新概念力進(jìn)修題解(黎草稿)

1、斯概念力學(xué)習(xí)題集第一章1-1已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作周期性運(yùn)動(dòng)，選取某種單位時(shí)其坐標(biāo)x和t的數(shù)值關(guān)系為x = 3sin-n求=0,3,6,9,12s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。67ttt 7t解: 位 移 ax = x(r)-x(0) = 3sinr , 速 度 v = = cosr ,力口速度6clt 26j26z = = sin-r,對(duì)于不同的時(shí)刻，相應(yīng)的、a值見(jiàn)下表(長(zhǎng)度單位設(shè)為米)：dt126/(s)zlr(m)v(1t1/s)fl(m/s2)00nil0330-k2/1260-k/20930冗2/12120till01-2己知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r =r( cos ti+sin t

2、j )求質(zhì)點(diǎn)軌跡，(2)速度和加速度，并證明其加速度總指向一點(diǎn)。解(1) x = rcoscot,y = r sin cot, x2= r2, /.質(zhì)點(diǎn)軌跡是圓心在圓點(diǎn)的圓=a)r(-sin coti + cos 奶)=-69/?(cos69f/ 4-sin6jx/) = -gty 方向恒指向圓心1-3在一定單位制卜質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)數(shù)值形式為r =4rf+(2r+3)/求質(zhì)點(diǎn)軌跡，從r=0到匸1的位移，(3)/=0和r=l兩時(shí)刻的速度和加速度。解(1)兀= 4/2=2/+ 3,兀= (y 3)2故兀$0,質(zhì)點(diǎn)軌跡為拋物線的一段(見(jiàn)右圖)f(0) = 3, f(l) = 47 + 5,a

3、f = r(l) - r(0) = 4亍 + 2),人小為 |"| = a/42 +22 = 25m. 24亍+ 5 j與x軸夾角& =農(nóng)-才=26.6°廠j"*v= = 8/ t + 2j,a = = 8ja| = a = sm/s2 方向沿兀軸正向 v(0) = 2j,大小為 cltclt 1|v(0)| = v(0) = 2加/s,方向沿y軸正向;v(l) =財(cái)+ 2j,大小恒(1)| = v(l)=尿+2?=2丁7加/$方向：與x軸夾角a = tg = 14°1-4站臺(tái)上一觀察者，在火車(chē)開(kāi)動(dòng)時(shí)站在第一節(jié)車(chē)廂的最前端，第一節(jié)車(chē)廂在a/4.0

4、8內(nèi)從 他身旁駛過(guò)。設(shè)火車(chē)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)笫n節(jié)不廂從他身旁駛過(guò)所需的時(shí)間間隔4“為 多少。令n=7,求解：火車(chē)初速v0 = 0,加速度為°,每節(jié)車(chē)廂長(zhǎng)為/,第一節(jié)車(chē)廂經(jīng)過(guò)觀測(cè)者所需時(shí)間為ar, =t= 4s=1=,第1至n節(jié)車(chē)廂經(jīng)過(guò)觀察者所需總時(shí)間為，顯然:/ =nl =丄；=|記=> tn - 4nt = vha/j ,故第n節(jié)車(chē)廂經(jīng)過(guò)者所需時(shí)間為：2 "山” =tn ln- =- 厶-1)&| = 4(喬-厶_1)令 =7 n az7 = 4x(7 - v6) = 0.785s 1-5 一球從高度為力處白靜止下落。同時(shí)另一球從地面以一定初速度巾上拋。

5、巾多大時(shí)兩球 在h/2處相碰？解：法一:因兩球的重力加速度均為g朝下，故以上球?yàn)閰⒄障怠汕蜃猿霭l(fā)點(diǎn)至相碰點(diǎn)所費(fèi)時(shí)間為t二 五( = g).等價(jià)地，相當(dāng)于下球以v0 =- = /ghq22t法二：1 2 h gt =-2 21 21-6 一球以初速必豎直上拋，f()s后在同一地點(diǎn)以同樣速率向上拋出另一小球。兩球在多高 處相遇？/12/】2 人/i>' =v(/ -st ,t = t +t(),y = v)t-gty = y => r =v0/t?-f0 解：x 1.1-7 一物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，走過(guò)一段距離山 所用的時(shí)間為bi，緊接著走過(guò)下一段距離 s所用的時(shí)間為&quo

6、t;，試證明，物體的加速度為a = 2a$ar,ar2 ar, + ar219i9證明：$ = v0ari + 6/a/f(1) 2as = v()(2v +*2)+ 一aq'i + ar2) (2)=(af) + )(vq h| h) = (af| +)(1 cit)-22t21人lassav(a/. - az?)2ay ar, -=> at =-一!/. a =!20 + af2 afj (afj + ar2)仙？ g + m1-8路燈距地面的高度為/小一身高為仏的人在路燈下以勻速門(mén)沿肓線行走。試證明人影 的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度耳解:.x2兀2 兀1 _ "2

7、 _ x dx _1, v |x2 h2 x2 dtdx h、 dx. hxv9 =一 =!=!y. > v.-dt h - h2 dt /?, - h2，?！叭擞暗捻敹俗鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)。1-9設(shè)為山炮位所在處觀看靶子的仰角, 為彈道的最高點(diǎn)，則有tan =2tan為炮彈的發(fā)射角。試證明：若炮彈命中靶點(diǎn)恰解:_ v(j sin2 p1 _v：2sin0cos0兒=2g2 幾=2g 3 =呂卩 或：tg(3 = 2tga12 cos 022x，tvao=9.8m/s.解 =4竺j m小2g1-10在同一豎直而內(nèi)的同一水平線上a、b兩點(diǎn)分別以30。、60。為發(fā)射角同時(shí)拋出兩個(gè)小球，欲使兩球在各自軌

8、道的最高點(diǎn)相遇，求a、b兩點(diǎn)之間的距離。已知小球a的初速為vl sin2 60°v3 小佩 sin 2 x 30° -sin 2 x 60°)2gml飛機(jī)以v0=100m/s的速度治水平直線飛行,在離地面高屁98m時(shí),駕駛員要把物品投 到前方某一地面冃標(biāo)上，問(wèn)：(1)投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度? 此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)在下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)?物品投出is后，物品的法向加速度和切向加速度各為多 少？解：(1)=v0=> “vv = gtx = m1? rh： y = h => t =y=28t2h,5 = x= vo g2h s = loox)

9、= 77.64-77y 屁 + 0271002 +9.82 xl20.96m/ s29.8x100a = g sin & = g 比=g r= =/_ 9 75加/v71002 +9.82 xl2 2又:q” 二 jg2 =牛 k“ 、吐咸j 門(mén) v3 (71oo2 +9.82 xl2)故t=ls吋的曲率半栓力r = =gv9.8x1001-12已知炮彈的發(fā)射角為，初速為v()>求拋物線軌道的曲率半徑隨高度的變化。 解：vv =ve cos&二常數(shù)，vv = v()sina-gt,a = -g v =1035.1mj+x =jv：_2gy,6z = <?'(

10、'00x ghv =+ x = jx+g&h = hdv 1(g) gvv2 門(mén)2g、；=w _% ='gdt 2 /v2 + v2 vpvvv37|a p =(% _2莎尸g 匕 fgcosc1.13 一彈性球白靜止豎直地落在斜面上的a點(diǎn)，卜-落高度h=0.20m,斜面與水平夾角 =30。.問(wèn)彈性球第二次碰到斜面的位置b距a多遠(yuǎn)。設(shè)彈性球與斜面碰撞前后速度數(shù)值相 等，碰撞時(shí)入射介等于反射介。解：v0 = yjagh取xy坐標(biāo)軸如圖。dxi=v0 cos 6(v + g sin 30° t = (v0 + gt) dt2=v0 cos 60 - g sin 3

11、0° t =(v0 _ gf)=> <1 / 1 “x= 2 v°z + 2v3z 12、y = -st ),ftl2嚴(yán)=4x0.20 = 0.80/z?dt21-14 物體從靜止開(kāi)始作圓周運(yùn)動(dòng)。切向加速度3-oom/s2,圓的半徑r=300m.問(wèn)經(jīng)過(guò) 多少時(shí)間物體的加速度a恰與半徑成4（）。夾角。1-15 物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速度 為vo=49.om/s，而氣球以速度v= 19.6m/勻速上升，問(wèn)氣球中的觀 察者分別在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各為 多少？解:v物-前=49-9& 匕則物物 7 = 29.4-9.

12、8/p廠|可=|一亙一叵卜阿+?匹= 30。.(p =9.22180° - 30°= 150°.0 = 90°+30° =120°.ms)v測(cè)物(m/s)29.8 (快)30 （不動(dòng)）4-9.8(慢)第二章2-1 -個(gè)原來(lái)靜止的原子核，經(jīng)放射性衰變，放出一個(gè)動(dòng)量為9.22x10% cm/s的電子， 同時(shí)該核在垂直方向上乂放出一個(gè)動(dòng)量為5.33x 10 ,6g cm/s的中微了，問(wèn)蛻變后原了核的 動(dòng)量的大小和方向。_ _解：衰變過(guò)程是：at3 + /+匚.由動(dòng)量守衡得 瓦+匝+叵=0.=79.222 +5.332 x 10一勺 cm /

13、$ = 10.65 x 10一勺 cm /s.22質(zhì)量為m的木塊靜止在光滑的水平桌面上。質(zhì)呆為m,速率為5的了彈水平地入射到 木塊內(nèi)（見(jiàn)本題圖）并與它-起運(yùn)動(dòng)。求（1）子彈相對(duì)于木塊靜止后，木塊的速率和動(dòng)量，以及 子彈的動(dòng)最；（2）在此過(guò)程屮子彈施于木塊的沖最。解：設(shè)木塊的速率為r,由動(dòng)量守衡：mv0 =(m +m)v.m +mv解：向心力f - m >t(- mg2-3如本題圖，己知繩的最大強(qiáng)度to=l.ookgfm=5oog, l=30.0cm,開(kāi)始時(shí)m靜止。水平?jīng)_量 /等于多大才能把繩了打斷？故 / =7(7；-)/ =500x10_3(1x9.8-500x10_3x9.8)x30

14、.0x10-2 =0.86kgm/s習(xí)題2-4習(xí)題232-4 一子彈水平地穿過(guò)兩個(gè)前后并排在光滑水平桌而上的靜止木塊。木塊的質(zhì)量分別為m, 和mi，設(shè)子彈透過(guò)兩木塊的吋間間隔為b和t?。設(shè)子彈在木塊中所受阻力為恒力求子彈 穿過(guò)時(shí)兩木塊各以多大的速度運(yùn)動(dòng)。解:當(dāng)子彈穿出叫時(shí)，加/與牝一起運(yùn)動(dòng)，故ft = (nij +1112)1; v,=.當(dāng)子彈穿出加2時(shí),ft2 = m2v2 m2v2-5質(zhì)量70kg的漁人站在小船匕設(shè)船和漁人的總質(zhì)量為200kg.若漁人在船上向船頭走 4.0m后停止。試問(wèn)：以岸為參考系，漁人走了多遠(yuǎn)？解:設(shè)人向右走，對(duì)岸速度為v人，相對(duì)船的速度為人，船向左行，對(duì)岸的速度為 5

15、,則卩人二5+ "人水平方向動(dòng)疑守怛:佛vma(-皿+ u心=(m船+/72x) fin人u a=0.2-6兩艘船依慣性在靜止湖面上以勻速相向運(yùn)動(dòng)，它們的速率皆為6.0m/s.當(dāng)兩船擦肩相遇 時(shí)，將甲船上的貨物都搬上乙船，甲船的速率未變，而乙船的速率變?yōu)?.0nvs.設(shè)甲船空載 質(zhì)量為50kg,貨物質(zhì)雖為60kg,求乙船質(zhì)雖。解：m q=500kg,ni 貨=60kg,m 乙待求.vo=6.om/s9v 乙=4.0m/s忽略水中阻力，兩船作為一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)量守衡即：2-7三只質(zhì)量均為m的小船他貫而行，速率均為幾山中間那只船上同時(shí)以水平速率m(和 對(duì)于船)把兩質(zhì)量均為m的物體分別拋到前后兩

16、只船上。求此后三只船的速率。解:設(shè)v前、"中、卩后分別為前、中、后三船的待求速度.w v同向吋為正，反z為負(fù),由水平 方向的動(dòng)量守衡定律，有：中:af v + (m 2m)v 中 + 加("中u) + 加(卩中 + u) 后:af v + m(v中一u) = (m +加»后 可推出:«的正方向與u同向，三船的速率分別為:mmv 術(shù)=v hu , v = v, v 尸=vum +m 中用m +m2-8 一質(zhì)量為m的有軌板車(chē)上有n個(gè)人，各人質(zhì)量均為m開(kāi)始吋板千靜止。（1）若所有人 一起跑到車(chē)的一端跳離車(chē)子，設(shè)離車(chē)前它們相對(duì)于車(chē)子的速度為”，求跳離后車(chē)子的速度

17、；（2）若n個(gè)人一個(gè)接一個(gè)地跳離車(chē)子，每人跳離前相對(duì)于車(chē)子的速度皆為u,求年子最后速 度的表達(dá)式；（3）在上趟種情況中，何者車(chē)了獲得的速度較大？解:設(shè)車(chē)子的速度為石，由水平方向的動(dòng)最守恒得：-*-*-nm _m + nm（v車(chē) + w） = 0 => v/ =u（1）m + nm(2)第一人跳：|m +(2-1)加卜車(chē)1 +n?e車(chē) 1 +“)= ()=> v車(chē)1 =u (2)m + nm第二人跳：m + (n 2)znv車(chē)2 + 加("車(chē)2 + w) = m + (n -1)加卩車(chē)i=卩車(chē)1 一mm+(n 1加-mm + nm1m+(n 1)加最后一個(gè)人跳：m v車(chē)n

18、+加0車(chē)n + u）二（m +加“車(chē)n-1-_ m _11mm _=s” - s：n - m +mu _+nm + m+（n-1）加十十 m +2m + m這是車(chē)子最后速度的表達(dá)式.比較（1）式和式,顯然有鈿 > :車(chē)即一個(gè)接一個(gè)地跳（第二種情況）比集體跳,能使車(chē) 子最后獲得更大的動(dòng)能但若各個(gè)人的相對(duì)車(chē)的速率不是u,則結(jié)論剛好相反.參見(jiàn)3-26題.2-9 一炮彈以速率巾和仰角。發(fā)射，到達(dá)彈道的最高點(diǎn)時(shí)炸為質(zhì)量相等的兩塊（見(jiàn)本題圖）, 其屮一塊以速率vi鉛垂下落，求另一塊的速率巾及速度與水平方向的夾角（忽略空氣阻力）。 解:炮彈在最高點(diǎn)時(shí)匕=v0cos, vv =0.在爆炸瞬間，內(nèi)力>

19、;>重力，即外力可忽略不計(jì)，故此時(shí)動(dòng)量守衡：乂 m（v + v2） = mvx i + mvyx j = mvx i.mvx - /nv0 cos&（）= mv2 cosaj 2廠2 = jx+4u：cos2&（）0 = mv9 sin amvx2一 2 1=2%cos&°v22v() cos &()v22-10求每分鐘射出240發(fā)子彈的機(jī)槍平均反沖力，假定每粒子彈的質(zhì)量為10g,槍口速度為900m/so解:設(shè)平均反沖力為f二射擊時(shí)所需的平均力ft 機(jī)槍的動(dòng)量變化=了彈的動(dòng)量變化=240mv-0=240mv-240/nv240x10x10'

20、;3x900 ft = 36nt602-11 一起始質(zhì)雖為m()的火箭以恒定率idm/cki排出燃燒過(guò)的燃料，排料相對(duì)于火箭的速 率為vo. (a)計(jì)算火箭從發(fā)射臺(tái)豎肓向上起動(dòng)時(shí)的初始加速度；(b)如果v()=2000m/s,貝ij對(duì)于 一個(gè)質(zhì)量為l()0t的這種火箭，耍給以等于0.5g的向上初始加速度，每秒鐘必須排出多少kg 的燃料？解：(1)仿照書(shū)上p.50的推導(dǎo)，可得火箭經(jīng)過(guò)力時(shí)間后動(dòng)量的改變?yōu)閜 -= md v + v）dm = fdt貝ij mv（）dm = fdt在發(fā)射臺(tái)附近,皿=叫些 = u f=mog. vo與f方向向下.設(shè)彳 = a。dtdtm（）do7o = mog=>

21、;d（）“二匹(q°+g)二volooxlo32000（0.54-1）x9.8 = 735/5.則冇:2-12 -個(gè)三級(jí)火箭，各級(jí)質(zhì)量如卜表所示，不考慮重力，火箭的初速為0.級(jí)別發(fā)射總質(zhì)量燃料質(zhì)量燃料外売質(zhì)量一級(jí)60 14（）【10 t二級(jí)10120/3 t7/3 t三級(jí)1112/3 t(1) 若燃料和對(duì)于火箭噴出速率為«=2500m/s,每級(jí)燃料外殼在燃料用完時(shí)將脫離火箭主體。 設(shè)外売脫離主體時(shí)相對(duì)于主體的速度為0,只有當(dāng)下一級(jí)火箭發(fā)動(dòng)后，才將上-級(jí)的外殼丿11 在后邊。求第三級(jí)火箭的最終速率；(2) 若把4&燃料放在12(的外殼里纟r成一級(jí)火箭，問(wèn)火箭最終速率是

22、多少。解：（1）由 p50 的（20）式，變?yōu)?i dv = -c => v-v0 = cln- 応mm對(duì)第級(jí)火箭w 瞪=2500 b冊(cè)礦2500 w 3.對(duì)第二級(jí)火箭:對(duì)第三級(jí)火箭:2 + 2500山匸麗=75001仔82396” / $ 1500冊(cè)礦 25。0心4023.6皿.2-13 -宇宙飛船以恒速卩在空間飛行，飛行過(guò)程中遇到一股微塵粒子流，后者以dm/dt的 速率沉積在飛船上。塵粒在落到飛船z前的速度為”，方向與v相反，在時(shí)刻t飛船的總質(zhì) 量為m，試問(wèn)：要保持0船勻速飛行，需要多大的力？p - p()= m (/) + dm(v + dv)-m (/)v + udrn解:由動(dòng)址

23、定理得:=m(t)dv + (v-du )dm = feltd v dm 兩邊求導(dǎo) ：a/(r)+ (v-w)= f.dtdt(丫f ft要求e船勻速,故亠與u的方向相反,以卩為正向，dt*f f dmdm貝uf = (v-w)f = (v + w) 為向前的推力.此式的似u為絕對(duì)值.dtdt2-14 一水平傳送帶將沙子從一處運(yùn)送到另一處，沙子經(jīng)一垂直的靜止漏斗落到傳送帶上， 傳送帶以恒定速率卩運(yùn)動(dòng)著(見(jiàn)木題圖)。忽略機(jī)件各部位的摩擦。若沙了落到傳送帶上的速 率是dm/dt,試問(wèn):(1) 要保持傳送帶以恒定速率卩運(yùn)動(dòng)，水平總推力f多大？(2) 若整個(gè)裝置是：漏斗屮的沙了落進(jìn)以勻v在平直光滑軌道

24、上運(yùn)動(dòng)的貨車(chē)?yán)?見(jiàn)木題圖b), 以上問(wèn)題的答案改變嗎？解:(1)在水平方向上，由動(dòng)最定理得：(加 + dm)(v + dv) 一 mv - mdv + vclm = felt 兩邊求導(dǎo)得 f = mf vdt dt 當(dāng)要求傳送帶以勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平總推力為f = v(向前)dt(2)在光滑水平直軌道上，若沒(méi)冇沙子漏入，則只啟動(dòng)時(shí)用力，以后不用力，車(chē)子以勻速y前進(jìn). 現(xiàn)在沙子進(jìn)來(lái)，也要保持勻速，便需用力了.因?yàn)檐?chē)子越來(lái)越重.用力公式同上.貝ij：f = v啤即沙子持續(xù)進(jìn)來(lái),便耍持續(xù)施力.以上問(wèn)題的答案不改變dt2-15 質(zhì)最為m的質(zhì)點(diǎn)在x-y平面上運(yùn)動(dòng)，其位矢為r =a cos ti+bsin t

25、j,求質(zhì)點(diǎn)受力 的情況。解：x = acoscot.y = bsina)t, = 1 橢関 v = / + j = a sin 69 ti + 69 bsin 691 j erdt dta =-692acos69ti -69 2bsin69tj = -co2 r 質(zhì)點(diǎn)受力/ = ma = -mar r 恒指向原點(diǎn). dt2-16如本題圖所示，一質(zhì)量為加a的木塊a放在光滑的水平桌面上，a上放置質(zhì)量為7b的 另一木塊b, a與b z間的摩擦系數(shù)為，現(xiàn)施水平力推a,問(wèn)推力至少為多大時(shí)才能使a、 b之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。解:對(duì)b:n -mbg = 0b二卩叫g(shù)f um q 對(duì) a: f - /r = ma

26、aa = f-/dmbg >aa=fr = mbab =小=jumbg => ama當(dāng)aa > an時(shí),a,b z間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)=> f > ”(叫+ ms)g 2-17如本題圖所示，質(zhì)量為加2的三角形木塊，放在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為的立 方木塊放在斜面上。如果接觸面的摩擦可以忽略，兩物體的加速度各若干？加 16.1 = n2 sin& 加d、= n2 cos&-/?2g解:對(duì)m2：<m2a2x = n2 sin&m2a2y = n、一 n coso -gg 對(duì) tnl:a2y = °mx +m2n1 = 7 m2

27、67;m2 + ma sin &no = cos&m2 +mx sirr 0運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:yr-sf心=>ay=(alx -a2x)tg0=><孤ax - a2x次式在p.159的311題中有用.加2<?加2gsin&cos0m2 + ma sirr 0 (ml m2 )tg0 m2ctg&_加 2)g(加|+加2)gfg&=sin (7 m2 + 加siir 0(ma m2)tg0m2ctg0a2xa2y_ 加|gsin&cos& _magm2 + 加sin2 & (加 1 +m2)tgo + m2ctgo

28、=02-18在桌上有一質(zhì)量加1的木板。板上放質(zhì)量為加2的物體。設(shè)板與桌而間的摩擦系數(shù)為 p物體與板面間的摩擦系數(shù)為2,欲將木板從物體下抽出，至少要用多大的力？解：a =2n2>n2 =®g ji =|n,n(加+加2)f2 = m2a2< ff fi ="。2 n f >(m +2)0® +®)gax > a22-19設(shè)斜而的傾角 是可以改變的，而底邊不變。求(1)若摩擦系數(shù)為，寫(xiě)出物體口斜面 頂端從靜止滑到底端的時(shí)間，與傾角的關(guān)系，(2)若斜面傾角尸6()與2=45時(shí)， 物體下滑的吋間間隔相同，求摩擦系數(shù).解：(1)/ = n/

29、drn - mg cos&, mg sin 0- f =ma> a = g(sin& “cos&)s =cos&=>/ = 2dg cos &(sin & cos &)2d訃 r2dj = l g cos 60 (sin 60° 一 “ cos 60°) g cos 45° (sin 45' - cos 45 j= 2-v3 = 0.268cos60 sin60 -cos45 sin45n /j =；2-20本題圖中各懸掛物體的質(zhì)量分別為:wi=3.0kg, z?2=2.0kg, m3=

30、1.0kg.求®下降的加速 度。忽略懸掛線和滑輪的質(zhì)量、軸承摩擦和阻力，線不可伸長(zhǎng)。1= 0.58m/52cos 60 一 cos45""(加2+加3)一4加2加3_ 3(2 + l)-4x2xl _ 1加(加2+®) + 4加2® "3(2 + l) + 4x2xl "17*2-21在本題圖所示裝置屮，®與加2及g與斜面之間的摩擦系數(shù)都為，設(shè)加|>加2,斜面 的傾角 可以變動(dòng)。求 至少為多大時(shí)加1、加2才開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。略去滑輪和線的質(zhì)量及軸承的 摩擦,線不可伸長(zhǎng)。解:fx = pn“n = mag cos 0,

31、 f2 = jun2,n2 = (“ +®)gcos&3m. +m7“m, m2maa = m,gsin-/1 -t“ m2a = t&_ j - f2 =>fg&>a >0 2-22如本題圖所示裝置，已知質(zhì)量®、加2和加3,設(shè)所有表面都是光滑的，略去繩和滑輪 質(zhì)量和軸承摩擦。求施加多大水平力f才能使加3不升不降。m3g -t = 0解= ma=> f = (加4-m0 +m3)gm2f =(加+m? + 加3)2-23如本題圖所示，將質(zhì)量為2的小球用細(xì)線掛在傾角為 的光滑斜而上。求(1)若斜而以 加速度沿圖示方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求細(xì)

32、線的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫Γ?2)當(dāng)加速度取何值 時(shí)，小球剛可以離開(kāi)斜面？解(frsin0 + ncos0 = mgft = "("sin& + ocos&)tcos& nsin& 二 man -加(gcos&-osin&)(2)令 n=0n a - gc/g&2-24 -輛汽車(chē)駛?cè)肭拾霃綖閞的彎道。彎道傾斜一角度，輪胎與路而之間的摩擦系數(shù) 為.求汽車(chē)在路面上不作側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的最大和最小速率。解：車(chē)子駛慢時(shí)，就要往下滑.則有=> %nsin&- “cos & cos& + sin&

33、;n cos & + / sin 0 = mg< f =jl/nv2.n sin & - f cos 0 = m車(chē)子駛快時(shí),就要往上滑.則冇n cos & 一 于 sin & 二 mg7n sin & + 于 cos 0 = m "jvmaxsin& + “cos& cos&-sin&kg2- 25質(zhì)量為m的環(huán)套在繩上，m相對(duì)繩以加速度下落。求環(huán)與繩間的摩擦力。圖中m、 m為已知。略去繩與滑輪間的摩擦，繩不可伸長(zhǎng)。mmm + m)mg - f = m(a -a) 解 > f = t=> f =m

34、g-t = ma 2-26升降機(jī)中水平桌上有一質(zhì)量為m的物體a,它被細(xì)線所系，細(xì)線跨過(guò)滑倫與質(zhì)量也為 m的物體b相連。當(dāng)升降機(jī)以加速度gg/2上升時(shí)，機(jī)內(nèi)的人和地面上的人將觀察到a、b 兩物體的加速度分別是多少？(略去各種摩擦，線輕且不可伸長(zhǎng)。)解ma(從機(jī)內(nèi)看)=>d = 3/4gmg + mg 12 t = maaav =g/2 t = maax從地面上的人看<t -mg = mabyaby =g/2_%=>aax3/4gab、t/2g% = 0 % =i/4gabx=o2-27如木題圖所示，一根的細(xì)棒，可繞其端點(diǎn)在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，棒的一端冇質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)固定于其上。(

35、1)試分析，在頂點(diǎn)a處質(zhì)點(diǎn)速率収何值，才能使棒對(duì)它的作用力為0?(2) 假定m=5()0g, /=50.0cm,質(zhì)點(diǎn)以均勻速度v=40cm/s運(yùn)動(dòng)，求它在b點(diǎn)時(shí)棒對(duì)它的切向和法 向的作用力。斗v2tn +mg=m 解:(1)< tt - in => v = yfgldtdtmg 500x 10一' x9.8 = 4.9nv2= 500x10(40x10-2)250x10-2= 0.16"2-28 -條均勻的繩了，質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為/,將它拴在轉(zhuǎn)軸上，以角速度 旋轉(zhuǎn)，試證明：2hico a a略去重力時(shí)，繩屮的張力分布為t(c = 號(hào)(2),式中r為到轉(zhuǎn)軸的距離。解：

36、在r處的張力t籌于從r到i這-段繩子作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，對(duì)dr這-段,所需向心力為:dt = dmarr = arrdr =- (/2-r2).i2/2-29在頂角為2 的光滑圓錐面的頂點(diǎn)上系一勁度系數(shù)為k的輕彈費(fèi)，下墜一質(zhì)最為m的 物體，繞錐面的軸線旋轉(zhuǎn)。試求出使物體離開(kāi)錐面的角速度 和此時(shí)彈贊的伸長(zhǎng)。解:n=()時(shí)物體離開(kāi)桌曲f = km< f cos a = mg/ sin = mrgj2 = m(/0 + az) sin agj2/ = 噸 k cos 0 + mggj =klq cos & + mg2-30拋物線形彎管的表面光滑，可繞鉛直軸以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)。拋物線方程

37、為=做2, &為常 數(shù)。小環(huán)套于彎管上。求(1)彎管角速度多大，小環(huán)可在管上任意位置相對(duì)彎悖靜止。(2)若 為圓形光滑彎管，情形如何？n cos 0 = mg解:(1)< n sin & = man = m xgj2 =>69 =2agtg& = y = 2ax(2)當(dāng)y=2r時(shí)，取任何值均可.當(dāng)r<y<2r時(shí)n不能提供向心力,故小環(huán)會(huì)諧動(dòng).當(dāng) y=r時(shí),在垂直方向只有重力，無(wú)向心力.故小環(huán)也會(huì)諧動(dòng).當(dāng)0y<r時(shí)，y = - ()' = /? v/?2 x1) => 69 =r 一 y2-31在加速系中分析225題。mg-f-

38、mci = 0, g f = mm(2d a )mg + ma - f = ma 2-34列車(chē)在北緯30自南向北沿直線行駛，速率為90knvh，其中一車(chē)廂重50仁問(wèn)哪一邊 鐵軌將受到車(chē)輪的旁壓力。該車(chē)廂作用于鐵軌的旁壓力等于多少？解:科里奧利力fc = 2mvxa),東邊：£ c 巾。c 5 1a-3 90x10-32712兀1 ni.7f = 2m69sin30 = 2x50x10 xxxx= 91n60x60 24x60x60 24x60x60 2第三章3-1有一列火車(chē)，總質(zhì)量為m,最后一節(jié)車(chē)廂質(zhì)量為m若m從勻速前進(jìn)的列車(chē)中脫離出 來(lái)，并走了長(zhǎng)度為s的路程z后停下來(lái)。若機(jī)車(chē)的牽引

39、力不變，且每節(jié)車(chē)廂所受的摩擦力正 比于其重量而少速度無(wú)關(guān)。問(wèn)脫開(kāi)的那節(jié)車(chē)廂停止吋，它距列車(chē)后端多遠(yuǎn)。解：每節(jié)車(chē)廂所受的阻力為f = /nmg ,牽引力f = mf/m = mllg0(“一加)節(jié)車(chē)廂的前 m進(jìn)力為ff=fm - in方法一:在以勻速v()両進(jìn)的參照系看，落后一節(jié)車(chē)廂停止時(shí)落后的距離為m - m節(jié)車(chē)廂多走的距離為s2at時(shí)最后一節(jié)車(chē)廂與列車(chē)后端相距心=£ +$ = ms rm-m)3-2 一質(zhì)點(diǎn)白球而的頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，設(shè)球面的半徑為r,球面質(zhì)點(diǎn)z間的摩擦可以忽 略，問(wèn)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)頂點(diǎn)的高度多大時(shí)開(kāi)始脫離球面。2mgh =/2解：n=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)脫離球面mg cos = mv

40、2 / r h = r13cos& = （r h）/r3-3如本題圖，一重物從高度為力處沿光滑軌道滑下后，在環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)圓壞的半徑 為r,若要重物轉(zhuǎn)至圓環(huán)頂點(diǎn)剛好不脫離，高度h至少要多少？mg = mv2 /2 + 2mgr 解：2mv / r = mg + n > mgh>5r/2 即高度h至少要為5r/23-4 一物體由粗糙斜面底部以初速必沖上公后又沿斜面滑下來(lái), 求此物體達(dá)到的最大高度。凹到底部時(shí)的速度減為v（）,解:mgh fs = mvj / 2 mgh - mv + fs=> h = (vq +*)/4g3-5如本題圖，物體a和b用繩連接，a置于摩擦

41、系數(shù)為 的水平桌面上，b在滑輪下自 然下垂。設(shè)繩與滑輪的質(zhì)量都可忽略，繩不可伸長(zhǎng)。已知兩物體的質(zhì)量分別為加a和加b，求 物體b從靜止下降一個(gè)高度h后所獲得的速度，解.力=（心=2（伽f=agb3-6用細(xì)線將一質(zhì)量為m的大閲環(huán)懸掛起來(lái)。兩個(gè)質(zhì)量均為m的小鬪環(huán)套在大閲環(huán)上，可 以無(wú)摩擦地滑動(dòng)。若兩小圓環(huán)沿相反方向從大圓環(huán)頂部自靜止下滑，求在下滑過(guò)程中，e角 取什么值時(shí)大圓環(huán)剛能升起。解：大圓環(huán)上升時(shí)，細(xì)線的拉力t=0。此時(shí)小環(huán)對(duì)大環(huán)而擬-提力n,小環(huán)受一下壓力n2 n cos 0 = mg< n + mg cos 0 = mv2 / r =>&min = cos_i +）mmv

42、3 3 2mmgr（l-cos&） = m/23-7如本題圖，在勁度系數(shù)為k的彈費(fèi)下掛質(zhì)量分別為也和牝 的兩個(gè)物體，開(kāi)始時(shí)處于靜 止。若把加1、牝之間的連線燒斷，求加1的最大速度解：設(shè)彈簧原長(zhǎng)為yo , m1+ni2處于靜止時(shí)長(zhǎng)為y?, g靜止時(shí)長(zhǎng)為y】，剪斷問(wèn)后，g經(jīng)過(guò)具 平衡位置時(shí)，速度最大，記為嶺心，燈兒 一）'（）=（" +®）g 狀兒一兒）="«?k2 一 兒）2 =一兒）2 + 三加vkx + "g（2 一 兒）3-8勁度系數(shù)為r的彈簧一端固定在墻上，另一端系一質(zhì)量為加八的物體。當(dāng)把彈簧的長(zhǎng)度 壓短丸后，在它旁邊緊貼

43、著放一質(zhì)量為mb的物體。撤去外力后，設(shè)下面是光滑的水平而， 求：（1）a、b離開(kāi)時(shí)，b以多大速率運(yùn)動(dòng)；（2） a距起始點(diǎn)移動(dòng)的最大距離。解：摳冷（宀+伽皿(2)xa max3- 9如本題圖，用勁度系數(shù)為k的彈簧將質(zhì)量為心和加b的物體連接，放在光滑的水平血上。 加a緊靠墻，在加b上施力將彈簧從原長(zhǎng)壓縮了長(zhǎng)度兀0,當(dāng)外力撤去后，求：彈簧和從、 加b所組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速度的最大值；（2）質(zhì)心速度的最大值。解：外力撤去的瞬間，o1b受到向右的彈性力f = kx, ma受到向左的彈性力和向右的來(lái) 自墻體的作用力n,由于此時(shí)a靜止，故/二n=kx,這樣,系統(tǒng)（叫+叫+彈簧）受到的外丿j 為耳卜=n ,故

44、冇： acmax =f/m = kx lma + mb) 當(dāng)ma離開(kāi)墻體后,f外=0,ae =0（2）當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，ma靜止,mb動(dòng)能最大:bv2 = =>v2 =此后系統(tǒng)在沒(méi)冇外力的作用下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心最大速度vgax服從關(guān)系式：m(ma +mjvcniax =mbv2+0 = /ntfv2 即：v.c max此吋1,91 z、。1 m 4 m r 2=-二尹宀訃皿+；"i m it）（彈贊不伸長(zhǎng)，不縮短，故其彈性勢(shì)能為零）其中蹲飛古分3-1（）如本題圖，質(zhì)量為g和加2的物體以勁度系數(shù)為r的彈簧相連，豎直地放在地而上， 加1在上，加2在卜。（1）至少先用多大的力f向下壓加1

45、，突然松開(kāi)時(shí)加2才能離地?在力f 撤除后，由®、牝和彈簧組成的系統(tǒng)質(zhì)心加速度心何時(shí)最大？何時(shí)為0?牝剛要離地面時(shí) dc=?解：（1）燦=mxg => 人=mxg ik klf = f 4- m, g => if = （f + g g） / r彈簧伸長(zhǎng)q時(shí),m2方能離地（n=0）： kl2 = m2g => /2 = m2g/k1 7 1 ?由 qkl； =qld 4-7?7g（zf + /2） => f = （m2 +2）g（2）力f撤除后，（mi+m2+彈簧）系統(tǒng)受外力©=n （®+®）g （以向上為正） n =k（lq -x）

46、 + m2g o / 為彈簧原長(zhǎng)。當(dāng) f 剛撤除時(shí)，zo -x-if,f =（“ +2）g =（加i +加2）代maxcmax =g （方向向上）當(dāng) l0-x =厶吋,= 0 => ac = 0當(dāng)厶一 x = -/,即彈簧伸長(zhǎng)厶時(shí),n=o, f外=-（ma + m2 ）g => ac = -g ,這便是 uh剛要離地時(shí)的質(zhì)心力加速度,方向向下。3-11如本題圖，質(zhì)量為m的三角形木塊靜止地放在光滑的水平面上，木塊的斜面與地面z 間的夾角為 -質(zhì)量為m的物體從高h(yuǎn)處白靜止沿斜面無(wú)摩擦地下滑到地血 分別以m> m和地面為參考系，計(jì)算在下滑的過(guò)程中m對(duì)m的支撐力n及其反作用力n，所作

47、的功， 并證明二者z和與參考系的選擇無(wú)關(guān)，總是為0.解：從p105的217題可算出:， mmg cos 0_ mg sin& cos&_ （加+ m）gsiir&n = n =tcia* 八.=om +/7?sin 0m+"7sirr&m+加sirr &h=-a2mymh cos 0(m + m)sin & 以tn為參照系，m不動(dòng)，其位移5 = 0,故九=mcosq = 0。 為,=n勺相cos彳=0, an +血 =0av 以m為參照系，m不動(dòng)，其位移5 = 0,故人“，=ncosq = 0。cos 2 以地面為參照系，m的位移為m的

48、位移為必二仰h+fmej心=nsm cos( - 3)=aam 'mhg cos 0(m + m)(m + m sin2 &)m2mghm2 + (m + m)2tg20 + mman=n stn 二 n （鬲 + 險(xiǎn)）二皿相 cosy-n 瓦w 二一去,av + avz = °m2mgh cos2 3(m + m)(m + m sin2 0) 設(shè)有兩參考系k m和ni的位移分別為險(xiǎn)（話）、和d &相對(duì)a的位移an=n弘，an，= 0em，且氐+入刀嘰+"臨=凡（瓦廠臨）=小鬲=0=>4；, = 0險(xiǎn)-s) = anf-ns% =為£

49、：=方(必g = -凡s =>4；+&；九+4一0 +血)兀=03-12 根不可伸長(zhǎng)的繩子跨過(guò)一定滑輪，兩端各拴質(zhì)量為m和m的物體（m>m）o m靜止在 地面上，繩子起初松弛。當(dāng)m白由下落一個(gè)距離h后繩子開(kāi)始被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí) 兩物體的速度和此后m上升的最大高度h。解：m卜降距離h時(shí)，/n%2 = mgh二> 齊）=2gh經(jīng)/ （很短）時(shí)間后，m,m同有角速度v,由動(dòng)量定理，有：m : （t -wg）d = -mv - （-mv0） m :（t - mg）ar = mv繩子被拉緊的t時(shí)間內(nèi),t» ng,t » mg , 故可忽略加g及mg ,

50、 => mv = -mv + mv0兩物體的速度為v=d2hm + m、設(shè)m再卜-降h, m上升h后，m,m的終端速度為0,即有1 o 1o1ti-mv2 +-mv2 +mgh =mgh nh =-h2 2m2-m23-13如本題圖，質(zhì)量為m的物體放在光滑的水平面上，m的兩邊分別勁度系數(shù)為燈和屆 的兩個(gè)彈簧相連，若在右邊彈簧末端丿施以拉力/,問(wèn)：（a）若以拉力非常緩慢地拉了一段距 離/，它作功多少？（b）若拉到距離/后突然不動(dòng)，拉力作功又如何？w： （a） v拉力f拉得緩慢，西宀從0增大，故于是變力，不是恒力。na1 kk22 k、+ k-f（b）施力的方式比較復(fù)雜，現(xiàn)考慮兩個(gè)極限情形：

51、第一，如上述（a）的情形：a被分配到兩彈簧上，此吋a最小。第二，a只分配到心上，這相當(dāng)于拉力f = k2x2,為急1 9速地拉動(dòng)，此時(shí)心及m都來(lái)不及變化和運(yùn)動(dòng)，故amax =k2l2 一般地，有：2/+心2 -3-14質(zhì)量為m的木塊靜止在光滑的水平面上。一質(zhì)量為m的子彈以速率切水平入射到木 塊內(nèi)，并與木塊一起運(yùn)動(dòng)。已知m=980g, m=20g, v0=800m/so求(1)木塊對(duì)子彈作用力的功； (2)子彈對(duì)木塊作用力的功；(3)耗散掉的機(jī)械能。解：mv() = (m +m)v20x10(980 + 20)x1()7x 800 = 16m / s 4木塊t子彈=e子彈-仏子彈=v2 -lv0

52、2 =1x20x10-3(162 - 8002) =-6397.44/人子彈-木塊二伐木塊仏木塊專(zhuān)必曠=*x980xl(t?xl62 =125.44丿(3)耗散掉的機(jī)械能：1 2 1 9e = -mv02-(a/+ m)v- = -a木塊一子彈-a了彈一木塊=6397.44-125.44 = 6272j3-15如木題圖，g、他靜止在光滑的水平面上，以勁度系數(shù)為r的彈簧相連，彈簧處于自 山伸展?fàn)顟B(tài)，一質(zhì)量為m、水平速率為巾的子彈入射到g內(nèi)，彈費(fèi)最多壓縮了多少？ 解：子彈打入mi內(nèi),又未穿出這一過(guò)程中,動(dòng)量守恒:mv0 = (m + /?7l)v1然后,mn29m及彈簧系統(tǒng)中,當(dāng)mjm)相對(duì)于質(zhì)心

53、的動(dòng)能e嚴(yán)=0時(shí),彈簧有最大的壓縮量xmax,山動(dòng)量、能量守恒，得：nr2z 叫(m + /h, )(m + /?)+ m2 )k )k(tn + z?72)v0|1 z.21 zx 21 f2"max+=-(m + m+m2)vc +kxmak316兩球冇相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度，靜止時(shí)兩球恰能接觸r懸線平行。已知 兩球碰撞的恢復(fù)系數(shù)為若球a自高度h】釋放，求該球碰撞彈回后能達(dá)到的簡(jiǎn)度。解：a球與b球碰撞前一刻的速度為 =2gh，碰撞后兩者的速度分別為va,vb :mv = mva + mv8vavb= 一叫=少>0,% =£(1 + »尙，-1?

54、-12t1/予2 1mgha=-mva-ha =gtaha =-(l-)-/i1=> fn *加g 心=-mvb2hb =-gtb2hh =-(l + e)2/?la球第次碰撞后返回的高度是箴=*(1 -幺)右邊是足夠長(zhǎng)的水平直線?，F(xiàn) a在高h(yuǎn)處自靜止滑下，與b 并再度滑下。求a, b至少發(fā)3-17在一鉛直面內(nèi)有一光滑的軌道，軌道左邊是光滑弧線, 冇質(zhì)量分別為加a和加b的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，b在水平軌道上靜止, 發(fā)生完全彈性碰撞，碰示a仍可返回到弧線的某一高度上, 生兩次碰撞的條件。解：a質(zhì)點(diǎn)與b質(zhì)點(diǎn)第一次相碰前的速度為v40二j頑由（3.63）式可得第一次碰撞后兩質(zhì)點(diǎn)速度為加a +皿乜ma +叫

55、若要求a點(diǎn)返回，則要求少<0,則ma < mr ,然后a質(zhì)點(diǎn)再滑下，與b以生第二 次碰撞，即要求： v40=-v4 >v可解出:mr > 3®或® < mb /33-18 一質(zhì)量為m的粒子以速度巾飛行， 撞。從m /m=（）到m /m=10iffli出末速u(mài) m - mvo與一初始時(shí)靜止.質(zhì)量為m的粒子作完金彈性碰 與比值m/m的函數(shù)關(guān)系圖。解:由（3.63）式得:r- 1-v7vo = 7vom + m r + 12m2r% =v0 =vom + m r + 1兩粒了末速或）與質(zhì)量比m/m =r的函數(shù)關(guān)系如右圖所示（廠0 10）, %以 仏為極限，匕以2心為極限。3-19 -質(zhì)量為/?i>初速為的粒子碰到一個(gè)靜止的、質(zhì)量為加2的粒子，碰撞是完全彈性 的。現(xiàn)觀察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求比值m2/m1； （2）質(zhì)心的速度；（3）兩 粒子在質(zhì)心系中的總動(dòng)能，用m,w12/2的分?jǐn)?shù)來(lái)表示；（4）在實(shí)驗(yàn)室參考系屮g的最終動(dòng)能。動(dòng)量守恒：mx - mv 一 m.v1解:（1）o> v = u. / 2=>/?.= 3m.能量守恒：mux /2