高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.2.2第一課時組合與組合數(shù)公式學(xué)案新人教A版選修2-3-新人教

1、第一課時組合與組合數(shù)公式預(yù)習(xí)課本 p2124，思考并完成以下問題1組合的概念是什么？2什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是怎樣的？3組合數(shù)有怎樣的性質(zhì)？ 新知初探 1組合的概念從n個不同的元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(mn) 個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)表示法cmn組合數(shù)公式乘積式cmnamnammn(n1)(n2)(nm1)m！階乘式cmnn！m！(nm) ！性質(zhì)cmncnmn_， cmn1 cmn cm 1n_ 備注n，mn*且mn，規(guī)定： c0n1 點

2、睛 排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(nm) 個元素區(qū)別： 排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合 小試身手 1判斷下列命題是否正確( 正確的打“”，錯誤的打“”)(1) 從a，b，c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是c23.( ) (2) 從 1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得c24個積 ( ) (3)1,2,3與 3,2,1是同一個組合( ) (4)c35543 60.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) 2c2n10，則n的值為 ( )

3、 a10 b5 c3 d 4 答案： b 3從 9 名學(xué)生中選出3 名參加“希望英語”口語比賽，不同選法有( ) a504 種 b 729 種c84 種 d 27 種答案： c 4計算 c28c38c29_. 答案： 120 組合的概念 典例 判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1) 設(shè)集合aa，b，c，d，e，則集合a的子集中含有3 個元素的有多少個？(2) 某鐵路線上有5 個車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價？(3)3 人去干 5 種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4) 把 3 本相同的書分給5 個學(xué)生，每人最多得1 本，有幾種分配方法？ 解 (1) 因為本問題與

4、元素順序無關(guān)，故是組合問題(2) 因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題， 但票價與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題(3) 因為分工方法是從5 種不同的工作中取出3 種，按一定次序分給3 個人去干，故是排列問題(4) 因為 3 本書是相同的，無論把3 本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題區(qū)分排列與組合的方法區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明

5、無順序，是組合問題活學(xué)活用 判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1) 把 5 本不同的書分給5 個學(xué)生，每人一本；(2) 從 7 本不同的書中取出5 本給某個同學(xué)；(3)10 個人相互寫一封信，共寫了幾封信；(4)10 個人互相通一次電話，共通了幾次電話解： (1) 由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問題(2) 從 7 本不同的書中，取出5 本給某個同學(xué)，在每種取法中取出的5 本并不考慮書的順序，故它是組合問題(3) 因為兩人互寫一封信與寫信人與收信人的順序有關(guān)，故它是排列問題(4) 因為互通電話一次沒有順序之分，故它是組合問題. 有關(guān)組合數(shù)的計算與證明 典例 (1)

6、計算 c410c37a33；(2) 證明：mcmnncm 1n1. 解 (1) 原式 c410 a37109874321765210 210 0. (2) 證明：mcmnmn！m！(nm) ！n(n1)！(m1)！(nm) ！n(n1)！(m1) ！(nm) ！ncm 1n 1. 關(guān)于組合數(shù)公式的選取技巧(1) 涉及具體數(shù)字的可以直接用nnmcmn 1nnm(n1)！m！ (n1m) ！n！m！(nm) ！ cmn進(jìn)行計算(2) 涉及字母的可以用階乘式cmnn！m！(nm) ！計算(3) 計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)cmncnmn簡化運算 活學(xué)活用 1計算： c38n3nc3nn21的值解：3

7、8n3n，3n21n，9.5 n10.5.nn*，n10. c38n3nc3n21nc2830 c3031c230c13130292131466. 2求使 3cx7x 35a2x4成立的x值解：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為3(x3) ！(x 7) ！4！5(x4) ！(x6) ！，即3(x3)4！5x6，即為 (x3)(x6) 40. x29x220，解得x11 或x 2. 經(jīng)檢驗知x11 時原式成立3證明下列各等式(1)cmnm1n1cm 1n1；(2)c0nc1n 1c2n2 cm 1nm 1cm 1nm. 解： (1) 右邊m1n1(n1) ！(m1) ！(n1) (m 1) ！

8、m1n1(n1) ！(m 1)！(nm)！n！m！(nm) ！cmn左邊，原式成立(2) 左邊 (c0n1c1n1) c2n2c3n3 cm 1nm 1(c1n2 c2n2) c3n3 cm 1nm 1(c2n3c3n 3) cm 1nm 1(c3n 4c4n 4) cm 1nm 1 cm 2nm 1cm 1nm 1cm 1nm右邊，原式成立. 簡單的組合問題 典例 在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12 人通過了初試，學(xué)校要從中選出5 人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件中，有多少種不同的選法？(1) 任意選 5 人；(2) 甲、乙、丙三人必須參加；(3) 甲、乙、丙三人不能參加 解 (1)c512792

9、種不同的選法(2) 甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9 人中選 2 人，共有 c2936 種不同的選法(3) 甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9 人中選 5 人，共有c59126 種不同的選法解答簡單的組合問題的思考方法(1) 弄清要做的這件事是什么事；(2) 選出的元素是否與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問題；(3) 結(jié)合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果 活學(xué)活用 1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7 個白球和1 個黑球(1) 從口袋內(nèi)取出3 個球，共有多少種取法？(2) 從口袋內(nèi)取出3 個球，使其中含有1 個黑球，有多少種取法？(3) 從口袋內(nèi)取出3 個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解

10、： (1) 從口袋內(nèi)的8 個球中取出3 個球，取法種數(shù)是c3887632156. (2) 從口袋內(nèi)取出3 個球有 1 個是黑球，于是還要從7 個白球中再取出2 個，取法種數(shù)是 c27762121. (3) 由于所取出的3 個球中不含黑球，也就是要從7 個白球中取出3 個球，取法種數(shù)是c3776532135. 2現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4 張，從中任取3 張，要求這 3 張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1 張，不同的取法有多少種？解：分兩類：第一類，含有1 張紅色卡片，共有不同的取法c14c212264(種) ；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法c31

11、23c34 220 12208( 種) 由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有264208472(種) 層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1c58c68的值為 ( ) a36 b84 c88 d 504 解析：選 a c58c68c69c3998732184. 2以下四個命題，屬于組合問題的是( ) a從 3 個不同的小球中，取出2 個排成一列b老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌c在電視節(jié)目中，主持人從100 位幸運觀眾中選出2 名幸運之星d從 13 位司機中任選出兩位開兩輛車從甲地到乙地解析：選 c 選項 a是排列問題，因為2 個小球有順序；選項b是排列問題，因為甲、乙位置互換后是不同的排列方式；選項 c是

12、組合問題， 因為 2 位觀眾無順序； 選項 d是排列問題，因為兩位司機開哪一輛車是不同的選c3方程 cx14c2x414的解集為 ( ) a4 b 14 c4 或 6 d 14 或 2 解析：選 c 由題意知x2x4，2x414，x14或x14(2x4) ，2x414，x14，解得x4 或 6. 4某公司新招聘5 名員工，分給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分給同一個部門；另三名電腦編程人員不能都分給同一個部門，則不同的分配方案種數(shù)是( ) a6 b 12 c24 d 36 解析：選b 甲部門分一名電腦編程人員有c13c12c33種分配方案，甲部門分兩名電腦編程人員有 c23c1

13、2c22種分配方案由分類加法計數(shù)原理得，共有c13c12c33c23c12c2212(種 ) 不同的分配方案5從 5 名志愿者中選派4 人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有( ) a60 種 b 48 種c30 種 d 10 種解析：選 c 從 5 名志愿者中選派2 人參加星期六的公益活動有c25種方法，再從剩下的3 人中選派2 人參加星期日的公益活動有c23種方法， 由分步乘法計數(shù)原理可得不同的選派方法共有 c25c2330 種故選 c6c03c14c25 c1821的值等于 _解析：原式c04c14 c25 c1821c15c25 c1821c1721c

14、1821c1822c4227 315. 答案： 7 315 7若已知集合p 1,2,3,4,5,6，則集合p的子集中含有3 個元素的子集數(shù)為_解析： 由于集合中的元素具有無序性，因此含 3個元素的子集個數(shù)與元素順序無關(guān)，是組合問題，共有c3620 種答案： 20 8不等式c2nn5的解集為 _解析：由 c2nn5，得n(n1)2n5，n23n100. 解得 2n3cx8. 解： (1) 原方程等價于m(m1)(m2)6m(m1)(m2)(m3)4321，4m3，m7. (2) 由已知得：x18，x8，x8，且xn*，cx183cx8，8！(x1)！(9 x) ！38！x！(8 x) ！. 即1

15、9x3x，x3(9 x) ，解得x274，x7,8. 原不等式的解集為7,8 10某區(qū)有7 條南北向街道，5 條東西向街道( 如圖 ) (1) 圖中有多少個矩形？(2) 從a點走向b點最短的走法有多少種？解： (1) 在 7 條南北向街道中任選2 條， 5 條東西向街道中任選2 條，這樣4 條線可組成一個矩形，故可組成矩形有c27c25 210(個) (2) 每條東西向的街道被分成6 段，每條南北向街道被分成4 段，從a到b最短的走法，無論怎樣走，一定至少包括10 段，其中6 段方向相同，另4 段方向也相同，每種走法，即是從 10 段中選出6 段，這 6 段是走東西方向的(剩下 4 段即是走南

16、北方向的) ，共有 c610 c410210( 種)走法層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1若 c4nc6n，則n的集合是 ( ) a6,7,8,9 b0,1,2,3 cn|n6 d 7,8,9 解析：選 a c4nc6n，c4nc6n，n6，?n！4！(n4) ！n！6！(n6)！，n6.?n29n 100，n6，?1n10，n6.nn*，n6,7,8,9. n的集合為 6,7,8,92將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的 6 張卡片放入3 個不同的信封中， 若每個信封放2 張卡片，其中標(biāo)號為1,2 的卡片放入同一信封，則不同的放法共有( ) a12 種 b 18 種c36 種 d 54 種解析：選 b 由題意

17、，不同的放法共有c13c24343218 種3若從 1,2,3 ， 9 這 9 個整數(shù)中同時取4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有 ( ) a60 種 b 63 種c65 種 d 66 種解析：選 d 和為偶數(shù)共有3 種情況，取4 個數(shù)均為偶數(shù)的取法有c441 種，取 2 奇數(shù)2 偶數(shù)的取法有c24c2560 種，取 4 個數(shù)均為奇數(shù)的取法有c455 種，故不同的取法共有160566 種4過三棱柱任意兩個頂點的直線共15 條，其中異面直線有( ) a18 對 b 24 對c30 對 d 36 對解析：選 d 三棱柱共6 個頂點，由此6 個頂點可組成c46312 個不同四面體，而每個四面

18、體有三對異面直線則共有123 36 對5方程 cx17cx16 c2x216的解集是 _解析：因為cx17cx16cx116，所以 cx116c2x 216，由組合數(shù)公式的性質(zhì)，得x 12x 2 或x12x216，得x1 3( 舍去 ) ，x25. 答案： 5 6某同學(xué)有同樣的畫冊2 本，同樣的集郵冊3 本，從中取出4 本贈送給4 位朋友，每位朋友 1 本，則不同的贈送方法共有_種( 用數(shù)字作答 ) 解析：兩種情況：選2 本畫冊， 2 本集郵冊送給4 位朋友，有c246 種方法；選1本畫冊，3 本集郵冊送給4 位朋友，有 c144 種方法，所以不同的贈送方法共有6410(種 ) 答案： 10 7已知 c4n，c5n，c6n成等差數(shù)列，求c12n的值解：由已知得2c5nc4nc6n，所以 2n！5！ (n5) ！n！4！(n4)！n！6！ (n6) ！，整理得n221n98 0，解得n7 或n14，要求 c12n的值，故n12，所以n 14，于是 c1214 c21414132191. 8已知集合aa1，a2，a3，a4，b0,1,2,