2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第6講　雙曲線

1、 第 6 講 雙曲線 一、知識梳理 1雙曲線的定義 條件 結(jié)論 1 結(jié)論 2 平面內(nèi)的動點 m 與平面內(nèi)的兩個定點 f1，f2 m 點的 軌跡為 雙曲線 f1、f2為雙曲線的焦點 |f1f2|為雙曲線的焦距 |mf1|mf2|2a 2a|f1f2| 注意 (1)當 2a|f1f2|時，p 點的軌跡是兩條射線； (2)當 2a|f1f2|時，p 點不存在 2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 圖形 性質(zhì) 范圍 xa 或 xa，yr ya 或 ya，xr 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 a1(a，0)，a2(a，0

2、) a1(0，a)，a2(0，a) 漸近線 ybax yabx 離心率 eca，e(1，) 實虛軸 線段 a1a2叫做雙曲線的實軸，它的長|a1a2|2a；線段 b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長|b1b2|2b；a 叫做雙曲線的半實軸長，b 叫做雙曲線的半虛軸長 a、b、c 的關系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為 y x，離心率為 e 2. 常用結(jié)論 1雙曲線中的幾個常用結(jié)論 (1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為 b. (2)若p是雙曲線右支上一點， f1， f2分別為雙曲線的左、 右焦點， 則|pf1|minac， |pf

3、2|minca. (3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為2b2a，異支的弦中最短的為實軸，其長為 2a. (4)設 p，a，b 是雙曲線上的三個不同的點，其中 a，b 關于原點對稱，直線 pa，pb斜率存在且不為 0，則直線 pa 與 pb 的斜率之積為b2a2. 2巧設雙曲線方程 (1)與雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為x2a2y2b2t(t0) (2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為 mx2ny21(mn0) 二、教材衍化 1雙曲線x224y2251 的實軸長_，離心率_，漸近線方程_ 答案：10 75 y5 612x 2經(jīng)過點 a

4、(3，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_ 解析：設雙曲線的方程為x2a2y2a2 1(a0)， 把點 a(3，1)代入，得 a28(舍負)， 故所求方程為x28y281. 答案：x28y281 3以橢圓x24y231 的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為_ 解析：設要求的雙曲線方程為x2a2y2b21(a0，b0)，由橢圓x24y231，得焦點為( 1，0)，頂點為( 2，0)所以雙曲線的頂點為( 1，0)，焦點為( 2，0)所以 a1，c2，所以b2c2a23，所以雙曲線標準方程為 x2y231. 答案：x2y231 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)

5、平面內(nèi)到點 f1(0，4)，f2(0，4)距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線( ) (2)橢圓的離心率 e(0，1)，雙曲線的離心率 e(1，)( ) (3)方程x2my2n1(mn0)表示焦點在 x 軸上的雙曲線( ) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 2.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易錯糾偏 常見誤區(qū)| (1)忽視雙曲線定義的條件致誤； (2)忽視雙曲線焦點的位置致誤 1平面內(nèi)到點 f1(0，4)，f2(0，4)的距離之差等于 6 的點的軌跡是_ 解析：由|pf1|pf2|6|f1f2|8，得 a3，又 c4，則 b2c2a27，所以所求點的軌跡是

6、雙曲線y29x271 的下支 答案：雙曲線y29x271 的下支 2坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的斜率為 3，則雙曲線的離心率為_ 解析：若雙曲線的焦點在 x 軸上， 設雙曲線的方程為x2a2y2b21， 則漸近線的方程為 ybax， 由題意可得ba 3，b 3a， 可得 c2a，則 eca2； 若雙曲線的焦點在 y 軸上， 設雙曲線的方程為y2a2x2b21， 則漸近線的方程為 yabx， 由題意可得ab 3，a 3b， 可得 c2 33a，則 e2 33. 綜上可得 e2 或 e2 33. 答案：2 或2 33 考點一 雙曲線的定義(基礎型) 復習指導| 了解雙

7、曲線的定義及幾何圖形 核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象 (1)(2020 河南非凡聯(lián)盟 4 月聯(lián)考)已知雙曲線 c：x2a2y291(a0)的左、右焦點分別為 f1， f2， 一條漸近線與直線 4x3y0 垂直， 點 m 在 c 上， 且|mf2|6， 則|mf1|( ) a2 或 14 b2 c14 d2 或 10 (2)設 f1，f2是雙曲線x24y21 的焦點，點 p 在雙曲線上，且滿足f1pf290 ，則f1pf2的面積是_ 【解析】 (1)由題意知3a34，故 a4，則 c5. 由|mf2|6ac9，知點 m 在 c 的右支上， 由雙曲線的定義知|mf1|mf2|2a8， 所以|mf1|14. (

8、2)雙曲線x24y21 中，a2，b1，c 5.可設點 p 在右支上，由雙曲線的定義可得|pf1|pf2|4， 兩邊平方得，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|16， 又|pf1|2|pf2|2(2c)220，所以pf1f2的面積為12|pf1| |pf2|1. 【答案】 (1)c (2)1 【遷移探究】 (變設問)在本例(2)條件下，則f1pf2的周長為_ 解析：又(|pf1|pf2|)2(|pf1|pf2|)24|pf1|pf2|16824，所以|pf1|pf2|2 6，pf1f2的周長為 2 62 5. 答案：2 52 6 雙曲線定義的應用 (1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡

9、是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程； (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運用平方的方法，建立|pf1|與|pf2|的關系 注意 在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支 1設 f1，f2分別是雙曲線 x2y291 的左、右焦點若點 p 在雙曲線上，且|pf1|6，則|pf2|( ) a6 b4 c8 d4 或 8 解析：選 d由雙曲線的標準方程可得 a1，則|pf1|pf2|2a2，即|6|pf2|2，解得|pf2|4 或 8. 2已知 f1，f2為雙曲線 c：x2

10、y22 的左，右焦點，點 p 在 c 上，|pf1|2|pf2|，則cosf1pf2_ 解析：由雙曲線的定義有 |pf1|pf2|pf2|2a2 2， 所以|pf1|2|pf2|4 2， 則 cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|(4 2)2(2 2)24224 22 234. 答案：34 考點二 雙曲線的標準方程(基礎型) 復習指導| 了解雙曲線的標準方程 核心素養(yǎng)：數(shù)學運算 (1)已知圓 c1：(x3)2y21，c2：(x3)2y29，動圓 m 同時與圓 c1和圓 c2相外切，則動圓圓心 m 的軌跡方程為( ) ax2y281 bx28y21 cx2

11、y281(x1) dx2y281(x1) (2)已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線 c 與橢圓x29y241 有相同的焦距，且一條漸近線方程為 x2y0，則雙曲線 c 的方程為_ 【解析】 (1)設動圓 m 的半徑為 r，由動圓 m 同時與圓 c1和圓 c2相外切，得|mc1|1r，|mc2|3r，|mc2|mc1|26，所以點 m 的軌跡是以點 c1(3，0)和 c2(3，0)為焦點的雙曲線的左支，且 2a2，a1，c3，則 b2c2a28，所以點 m 的軌跡方程為x2y281(x1) (2)在橢圓x29y241 中，c94 5.因為雙曲線 c 與橢圓x29y241 有相同的焦距，且一條

12、漸近線方程為 x2y0，所以可設雙曲線方程為x24y2(0)，化為標準方程為x24y21.當 0 時，c 4 5，解得 1，則雙曲線 c 的方程為x24y21；當 0時，c 4 5，解得 1，則雙曲線 c 的方程為 y2x241.綜上，雙曲線 c 的方 程為x24y21 或 y2x241. 【答案】 (1)c (2)x24y21 或 y2x241 求雙曲線標準方程的方法 (1)定義法 根據(jù)雙曲線的定義確定 a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，求出雙曲線方程，常用的關系有： c2a2b2； 雙曲線上任意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的絕對值等于 2a. (2)待定系數(shù)法 一般步驟 常用設法 (i)與雙

13、曲線x2a2y2b21 共漸近線的方程可設為x2a2y2b2(0)； (ii)若雙曲線的漸近線方程為 ybax，則雙曲線的方程可設為x2a2y2b2(0)； (iii)若雙曲線過兩個已知點， 則雙曲線的方程可設為x2my2n1(mn0)或 mx2ny21(mn0) 1雙曲線 c 的兩焦點分別為(6，0)，(6，0)，且經(jīng)過點(5，2)，則雙曲線的標準方程為( ) ax220y241 bx220y2161 cy220 x2161 dy220 x241 解析：選 b2a|(56)222 |(56)222 4 5.所以 a2 5，又 c6， 所以 b2c2a2362016. 所以雙曲線的標準方程為x

14、220y2161.故選 b 2(2020 合肥市第一次質(zhì)檢測)設雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的虛軸長為 4，一條漸近線的方程為 y12x，則雙曲線 c 的方程為( ) ax216y241 bx24y2161 cx264y2161 dx2y241 解析：選 a由題意知，雙曲線的虛軸長為 4，得 2b4，即 b2，又雙曲線的焦點在x 軸上， 則其一條漸近線的方程為 ybax12x， 可得 a4， 所以雙曲線 c 的方程為x216y241，故選 a 考點三 雙曲線的幾何性質(zhì)(綜合型) 復習指導| 了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 核心素養(yǎng)： 數(shù)學運算 角度一 雙曲線的漸近線問題 (2020

15、吉林第三次調(diào)研測試)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的實軸長是虛軸長的 2倍，則雙曲線 c 的漸近線方程為( ) ay 2 2x by 2x cy22x dy24x 【解析】 雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的實軸長為 2a，虛軸長為 2b，所以 2a2 2b，即 a 2b. 所以漸近線方程為 ybax22x.故選 c 【答案】 c 求雙曲線的漸近線的方法 求雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知漸近線方程為 y

16、bax，可設雙曲線方程為x2a2y2b2(a0，b0，0) 說明 兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關于 x 軸，y 軸對 稱 角度二 雙曲線的離心率問題 (1)(2020 蘭州市診斷考試)若雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的實軸長為 4，離心率為 3，則其虛軸長為( ) a8 2 b4 2 c2 2 d4 63 (2)(一題多解)(2019 高考全國卷)設 f 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點，o 為坐標原點，以 of 為直徑的圓與圓 x2y2a2交于 p，q 兩點若|pq|of|，則 c 的離心率為( ) a 2 b 3 c2 d 5 【解析】

17、 (1)由題意知 2a4， 所以 a2.因為 eca 3， 所以 c2 3， 所以 bc2a22 2，所以 2b4 2，即該雙曲線的虛軸長為 4 2，故選 b (2)法一： 依題意， 記 f(c， 0)， 則以 of 為直徑的圓的方程為xc22y2c24， 將圓xc22y2c24與圓 x2y2a2的方程相減得 cxa2，即 xa2c，所以點 p，q 的橫坐標均為a2c.由于 pq 是圓 x2y2a2的一條弦， 因此a2c2|pq|22a2， 即a2c2c22a2， 即c24a21a2c2a2b2c2， 所以 c22ab， 即 a2b22ab(ab)20， 所以 ab， 因此 c 的離心率 e1

18、ba2 2，故選 a 法二：記 f(c，0)連接 op，pf，則 oppf，所以 sopf12|op| |pf|12|of|12|pq|，即12a c2a212c12c，即 c22ab，即 a2b22ab(ab)20，所以 ab，因此 c 的離心率 e1ba2 2，故選 a 法三：記 f(c，0)依題意，pq 是以 of 為直徑的圓的一條弦，因此 of 垂直平分 pq.又|pq|of|，因此 pq 是該圓的與 of 垂直的直徑，所以fop45 ，點 p 的橫坐標為c2，縱坐標的絕對值為c2，于是有 2c2a，即 eca 2，即 c 的離心率為 2，故選 a 【答案】 (1)b (2)a (1)

19、求雙曲線的離心率或其取值范圍的方法 求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. 列出含有 a，b，c 的齊次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后轉(zhuǎn)化成關于 e 的方程(或不等式)求解 (2)雙曲線的漸近線的斜率 k 與離心率 e 的關系：kbac2a2ac2a21e21. 1(2020 黑龍江齊齊哈爾二模)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的焦距為 4 2，且兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的實軸長為( ) a2 b4 c6 d8 解析：選 b因為雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線為 ybax，兩條漸近線互相垂直，所以ba21，得

20、ab.因為雙曲線的焦距為 4 2，所以 c2 2，由 c2a2b2可知 2a28，所以 a2，所以實軸長 2a4.故選 b 2(2020 甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)若雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 5，則斜率為正的漸近線的斜率為( ) a32 b12 c 3 d2 解析：選 d雙曲線的離心率為 5，即ca 5， 所以bac2a2a2ca212，所以雙曲線的漸近線方程為 y 2x，故選 d 3(2020 陜西榆林二模)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)，左頂點為 a，右焦點為 f，過 f 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線 c 在第一象限內(nèi)的交點為 b，且直線 ab 的斜

21、率為12，則 c 的離心率為_ 解析：把 xc 代入雙曲線：x2a2y2b21(a0，b0)得 yb2a，所以 bc，b2a， 又 a(a，0)，直線 ab 的斜率為12，所以b2aac12， 可得 a2ac2c22a2，即 2c23a2ac0， 即 2e23e0， 因為 e1，所以 e32. 答案：32 基礎題組練 1(2019 高考北京卷)已知雙曲線x2a2y21(a0)的離心率是 5，則 a( ) a 6 b4 c2 d12 解析：選 d由雙曲線方程x2a2y21， 得 b21， 所以 c2a21. 所以 5e2c2a2a21a211a2. 結(jié)合 a0，解得 a12. 故選 d 2若雙曲

22、線 c1：x22y281 與 c2：x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線相同，且雙曲線 c2的焦距為 4 5，則 b( ) a2 b4 c6 d8 解析：選 b由題意得，ba2b2a，c2的焦距 2c4 5ca2b22 5b4，故選 b 3 設雙曲線 x2y281 的兩個焦點為 f1， f2， p 是雙曲線上的一點， 且|pf1|pf2|34，則pf1f2的面積等于( ) a10 3 b8 3 c8 5 d16 5 解析：選 c依題意|f1f2|6，|pf2|pf1|2，因為|pf1|pf2|34，所以|pf1|6，|pf2|8，所以等腰三角形 pf1f2的面積 s128 628228 5

23、. 4(2020 長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩個頂點分別為 a，b，點 p 為雙曲線上除 a，b 外任意一點，且點 p 與點 a，b 連線的斜率分別為 k1，k2，若k1k23，則雙曲線的漸近線方程為( ) ay x by 2x cy 3x dy 2x 解析：選 c設點 p(x，y)，由題意知 k1k2yxayxay2x2a2y2a2y2b2b2a23，所以其漸近線方程為 y 3x，故選 c 5(多選)(2021 預測)已知 f1，f2分別是雙曲線 c：y2x21 的上、下焦點，點 p 是其中一條漸近線上的一點，且以線段 f1f2為直徑的圓經(jīng)過點 p，則(

24、 ) a雙曲線 c 的漸近線方程為 y x b以 f1f2為直徑的圓的方程為 x2y21 c點 p 的橫坐標為 1 dpf1f2的面積為 2 解析：選 acd等軸雙曲線 c：y2x21 的漸近線方程為 y x，故 a 正確；由雙曲線的方程可知|f1f2|2 2， 所以以 f1f2為直徑的圓的方程為 x2y22， 故 b 錯誤； 點 p(x0，y0)在圓 x2y22 上，不妨設點 p(x0，y0)在直線 yx 上，所以x20y202，y0 x0，解得|x0|1，則點 p 的橫坐標為 1，故 c 正確；由上述分析可得pf1f2的面積為122 21 2，故 d正確故選 acd 6(2019 高考江蘇

25、卷)在平面直角坐標系 xoy 中，若雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_ 解析：因為雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b 2，即雙曲線方程為 x2y221，其漸近線方程為 y 2x. 答案：y 2x 7(2020 云南昆明診斷測試改編)已知點 p(1， 3)在雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線上，f 為雙曲線 c 的右焦點，o 為原點若fpo90 ，則雙曲線 c 的方程為_，其離心率為_ 解析：因為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 ybax，點 p(1， 3)在 漸

26、近線上，所以ba 3.在 rtopf 中，|op|( 3)212，fop60 ，所以|of|c4.又 c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以雙曲線 c 的方程為x24y2121，離心率 eca2. 答案：x24y2121 2 8.如圖，f1，f2是雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右兩個焦點，若直線 yx與雙曲線 c 交于 p，q 兩點，且四邊形 pf1qf2為矩形，則雙曲線的離心率為_ 解析：由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線 yx 代入雙曲線 c 方程，可得 xa2b2b2a2，所以 2a2b2b2a2c，所以 2a2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2，

27、所以 e44e220.因為 e1，所以 e22 2，所以 e2 2. 答案：2 2 9已知橢圓 d：x250y2251 與圓 m：x2(y5)29，雙曲線 g 與橢圓 d 有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓 m 相切，求雙曲線 g 的方程 解：橢圓 d 的兩個焦點坐標為(5，0)，(5，0)， 因而雙曲線中心在原點，焦點在 x 軸上，且 c5. 設雙曲線 g 的方程為x2a2y2b21(a0，b0)， 所以漸近線方程為 bx ay0 且 a2b225， 又圓心 m(0，5)到兩條漸近線的距離為 3. 所以|5a|b2a23，得 a3，b4， 所以雙曲線 g 的方程為x29y2161. 10 已

28、知雙曲線的中心在原點， 焦點 f1， f2在坐標軸上， 離心率為 2， 且過點(4， 10) (1)求雙曲線方程； (2)若點 m(3，m)在雙曲線上，求證：點 m 在以 f1f2為直徑的圓上 解：(1)因為離心率 e 2， 所以雙曲線為等軸雙曲線， 可設其方程為 x2y2(0)， 則由點(4， 10)在雙曲線上， 可得 42( 10)26， 所以雙曲線的方程為 x2y26. (2)證明：因為點 m(3，m)在雙曲線上， 所以 32m26，所以 m23， 又雙曲線 x2y26 的焦點為 f1(2 3，0)，f2(2 3，0)， 所以mf1 mf2(2 33， m) (2 33， m)(3)2(

29、2 3)2m291230，所以 mf1mf2，所以點 m 在以 f1f2為直徑的圓上 綜合題組練 1設雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點是 f，左、右頂點分別是 a1，a2，過 f 作a1a2的垂線與雙曲線交于 b，c 兩點若 a1ba2c，則該雙曲線的漸近線方程為( ) ay12x by22x cy x dy 2x 解析：選 c如圖，不妨令 b 在 x 軸上方，因為 bc 過右焦點 f(c，0)，且垂直于 x 軸，所以可求得 b，c 兩點的坐標分別為c，b2a，c，b2a.又 a1，a2的坐標分別為(a，0)，(a，0) 所以a1bca，b2a，a2cca，b2a. 因為 a1b

30、a2c，所以a1ba2c0， 即(ca)(ca)b2ab2a0， 即 c2a2b4a20，所以 b2b4a20，故b2a21，即ba1. 又雙曲線的漸近線的斜率為ba， 故該雙曲線的漸近線的方程為 y x. 2過雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左焦點 f(c，0)作圓 o：x2y2a2的切線，切點為 e，延長 fe 交雙曲線于點 p，若 e 為線段 fp 的中點，則雙曲線的離心率為( ) a 5 b52 c 51 d512 解析：選 a法一：如圖所示，不妨設 e 在 x 軸上方，f為雙曲線的右焦點，連接 oe，pf，因為 pf 是圓 o 的切線，所以 oepe，又 e，o 分別為 pf

31、，ff的中點，所以|oe|12|pf|，又|oe|a，所以|pf|2a，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|pf|pf|2a，所以|pf|4a，所以|ef|2a，在 rtoef 中，|oe|2|ef|2|of|2，即 a24a2c2，所以 e 5，故選 a 法二：連接 oe，因為|of|c，|oe|a，oeef，所以|ef|b，設 f為雙曲線的右焦點，連接 pf，因為 o，e 分別為線段 ff，fp 的中點，所以|pf|2b，|pf|2a，所以|pf|pf|2a，所以 b2a，所以 e1ba2 5. 3已知 m(x0，y0)是雙曲線 c：x22y21 上的一點，f1，f2是雙曲線 c 的兩個焦點若mf1mf2

32、0，則 y0的取值范圍是_ 解析：由題意知 a 2，b1，c 3， 設 f1( 3，0)，f2( 3，0)， 則mf1( 3x0，y0)，mf2( 3x0，y0) 因為mf1mf20， 所以( 3x0)( 3x0)y200， 即 x203y200. 因為點 m(x0，y0)在雙曲線 c 上， 所以x202y201，即 x2022y20， 所以 22y203y200，所以33y033. 答案：33，33 4(2019 高考全國卷)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為 f1， f2，過 f1的直線與 c 的兩條漸近線分別交于 a，b 兩點，若f1aab，f1bf2b0

33、，則 c的離心率為_ 解析：法一：因為f1bf2b0，所以 f1bf2b，如圖 所以|of1|ob|，所以bf1of1bo，所以bof22bf1o.因為f1aab，所以點 a 為 f1b 的中點，又點 o 為 f1f2的中點，所以 oabf2，所以 f1boa，因為直線 oa，ob 為雙曲線 c 的兩條漸近線，所以 tanbf1oab，tanbof2ba.因為 tanbof2tan(2bf1o)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以雙曲線的離心率 eca2. 法二：因為f1bf2b0，所以 f1bf2b，在 rtf1bf2中，|ob|of2|，所以obf2of2b，又f1aab，所以 a 為 f1b 的中點，所以 oaf2b，所以f1