2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第5講　第2課時(shí)　高效演練分層突破

1、基礎(chǔ)題組練1直線 yx2 與橢圓x2my231 有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是()a(1，)b(1，3)(3，)c(3，)d(0，3)(3，)解析：選 b由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由0 且 m3 及 m0 得 m1且 m3.2設(shè)直線 ykx 與橢圓x24y231 相交于 a，b 兩點(diǎn)，分別過 a，b 兩點(diǎn)向 x 軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則 k 等于()a32b23c12d2解析：選 a由題意可知，點(diǎn) a 與點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)即為焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又 c1，當(dāng) k0時(shí)，不妨設(shè) a，b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，y1)，(1，y2)，代入橢圓方程得 y132，y23

2、2，解得 k32；同理可得當(dāng) k0 時(shí) k32.3過橢圓x25y241 的右焦點(diǎn)作一條斜率為 2 的直線與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab 的面積為()a43b53c54d103解析：選 b由題意知橢圓的右焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(1，0)，則直線 ab 的方程為 y2x2.聯(lián) 立x25y241，y2x2，解 得 交 點(diǎn) a(0 ， 2) ， b53，43 ， 所 以 soab12|of|ya yb| 121|243|53，故選 b4已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)與直線 yx3 只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率為55，則橢圓 c 的方程為()a4x225y251bx25y2

3、41cx29y251dx225y2201解析：選 b將直線方程 yx3 代入 c 的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由橢圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化簡得 a2b29.又由橢圓的離心率為55，所以caa2b2a55，則b2a245，解得 a25，b24，所以橢圓的方程為x25y241.5(2020石家莊質(zhì)檢)傾斜角為4的直線經(jīng)過橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn) f，與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，且af2fb，則該橢圓的離心率為()a32b23c22d33解析：選 b由題可知，直線的方程為 yxc，與橢圓方程聯(lián)立x2a2y2

4、b21，yxc，得(b2a2)y22b2cyb40，由于直線過橢圓的右焦點(diǎn)，故必與橢圓有交點(diǎn)，則0.設(shè) a(x1，y1)，b(x2， y2)， 則y1y22b2ca2b2，y1y2b4a2b2，又af2fb，所以(cx1， y1)2(x2c， y2)，所以y12y2，可得y22b2ca2b2，2y22b4a2b2.所以124c2a2b2，所以 e23，故選 b6已知橢圓y2a2x2b21(ab0)的右頂點(diǎn)為 a(1，0)，過其焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，則橢圓方程為_解析：因?yàn)闄E圓y2a2x2b21 的右頂點(diǎn)為 a(1，0)，所以 b1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為 1

5、，所以2b2a1，a2，所以橢圓方程為y24x21.答案：y24x217已知橢圓x22y21 與直線 yxm 交于 a，b 兩點(diǎn)，且|ab|4 23，則實(shí)數(shù) m 的值為_解析：由x22y21，yxm消去 y 并整理，得 3x24mx2m220.設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x24m3，x1x22m223.由題意，得 2(x1x2)28x1x24 23，解得 m1.答案：18已知直線 l：yk(x1)與橢圓 c：x24y21 交于不同的兩點(diǎn) a，b，ab 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為12，則 k_解析：設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，由yk(x1)，x24y21，得(4k21)x28k

6、2x4k240，因?yàn)橹本€ l 過橢圓內(nèi)的定點(diǎn)(1，0)，所以0，x1x28k24k21，所以x1x224k24k2112，即 k214，所以 k12.答案：129設(shè) f1，f2分別是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)，m 是 c 上一點(diǎn)且 mf2與 x 軸垂直，直線 mf1與 c 的另一個(gè)交點(diǎn)為 n.(1)若直線 mn 的斜率為34，求 c 的離心率；(2)若直線 mn 在 y 軸上的截距為 2，且|mn|5|f1n|，求 a，b.解：(1)根據(jù) c a2b2及題設(shè)知 mc，b2a ，b2a2c34，2b23ac.將 b2a2c2代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)

7、故 c 的離心率為12.(2)由題意，原點(diǎn) o 為 f1f2的中點(diǎn)，mf2y 軸，所以直線 mf1與 y 軸的交點(diǎn) d(0，2)是線段 mf1的中點(diǎn)，故b2a4，即 b24a.由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|.設(shè) n(x1，y1)，由題意知 y10，則2(cx1)c，2y12，即x132c，y11.代入 c 的方程，得9c24a21b21.將及 c a2b2代入得9(a24a)4a214a1.解得 a7，b24a28，故 a7，b2 7.10已知橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 f1(1，0)，f2(1，0)，且經(jīng)過點(diǎn) e3，32 .(1)求橢圓 c 的方程；(2)過 f1的直線 l 與橢

8、圓 c 交于 a，b 兩點(diǎn)(點(diǎn) a 位于 x 軸上方)，若af12f1b，求直線l 的斜率 k 的值解：(1)由2a|ef1|ef2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3，所以橢圓 c 的方程為x24y231.(2)由題意得直線 l 的方程為 yk(x1)(k0)，聯(lián)立，得yk(x1)，x24y231，整理得3k24y26ky90，144k21440，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y26k34k2，y1y29k234k2，又af12f1b，所以 y12y2，所以 y1y22(y1y2)2，則 34k28，解得 k52，又 k0，所以 k52.綜合題組練1 設(shè) f1，

9、 f2分別是橢圓x24y21 的左、 右焦點(diǎn)， 若橢圓上存在一點(diǎn) p， 使(opof2)pf20(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則f1pf2的面積是()a4b3c2d1解析：選 d因?yàn)?opof2)pf2(opf1o)pf2f1ppf20，所以 pf1pf2，f1pf290.設(shè)|pf1|m， |pf2|n， 則 mn4， m2n212， 2mn4， mn2， 所以 sf1pf212mn1.2直線 l 過橢圓x22y21 的左焦點(diǎn) f，且與橢圓交于 p，q 兩點(diǎn)，m 為 pq 的中點(diǎn)，o為原點(diǎn)，若fmo 是以 of 為底邊的等腰三角形，則直線 l 的斜率為()a22b22c32d32解析：選 b由x22y2

10、1，得 a22，b21，所以 c2a2b2211，則 c1，則左焦點(diǎn) f(1，0)由題意可知，直線 l 的斜率存在且不等于 0，設(shè)直線 l 的方程為 ykxk.設(shè) l 與橢圓交于點(diǎn) p(x1，y1)，q(x2，y2)，聯(lián)立x22y21，ykxk得(2k21)x24k2x2k220.則pq 的中點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為x1x222k22k21.因?yàn)閒mo 是以 of 為底邊的等腰三角形，所以2k22k2112，解得 k22.3從橢圓x2a2y2b21(ab0)上一點(diǎn) p 向 x 軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn) f1，a 是橢圓與x 軸正半軸的交點(diǎn)，b 是橢圓與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，且 abop(o 是坐標(biāo)原

11、點(diǎn))，則該橢圓的離心率是_解析：由題意可設(shè) p(c，y0)(c 為半焦距)，kopy0c，kabba，由于 opab，所以y0cba，y0bca，把 pc，bca 代入橢圓方程得(c)2a2bca2b21，所以ca212，所以 eca22.答案：224.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) o，頂點(diǎn)分別是 a1，a2，b1，b2，焦點(diǎn)分別為 f1，f2，延長 b1f2與 a2b2交于 p 點(diǎn)，若b1pa2為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍為_解析：設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，b1pa2為鈍角可轉(zhuǎn)化為b2a2，f2b1所夾的角為鈍角，則(a，b)(c，b)0，得 b2ac，即 a2c2ac，

12、故ca2ca10 即 e2e10，e512或 e 512，又 0e1，所以512e1.答案：512，15已知 f1，f2是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，|f1f2|4，長軸長為6，又 a，b 分別是橢圓 c 上位于 x 軸上方的兩點(diǎn)，且滿足af12bf2.(1)求橢圓 c 的方程；(2)求四邊形 abf2f1的面積解：(1)由題意知 2a6，2c4，所以 a3，c2，所以 b2a2c25，所以橢圓 c 的方程為x29y251.(2)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，又 f1(2，0)，f2(2，0)，所以af1(2x1，y1)，bf2(2x2，y2)，由af12

13、bf2，得 x122(x22)，y12y2.延長 ab 交 x 軸于 h，因?yàn)閍f12bf2，所以 af1bf2，且|af1|2|bf2|.所以線段 bf2為af1h 的中位線，即 f2為線段 f1h 的中點(diǎn)，所以 h(6，0)設(shè)直線 ab 的方程為 xmy6，代入橢圓方程，得 5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350.所以 y1y260m5m293y2，y1y21355m292y22，消去 y2，得 m292325，結(jié)合題意知 m9 35.s四邊形 abf2f1saf1hsbf2h12|f1h|y112|f2h|y24y12y28y22y26y2120m5m2915 34

14、.6(2020安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為f1(1，0)，f2(1，0)，p 為橢圓 c 上一點(diǎn)，滿足 3|pf1|5|pf2|且 cosf1pf235.(1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線 l：ykxm 與橢圓 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，點(diǎn) q14，0，若|aq|bq|，求 k 的取值范圍解：(1)由題意設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，則 3r15r2，又 r1r22a，所以 r154a，r234a.在pf1f2中，由余弦定理得，cosf1pf2r21r22|f1f2|22r1r254a234a222254a34a35，解得 a2，因?yàn)?c1，所以 b2a2c23，所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y231.(2)聯(lián)立方程，得x24y231ykxm，消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且48(34k2