f(x)maxf(10)12.5.所以當0<x20時，f(x)的最大值為12.5.即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米B組專項能力提升(時間：20分鐘)1某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)yf(x)的圖象，當血液中藥物殘留量不小于240毫克時，治療有效設某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲的時間應為_上午10：00; 中午12：00；下午4：00; 下午6：00.答案解析當x0,4時，設yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.當x4,20時，設yk2xb.把(4,320)，

26、(20,0)分別代入可得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或4<x8，3x8.故第二次服藥最遲應在當日下午4：00.2我國為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，除了應征稅收外，還征收附加稅已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶；若每銷售100元國家要征附加稅x元(叫做稅率x%)，則每年銷售量將減少10x萬瓶，如果要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值為_答案2解析由分析可知，每年此項經(jīng)營中所收取的附加稅額為104·(10010x)·70·，令104·(10010x)·70·112×104，解得2x8.故x的最小值為2.3某工廠采用高科技改革，在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長率都是a，則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應月產(chǎn)值的增長率為_答案(1a)121解析不妨設第一年8月份的產(chǎn)值為b，則9月份的產(chǎn)值為b(1a)，10月