2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 不等式的證明 教案

1、1第二節(jié)第二節(jié)不等式的證明不等式的證明最新考綱通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法1基本不等式定理 1：設(shè) a，br，則 a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立定理 2：如果 a，b 為正數(shù)，則ab2 ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立定理 3：如果 a，b，c 為正數(shù)，則abc33abc，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)，等號(hào)成立定理 4： (一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果 a1，a2， ，an為 n 個(gè)正數(shù)，則a1a2annna1a2an，當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an時(shí)，等號(hào)成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè) a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d

2、2)(acbd)2(當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)，等號(hào)成立)(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)或是零向量，或存在實(shí)數(shù) k，使k(，為非零向量)時(shí)，等號(hào)成立(3)柯西不等式的三角不等式：設(shè) x1，y1，x2，y2，x3，y3r，則（x1x2）2（y1y2）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x3）2（y1y3）2.(4)柯西不等式的一般形式：設(shè) a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng) bi0(i1，2，n)或存在一個(gè)數(shù) k，使得 aikbi(i1，2，n)時(shí)，等號(hào)成立3不等式的

3、證明方法(1)比較法2作差法(a，br)：ab0ab；ab0a0，b0)：ab1ab；ab1a0， m2a3b3， n2ab2a2b， 則 m， n 的大小關(guān)系為_(kāi)mn2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)?ab0，所以 ab0，ab0，2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b.3已知 a，b，c 是正實(shí)數(shù)，且 abc1，則1a1b1c的最小值為_(kāi)9abc1，1a1b1c3baab (caac)cbbc32baab2caac2cbbc369，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)等號(hào)成立4設(shè) a，b，m，nr

4、，且 a2b25，manb5，則 m2n2的最小值為_(kāi)5根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，即 m2n25，所以 m2n2的最小值為 5.考點(diǎn) 1用綜合法與分析法證明不等式用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保?用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見(jiàn)，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以開(kāi)闊解題思路，開(kāi)闊視野1.已知 x，y 均為正數(shù)，且 xy，求證：2x1x22xyy22y3；4證明因

5、為 x0，y0，xy0，2x1x22xyy22y2(xy)1（xy）2(xy)(xy)1（xy）233（xy）21（xy）23(當(dāng)且僅當(dāng) xy1 時(shí)，等號(hào)成立)，所以 2x1x22xyy22y3.2設(shè) a，b，c0 且 abbcca1，求證：abc 3.證明因?yàn)?a，b，c0，所以要證 abc 3，只需證明(abc)23.即證 a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需證明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即證 a2b2c2abbcca.而 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)等號(hào)成立)成立，所以原不等式成立3(2019

6、全國(guó)卷)已知 a，b，c 為正數(shù)，且滿足 abc1.證明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.解(1)因?yàn)?a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且 abc1，故有a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.所以1a1b1ca2b2c2.(2)因?yàn)?a，b，c 為正數(shù)且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ac）33(ab)(bc)(ac)53(2 ab)(2 bc)(2 ac)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.(1)利用綜合法證明不等式時(shí)，常用的不等式有：a20；|a|0；a2b22ab

7、，它的變形形式又有(ab)24ab，a2b22(ab2)2等；ab2 ab(a0，b0)，它的變形形式又有 a1a2(a0)，baab2(ab0)，baab2(ab0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23（ab）24(ab)23（ab）34，所以(ab)38，因此 ab2.考點(diǎn) 2放縮法證明不等式(1)在不等式的證明中， “放”和“縮”是常用的證明技巧，常見(jiàn)的放縮

8、方法有：變換分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k2k k1，上面不等式中 kn，k1；利用函數(shù)的單調(diào)性；6利用結(jié)論，如“若 0a0，則ab0，|x1|a3，|y2|a3，求證：|2xy4|a.(2)求證：1121221321n20，|x1|a3，可得|2x2|2a3，又|y2|a3，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|2a3a3a.即|2xy4|a.(2)1n21n（n1）1n11n1121221321n21122(12131n11n)54(121n)74.(1)本例 1 采用了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明不等式，通過(guò)變形、配湊達(dá)到證明的目的；(2)本例 2 采用了從第三項(xiàng)開(kāi)始拆項(xiàng)

9、放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開(kāi)始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰到好處1.設(shè) n 是正整數(shù)，求證：121n11n212n1.證明由 2nnkn(k1，2，n)，得12n1nk1n.當(dāng) k1 時(shí)，12n1n11n；7當(dāng) k2 時(shí)，12n1n21n；當(dāng) kn 時(shí)，12n1nn1n，12n2n1n11n212nnn1.原不等式成立2若 a，br，求證：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|.證明當(dāng)|ab|0 時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0 時(shí)，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所以|ab|1|ab|11|ab|1111|a|b|a|b|1

10、|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.考點(diǎn) 3柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式的解題策略(1)利用柯西不等式證明不等式，先使用拆項(xiàng)重組、添項(xiàng)等方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，再使用柯西不等式解決有關(guān)問(wèn)題(2)利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立，因此一定不能忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.(2019全國(guó)卷)設(shè) x，y，zr，且 xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)213成立，證明：a3 或 a1.解(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)

11、(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)83(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)243，當(dāng)且僅當(dāng) x53，y13，z13時(shí)等號(hào)成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為43.(2)由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2（2a）23，當(dāng)且僅當(dāng) x4a3，y1a3，z2a23時(shí)等號(hào)成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值為（2a）23.由題設(shè)知（2a）2313，解得 a3 或 a1.利用柯西不等式證明不等式或求解某些含有約束條件的多變量的最值問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化1.已知 a，b，cr，且滿足 a2b3c6，求 a22b23c2的最小值解由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1a 2 2b 3 3c)2.得 6(a22b23c2)(a2b3c)236.所以 a22b23c26.當(dāng)且僅當(dāng)a12b23c3，即 abc1 時(shí)，上式等號(hào)成立所以 a22b23c2的最小值為 6.2設(shè) x，y，zr，且x216y25z241，求 xyz 的取值范圍解由柯西不等式，得42( 5