考點(diǎn)36 圓的方程-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)36 圓的方程（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.（2）能用圓的方程解決一些簡單的問題.一、圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑區(qū)別與聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地表現(xiàn)出圓的幾何要素，即圓心坐標(biāo)和半徑長；（2）圓的一般方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)明顯，圓心坐標(biāo)和半徑長需要通過代數(shù)運(yùn)算才能得出；（3）二者可以互化：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開可得一般方程，將圓的一般方程配方可得標(biāo)準(zhǔn)方程注：當(dāng)d2+e24f = 0時，方程x2+y2+dx+ey+f = 0表示一個點(diǎn)；當(dāng)d2+e24f0時，方程x2+y2+dx

2、+ey+f = 0沒有意義，不表示任何圖形二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)方程的形式一般方程的形式點(diǎn)（x0，y0）在圓上點(diǎn)（x0，y0）在圓外點(diǎn)（x0，y0）在圓內(nèi)三、必記結(jié)論（1）圓的三個性質(zhì)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線（2）兩個圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程同心圓系方程：，其中a，b為定值，r是參數(shù)；半徑相等的圓系方程：，其中r為定值，a，b為參數(shù)考向一 求圓的方程1求圓的方程必須具備三個獨(dú)立的條件從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來看，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)和半徑，從圓的一般方程來講，能知道圓上的三個點(diǎn)即可求出圓的方程，因

3、此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法2用幾何法求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”，“半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形”典例1 求滿足下列條件的圓的方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)p(5，1)，圓心為點(diǎn)c(8，3)；（2）經(jīng)過三點(diǎn)a(0，0)，b(1，1），c(4，2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可知，圓的半徑長為，因此，圓的方程為.（2）設(shè)所求圓的一般方程為，將、三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得，解得，因此，所求圓的方程為.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，根據(jù)已知條件的類型選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程求解，一般而言，確定圓心坐標(biāo)與半徑，

4、選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較為合適，計算三角形的外接圓方程，利用圓的一般方程較好，考查計算能力，屬于中等題.（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式計算出圓的半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程；（2）設(shè)所求圓的一般方程為，將、三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得三元一次方程組，求出、的值，可得出所求圓的方程. 1以為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是abc或d或考向二 與圓有關(guān)的對稱問題1圓的軸對稱性:圓關(guān)于直徑所在的直線對稱 2圓關(guān)于點(diǎn)對稱： （1）求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置; （2）兩圓關(guān)于點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn) 3圓關(guān)于直線對稱： （1）求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置; （2）兩圓

5、關(guān)于直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線典例2 （1）已知圓c1：（x+1）2+（y1）2 =1，圓c2與圓c1關(guān)于直線xy1=0對稱，則圓c2的方程為abcd（2）若圓（x+1）2+（y3）2=9上相異兩點(diǎn)p，q關(guān)于直線kx+2y4=0對稱，則k的值為_【答案】（1）b；（2）2【解析】（1）圓c1的圓心為（1，1），半徑長為1，設(shè)圓c2的圓心為（a，b），由題意得且，解得a=2，b=2，所以圓c2的圓心為（2，2），且半徑長為1，故圓c2的方程為（x2）2+（y+2）2=1（2）已知圓（x+1）2+（y3）2=9的圓心為（1，3），由題設(shè)知，直線kx+2y4=0過圓心，則k

6、5;（1）+2×34=0，解得k=22已知圓（為實數(shù)）上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)都在圓上，則abcd考向三 與圓有關(guān)的軌跡問題1求軌跡方程的步驟如下： 建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)寫集合：寫出滿足復(fù)合條件p的點(diǎn)m的集合 列式：用坐標(biāo)表示，列出方程 化簡：化方程為最簡形式 證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)2求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 典例3 已知中，求：（1）直角頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，則，即，化簡得：.不共線，.故頂點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)，由（1）知：又，為線段的中點(diǎn)，即，代入

7、式，得：.故的軌跡方程為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)直線的位置關(guān)系得到點(diǎn)滿足的方程，或利用動點(diǎn)坐標(biāo)表示出已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知曲線得到軌跡方程；易錯點(diǎn)是忽略已知中的限制條件，未排除特殊點(diǎn).（1）設(shè)，求得和，根據(jù)垂直關(guān)系可知斜率乘積為，根據(jù)三個頂點(diǎn)不共線，可知，從而得到軌跡方程；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式用，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入（1）中軌跡方程整理可得結(jié)果.3已知點(diǎn)，圓：，過點(diǎn)的動直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時，求的方程及的面積.考向四 與圓有關(guān)的最值問題對于圓中的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)的式子函數(shù)關(guān)

8、系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式的性質(zhì)求出最值特別地，要利用圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這正是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用典例4 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是a bc d【答案】c【解析】圓的圓心為，半徑為，過圓心與直線垂直的直線方程為，所求的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離為，則所求圓的半徑為，設(shè)所求圓心為，且圓心在直線的左上方，則，且，解得（不符合，舍去），故所求圓的方程為，故選c.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，計算能力，屬于中檔題.典例5 已知點(diǎn)在圓上（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值

9、【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.【解析】（1）設(shè)，則，t可視為直線的縱截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或的最大值為，最小值為（2）可視為點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)的斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或的最大值為，最小值為【名師點(diǎn)睛】1與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值（1）記o為圓心，圓外一點(diǎn)a到圓上距離最小為，最大為；（2）過圓內(nèi)一

10、點(diǎn)的弦最長為圓的直徑，最短為以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；（3）記圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為；（4）過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓2與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值（1）形形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；（2）形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；（3）形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題4平面上兩個點(diǎn)為a(1，0)，b(1，0)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，在圓c：x2y26x8y210上取一點(diǎn)p，則|ap|2|bp|2的最小值為_1若方程表示一個圓，則的取值范圍是abcd2若直線是圓的一條對稱軸，則

11、的值為a1 bc2 d3對于，直線恒過定點(diǎn)，則以為圓心，2為半徑的圓的方程是a bc d4一個圓經(jīng)過以下三個點(diǎn)，且圓心在軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為abcd5p為圓上任一點(diǎn)，則p與點(diǎn)的距離的最小值是a1b4c5d66當(dāng)圓的面積最大時，圓心坐標(biāo)是abcd7點(diǎn)，是圓上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑等于abc1d38過點(diǎn)的直線將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為a bc d9已知點(diǎn)，是圓：上任意一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的軌跡方程為，則的值為a1 b2c3 d410已知圓，點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱若圓上存在點(diǎn)，使得，則當(dāng)取得最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)是a bc d11在平面直角坐標(biāo)系

12、中，三點(diǎn),，則三角形的外接圓方程是_12若實數(shù)x，y滿足，則的最小值是_ .13已知在圓上，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則的最小值為_14已知圓過點(diǎn)，求：（1）周長最小的圓的方程；（2）圓心在直線上的圓的方程15在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，.（1）在軸的正半軸上求一點(diǎn)，使得以為直徑的圓過點(diǎn)，并求該圓的方程;（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在線段內(nèi)，且平分，試求點(diǎn)的坐標(biāo).16已知圓，直線，（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點(diǎn)；（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.17在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足

13、以下性質(zhì)：線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線：，為曲線上不同的四點(diǎn).（1）求實數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；（3）求曲線的最小覆蓋圓的方程.變式拓展1【答案】c【解析】由題意得：半徑.若為圓心，則所求圓的方程為：；若為圓心，則所求圓的方程為：.本題正確選項為c.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，易錯點(diǎn)是忽略兩點(diǎn)可分別作為圓心，從而造成丟根，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先利用兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，分別在和為圓心的情況下寫出圓的方程.2【答案】d【解析】由題意可知：直線過圓心，解得：.本題正確選項為d.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，

14、關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的對稱性判斷出直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線解得結(jié)果.3【答案】（1）；（2）.【解析】（1）圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，設(shè)，則，由題意知，故，即，由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以的軌跡方程是.（2）由（1）可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而，因為的斜率為3，所以的斜率為，所以的方程為.又，到的距離為，所以的面積為.【名師點(diǎn)睛】求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立，之間的關(guān)系；（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程；（3）定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；

15、（4）代入(相關(guān)點(diǎn))法：動點(diǎn)依賴于另一動點(diǎn)的變化而運(yùn)動，常利用代入法求動點(diǎn)的軌跡方程4【答案】20【解析】設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，則|op|，a(1，0)，b(1，0)，|ap|2|bp|2(x1)2y2(x1)2y22(x2y2)22|op|22.要使|ap|2|bp|2取得最小值，需使|op|2最小將圓c：x2y26x8y210化為(x3)2(y4)24.點(diǎn)p為圓c：(x3)2(y4)24上的點(diǎn)，|op|min|oc|r(r為半徑)由(x3)2(y4)24知圓心c(3，4)，r2.|oc|r2523，即|op|min3，(|ap|2|bp|2)min2×32220.故答案為：2

16、0.【名師點(diǎn)睛】和圓有關(guān)的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的.在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】c【解析】表示一個圓，所以 ，解得.故選c.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)半徑必須大于零求解.2【答案】b【解析】圓的方程可化為，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，可得，即的值為.故選b.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及由標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心坐標(biāo)

17、，意在考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡單題.由題意可知直線通過圓的圓心，求出圓心坐標(biāo)代入直線方程，即可得到的值.3【答案】a【解析】由條件知，可以整理為故直線過定點(diǎn)，所求圓的方程為，化為一般方程為故選a4【答案】d【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的方程為，將，三點(diǎn)代入，得，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選d【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，重點(diǎn)找出圓心及半徑是關(guān)鍵，難度不大.根據(jù)題意設(shè)出圓心，利用圓心到三點(diǎn)的距離相等建立等式，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.5【答案】b【解析】因為在圓外，且圓心與的距離等于，又p為圓上任一點(diǎn)，所以p與點(diǎn)的距離的最小值等于圓心與的距離減去半徑，因此最小值為.故選b.【名

18、師點(diǎn)睛】本題主要考查定點(diǎn)到圓上的動點(diǎn)的距離問題，結(jié)合圓的的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線距離公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.求解時，先確定點(diǎn)在圓外，因此圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值即等于圓心與的距離減去半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果.6【答案】b【解析】因為，所以，因此圓面積為，時圓面積最大，此時圓心坐標(biāo)為，故選b.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本化簡求解能力.求解時，先列圓面積解析式，再根據(jù)圓面積最大時k的值確定對應(yīng)圓心坐標(biāo).7【答案】d【解析】圓x2+y2+kx+2y4=0的圓心坐標(biāo)為，因為點(diǎn)m，n在圓x2+y2+kx+2y4=0上，且點(diǎn)m，n關(guān)于直線l：xy+1=0對稱，所以直線l：xy+1=0經(jīng)過圓心，所

19、以所以圓的方程為：x2+y2+4x+2y4=0，圓的半徑為： 故選d【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的對稱性，考查圓的一般方程的應(yīng)用，考查計算能力圓上的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線經(jīng)過圓心，求出圓的圓心，代入直線方程，即可求出k，然后求出半徑8【答案】a【解析】兩部分面積之差最大，即弦長最短，此時直線垂直于過該點(diǎn)的直徑因為過點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為，即方程為.9【答案】d【解析】設(shè)，的中點(diǎn)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.因為點(diǎn)在圓上，所以，即.將此方程與方程比較可得，解得.故選d. 10【答案】c【解析】由題得圓的方程為設(shè)由于，所以由于表示圓c上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以連接oc，并延長和圓c

20、相交，交點(diǎn)即為m，此時最大，m也最大. 故選c.11【答案】【解析】設(shè)三角形的外接圓方程是，由點(diǎn),，在圓上可得，解得，故三角形的外接圓方程為，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程和性質(zhì)，屬于中檔題.求圓的方程常見思路與方法有:直接設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可；根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程；待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.12【答案】【解析】的幾何意義是點(diǎn)（0，0）與圓上的點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)（0，0）到圓心（1，0）的距離為1，則點(diǎn)（0，0）到圓上點(diǎn)的距離的最小值為1r=1=（r為圓的半徑），故的最小值為.故答案

21、為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓外點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最值問題，利用圓外點(diǎn)與圓心的距離加減圓半徑即可得到最大和最小值.13【答案】【解析】因為圓的方程為，所以，半徑設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題可得，所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)），又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以點(diǎn)在圓外，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時取等號），所以，故的最小值為，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了對稱關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離，圓上一動點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值問題，屬于中檔題.設(shè)出的坐標(biāo)為，根據(jù)對稱性得坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，判斷點(diǎn)在圓外，由即可得結(jié)果.14【答案】（1）x2（y1）210；（2）（x3）2（y2）220【解析】（1）當(dāng)ab為直徑時，過a、b的圓的半徑最小，從而周長最小即ab中點(diǎn)（0,1）為圓心，半徑則所求圓的方程為x2（y1）210（2） 解法1：直線ab的斜率為k3，則線段ab的垂直平分線的方程是y1x，即x3y30由圓心在直線上得兩直線交點(diǎn)為圓心即圓心坐標(biāo)是c（3,2）r|ac|所求圓的方程為（x3）2（y2）220解法2：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為：（xa）2（yb）2r2則.所求圓的方程為：（x3）2（y2）22015【答案】（1），；（2）.【解析】（1）依題意設(shè)，以為直徑的圓過點(diǎn)，.又，.該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故所求的坐標(biāo)為，圓的方程為