高中數(shù)學5.3不等式的證明5.3.2綜合法和分析法知識導航學案蘇教版選修4-5-蘇教版高二

1、5.3.2 綜合法和分析法自主整理1. 一般地 , 從已知條件出發(fā), 利用某些不等式的_或_, 經(jīng)過一系列的推理論證 , 最終推導出所要證明的不等式成立, 這種證明的方法叫做_. 2. 一般地 , 從要證明的不等式出發(fā), 逐步尋求使它成立的_條件 , 直至最后 ,把要證明的不等式歸結(jié)為判定一個明顯成立的不等式( 已知條件、定理等), 這種證明的方法叫做 _. 高手筆記1. 綜合法一般利用題設(shè)已知條件和基本不等式作為基礎(chǔ), 再運用不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式 , 其過程為“由因?qū)Ч?2. 分析法通常采用“欲證只需證已知”的格式, 書寫要規(guī)范, 其過程為“執(zhí)果索因”.3. 用綜合法證明不等

2、式往往要先用分析法分析其思路, 再用綜合法書寫出其證明過程, 是分析法的逆過程 . 名師解惑如何用綜合法證明不等式?剖析 : 用綜合法證明不等式時, 主要利用重要不等式、 函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)在嚴密的邏輯推理下推導出結(jié)論. 綜合法證明問題的“入手處”是題目的已知條件或某些重要不等式. 常用的重要不等式有: 若 a、 br, 則 a2+b22ab(當且僅當a=b 時取“ =”); 若a、 br+, 則 a+bab2( 當且僅當 a=b 時取“ =”); 若a、b r+, 則baababbaba22222( 當且僅當a=b時取“ =”); 若a、 b、 cr+, 則 a3+b3+c33ab

3、c(當且僅當a=b=c 時取“ =”); 若a、 b、 c r,則 a2+b2+c2ab+bc+ca;若a、b r+,則有 (a+b)(a1+b1) 4.選擇使用哪個重要不等式作為證題的“原始出發(fā)點”或?qū)σ阎獥l件的轉(zhuǎn)化是證題的關(guān)鍵, 這需要對要證明的結(jié)果有充分的分析, 可以聯(lián)系平時學習過程中積累下來的數(shù)學結(jié)論或知識作出判斷 . 例如在證明a2+b2+c2ab+bc+ac 時, 除了用作差比較法以外, 還可從重要不等式 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac 入手 , 利用不等式的性質(zhì)來進一步推理得出結(jié)論;再如證明sinx+xsin45x(0,2 , 并不是使用重要不等式a+a12

4、(a r+), 因為這里的00, 范圍不同 , 等號取不到 , 所以是利用正弦函數(shù)sinx 的有界性以及形如函數(shù)y=x+x4的函數(shù)的單調(diào)性來證明的. 所以在利用綜合法證明問題時, 必須積累一定的經(jīng)驗, 還要記憶一些數(shù)學式子的獨特結(jié)構(gòu)以便在證明過程中利用已經(jīng)證明過的結(jié)論和方法來證明問題. 講練互動【例 1】已知 a、b、c 都是正數(shù) , 求證 :).(2222222cbaaccbba分析 : 不等式的兩邊都是和式結(jié)構(gòu), 左邊含有根式, 右邊不含根式, 所以需要把左邊的根號去掉, 而本題通過兩邊平方不能去掉根號, 只能把被開方數(shù)改寫為一個數(shù)的平方, 從而去掉根號,聯(lián)想到2222baba, 而這個不

5、等式的入手點是a2+b22ab.證明 : a、 b、c 都是正數(shù) , a2+b22ab,2(a2+b2) (a+b)2. )(2222baba. 同理)(2222cbcb,).(2222acac222222accbba22(a+b)+)(22cb+)(22ac, 即2222222accbba(a+b+c) 成立 . 綠色通道不等式的結(jié)構(gòu)比較整齊, 從形式上很容易聯(lián)想重要不等式定理, 可以從不等式定理入手進行分析轉(zhuǎn)化 , 逐步證出 . 變式訓練1.a 、b、c r, 求證 :a2+b2+c2ab+3b+2c-4. 證明 : a2+42bab,243b+3 3b,c2+12c,(a2+42b)+(

6、43b2+3)+(c2+1)ab+3b+2c,即 a2+b2+c2ab+3b+2c-4 成立 . 【例 2】已知 a、b 都是正數(shù) , 且 a+b=1, 求證 :(a+a1)2+(b+b1)2225.分析 : 因為已知條件是兩正數(shù)之和為定值, 可利用重要不等式去證明. 而所要證明的結(jié)論也是兩個數(shù)的平方和,可以轉(zhuǎn)化為a+b, 利用已知條件完成. 證法一 : a0,b0,a+b=1,1=a+b2ab, 即ab21. ab12,a1+b12ab14.(a+a1)2+(b+b1)22)11()(2)1()1(22bababbaa2252)41 (2, 即(a+a1)2+(b+b1)2225. 當且僅當

7、a=b=21時取“ =”.證法二 : a0,b0,a+b=1, 1=a+b2ab. ab41. ab14, - ab-41. 21a+21bab28.(a+a1)2+(b+b1)2=a2+2+21a+b2+2+21b=(a2+b2)+(21a+21b)+4 =(a+b)2-2ab+(21a+21b)+4 1-42+8+4=225, 即(a+a1)2+(b+b1)2225成立 . 綠色通道本題是帶有條件的不等式, 可利用條件結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu), 在基本不等式的基礎(chǔ)上進行變形、推理 , 得出結(jié)論 . 另外本題還可以把“ 1”看作一個量進行代換. 證明如下 : a+b=1,(a+a1)2+(b+b1)

8、2=a2+b2+21a+21b+4 =a2+b2+2222)()(bbaaba+4 =a2+b2+1+2222abaab+1+2222babab+4 =6+a2+b2+2(ab+ba)+(2222baab) 6+a2+b2+4+2=12+a2+b212+2252)(2ba成立 . 變式訓練2. 已知 a、b、c r+, 且互不相等 ,abc=1, 求證 :cba2ab1=2ababc=2c. 同理 ,b1+c12bc1=2a, c1+a12ac1=2b. 2(a1+b1+c1)2c+2a+2b, 即a1+b1+c1cba成立 . 3. 已知 x、y 都是正數(shù) , 且 x+2y=1, 求證 :y

9、x11 3+22. 證明 : x、 y 都是正數(shù) ,x+2y=1, yx11=xyx2+yyx2=3+(yxxy2) 3+22成立 . 【例 3】已知等差數(shù)列an, 首項 a11, 公差 d0,n n, 且 n1, 求證 :lgan+1lgan-11,d0, an1. lgan+10,lgan-10. lgan+1lgan-1211)2lglg(nnaa=21lg(an+1an-1) 2=21lg(an2-d2) 2lga+lgb+lgc. 證明 : a、 b、c 為不全相等的正數(shù), 2baab0,2cbbc0,2acac0, 且上述三個式子中“ =”不同時成立. lg2ba+lg2cb+lg

10、2aclgab+lgbc+lgac=lg(abbcca) =lgabc=lga+lgb+lgc, 即 lg2ba+lg2cb+lg2aclga+lgb+lgc成立 . 【例 4】已知 ab0, 求證 :bbaabbaaba8)(28)(22.分析 : 本題所要證明的不等式比較復雜, 由條件 ab0 不易得出所要證的不等式, 可先從要證的不等式分析變形,從中找到證明的線索.證明 : 要證不等式bbaabbaaba8)(28)(22成立 . 只需證aba4)(2a+b-2abbba4)(2成立 , 即證 (aba2)2(ba)2b0,aba21bba2. ab221ba22, 即ab1ba. 只需證ab1b0,ab10,b0,2ca+b,