2022年平面向量的數(shù)量積及運算律教案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（一）.新課引入為什么定義平面對量數(shù)量積f在物理學(xué)中學(xué)過功的概念,一個物體在力f 的作用下產(chǎn)生位移s,那么力 f 所作的功w=fscos；s摸索： w為什么量？ f 和 s 為什么量？和向量有什么關(guān)系？w為標(biāo)量（實數(shù)） , f 和 s 為矢量（向量）這個式子建立了實數(shù)和向量之間的關(guān)系,為實數(shù)和向量相互轉(zhuǎn)化的橋梁；我們學(xué)過的向量運算ab、ab、a 結(jié)果都為向量；因此定義一個新的運算,不僅為物理學(xué)的需要,也為數(shù)學(xué)建立起實數(shù)和向量兩個不同領(lǐng)域關(guān)系的需要；（二）.新課學(xué)習(xí)新課學(xué)習(xí)階梯一怎么定義平面對量數(shù)量積摸索：仿照物理學(xué)功的定義：a ba b cos

2、摸索：由數(shù)學(xué)中對稱的思想,有余弦出沒的地方就少不了正弦的陪伴,可否定義a *ba b sin,有什么幾何意義？引導(dǎo)同學(xué)閱讀課本p118,找出數(shù)學(xué)定義的特點：針對兩個非零向量定義,規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0；b1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a 與 b ,作 oa a , ob b ,就 ba（ ）叫 a 與 b 的夾角 （右圖的夾角分別為什么）oab2平面對量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a 與 b , 它b們的夾角為 ,就數(shù)量 | a |b |cos叫 a 與 b 的數(shù)量積,記作a b ,oaa即 有 a b= | a |b |cos ,（ ） 并規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量

3、積為0摸索：功怎么用數(shù)量積表示：f s數(shù)學(xué)的定義從實踐中來,又回到實踐指導(dǎo)實踐；新課學(xué)習(xí)階梯二怎么全方位熟悉這個定義學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)兩手都要硬,一手抓代數(shù).一手抓幾何,滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,而向量恰好為用量化的方法討論幾何問題的正確工具；1 幾何意義： “投影”的概念：作圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載定義： |b |cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影摸索：投影為否為長度？投影為否為向量？投影為否為實數(shù)？投影也為一個數(shù)量,不為向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負值；當(dāng)為直角時投影為 0；當(dāng)= 0 時投影為| b |；當(dāng)= 180 時投影為| b |幾何

4、意義：數(shù)量積a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影 |b |cos 的乘積2代數(shù)性質(zhì)（兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)）：（ 1） 兩個非零向量a 與 b , aba b= 0 （此性質(zhì)可以解決幾何中的垂直問題）；（ 2）兩個非零向量a 與 b ,當(dāng) a 與 b 同向時, a b= | a |b |；當(dāng) a 與 b 反向時,a b=|a |b |（此性質(zhì)可以解決直線的平行.點共線.向量的共線問題）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3） cos=a b| a | b |（此性質(zhì)可以解決向量的夾角問題）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

5、 - - 歡迎下載（ 4） a a= | a |2, | a |a a , aa b b cos（此性質(zhì)可以解決長度問題即向量的模的問題）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 5） | a b | | a |b |（此性質(zhì)要留意和肯定值的性質(zhì)區(qū)分,可以解決不等式的有關(guān)問題）；3任何一種運算都滿意肯定的運算律,以便利運算,數(shù)量積滿意哪些算律？實數(shù)的運算律向量數(shù)量積運算律（交換律）ab=ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（結(jié)合律） abc=abc（安排律） ab+c=ab+acab.baa b c.a b c× a b c.a b a c a b. a b.

6、a b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載摸索：運用對比聯(lián)想的思想方法推測向量數(shù)量積保留了實數(shù)哪些運算律,變異了哪些運算律？課精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載下對成立的運算律給出證明,對不成立的運算律舉出反例；從性質(zhì)的分析知道,數(shù)量積為應(yīng)用特別廣泛和敏捷的,涉及代數(shù)和幾何甚至跨學(xué)科的學(xué)問,因此學(xué)習(xí)數(shù)量積為為了能夠應(yīng)用它解決問題；新課學(xué)習(xí)階梯三怎樣用定義.性質(zhì)解決問題（范例講解）例 1（鞏固概念）判定以下各題正確與否：（ 1）如 a=0 ,就對任一向量b , 有 a b= 0 （ 2）如 a0 ,就對任一非零向量b , 有 a b0 ×（ 3）如

7、 a0 , a b= 0,就 b= 0 ×（ 4）如 a b= 0,就 a. b 至少有一個為零 ×（ 5）如 a0 , a b=a c , 就 b=c ×（ 6）如 a b=a c , 就 b=c 當(dāng)且僅當(dāng)a0 時成立 ×（ 7）對任意向量a . b . c ,有 a b ca bc ×（ 8）對任意向量a , 有 a 2 = | a |2 0例 2（課本 p118）已知a =5, b =4,向量 a 與 b 夾角為120 ,求 a b （課本資源升華）同學(xué)回答：a b = 10（以下變形向量a 與 b 均為非零向量）0變形 1：已知a =5

8、, b =4,向量 a 與 b 夾角為 120 ,求 ab摸索：求長度,怎樣將長度和數(shù)量積建立起關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22ab 2= ab abab2a b =25+16 10=21,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 ab =21 ；變形 2：已知三角形abc 的 邊 ab=5 ,bc=4 , abc=120 0, 求 邊 ac ；啟示： 這個問題看似和向量無關(guān),要想運用向量的學(xué)問,必需構(gòu)造向量,突破點為如何構(gòu)造向量；提問同學(xué)或老師講解：acabbc ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22acab2bc2abbc=25+16+2 &

9、#215; 5× 4× cos600=61、 ac=61精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載摸索：已知三角形兩邊一夾角肯定可求第三邊嗎？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載變形 3：已知三角形abc 的邊 ab=5 ,bc=4 , sin abc= 3 、求邊 ac ；5摸索：已知正弦值,如何求余弦值,幾解？變形 4：已知a =5, b =4, ab =21 ,求向量 a 與 b 的夾角； 摸索：建立長度和角度的關(guān)系為數(shù)量積的一個重要功能,先求a b ；變形 5：已知a =5, b =4, a 在 b 上的投影為2,求 a b 及 a 與

10、 b 的夾角；變形 6：已知ab =5, ab =4, 求 a b ；摸索：求數(shù)量積,怎樣將長度和數(shù)量積建立起關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22ab 2= ab abab2a b =25,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab 222= ab abab2a b =16,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩式相減得：4 ab =9, a b = 94點評：解決該問題,不僅局限于長度和數(shù)量積的關(guān)系,仍運用了方程這一代數(shù)味很濃的思想；變形 7：已知ab = ab =4 ,求 a b ；能求向量a 與 b 的夾

11、角嗎？能求a 嗎？如不能求,你能補充一個合適的條件求出a 嗎 ？啟示：除了用數(shù)量積的運算性質(zhì)求出a b ,你仍能從向量加減法運算的幾何意義給出說明嗎？變形8：已知a =5, b =4,向量 a 與 b 夾角為1200,求使向量ab 與 ab 的夾角為銳角的實數(shù) 的取值范疇；摸索：夾角為銳角如何用數(shù)量積表達？（ab ）（ ab ） >0變形 9：向量 a 與 b 都為非零向量, 且 a3b 與 7a5b 垂直, a4b 與 7a2b 垂直, 求向量 a 與b 的夾角解 ： 由 a + 3 b 7 a5 b = 07 a 2 + 16 a b15 b 2 = 0 a4 b 7 a2 b =

12、07 a 230 a b+ 8 b 2 = 0兩式相減： 2 a b=b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載代入或得：a 2 =b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) a . b 的夾角為,就 cos=a bb 21| a |b |2 | b |22= 60精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載通過以上問題的變式探究：問題涉及無非為向量的模（長度）.向量的夾角（三角形或多邊形的內(nèi)角或其補角） .數(shù)量積三個量的關(guān)系；這為向量數(shù)量積定義的靈魂,同時,數(shù)量積運算也為溝通實數(shù)和向量的橋梁；新課學(xué)習(xí)階梯四課堂練習(xí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

13、歡迎下載1 | a |=3、|b |=4、 向 量 a + 3 b 與 a -43 b 的位置關(guān)系為（）4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 平行bc夾角為d不平行也不垂直32 已 知 | a |=2、|b |=5、a · b =-3、 就| a + b |= 、|a - b |=3 設(shè) | a |=3、|b |=5、 且 a + b 與 a b 垂直,就 新課學(xué)習(xí)階梯五學(xué)會小結(jié)同學(xué)自我歸納；新課學(xué)習(xí)階梯六制造性學(xué)習(xí)（備用）cb如圖 p 為正方形abcd的對角線bd上的一點, pfae為矩形,猜猜：不論p 點位置如何,pc和 ef 為否總相等且垂直？提示：這為一個平幾問

14、題,沒有向量的蹤跡,怎樣構(gòu)造向量.制造性地運pe用數(shù)量積運算解決？dfa摸索：如何建立基向量；將pc 和ef 看成向量,用基向量表示；運算pc 、 ef 為否相等；運算pc ef 為否為零；解析：設(shè) da =a , dc = b ,就 db = a + b ,設(shè) dp = （ a + b ）,cpcddp = b + （ a + b ） = a + （ 1） b ,顯 然 df = da = a , fa1 a ,就 ef = ep+ pd + df =（ 1） a （ a + b ） + a =（ 1） a b就 cp 2=（ a +（ 1） b ） 2 = 2 a 2+ （ 1） 2 b

15、2 ,ef 2=（ 1） a b ） 2=（ 1） 2 a 2 + 2 b 2,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載=又 abcd 為正方形, a 2 b 2,所以 cp 2= ef 2 ,ef cp =（ 1） a b ） （ a + （ 1） b ）=（ 1） a 2 （ 1） b 2=0 ,所以 pc和 ef 總為相等且垂直；六.課后反思和鞏固（ assignment ）1 對數(shù)量積的運算律的證明摸索和閱讀（課本p119p120）2 優(yōu)化設(shè)計第一課時.課本 p121 習(xí)題 5.6 第 1.2.3.4.5平面對量的數(shù)量積及運算律一課設(shè)計思路平面對量的數(shù)量積及運算律

16、共兩個課時,本課時為第一課時；環(huán)繞數(shù)量積的定義.性質(zhì)和運輸律及簡潔應(yīng)用,綻開設(shè)計,為下節(jié)課敏捷應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)和運算律解決問題奠定基礎(chǔ)；例題的選取緊緊扣住課本 p118 的例 1,并通過例 1 綻開變式討論和培育同學(xué)的發(fā)散性思維,并將課本其余幾個例題都整和到例 1 的變式討論中；變式討論不僅為本節(jié)課的一大特點,同時也為本人多年堅持探究的問題怎樣用好課本,將課本的例題資源最大化,將課本的習(xí)題資源最大化,將課本的閱讀材料充分利用；一句話,把課本作為第一課程資源用足.用到位；本節(jié)為全章的重點內(nèi)容之一,定義為基礎(chǔ),性質(zhì)為工具,運算律及應(yīng)用為難點；因此本節(jié)課分層次將教學(xué)過程分解為兩個步驟：為什么定義平面對量的數(shù)量積；怎樣熟悉平面對量的數(shù)量積；新課學(xué)習(xí)分為六個階梯：怎么定義平面對量的數(shù)量積；怎么全方位熟悉定義；怎樣用定義.性質(zhì)解決問題；課堂演練；怎樣小結(jié)；怎樣制造性地應(yīng)用平面對量的數(shù)量積；突出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)問的一般過程為什么學(xué).學(xué)什么.怎么用；在新課引入上突出課改的理念,從同學(xué)的認知結(jié)構(gòu)和表達數(shù)學(xué)的有用動身,請教了物理老師,功.磁通量均與向量運算有關(guān),但同學(xué)目前只學(xué)過功；所以實行課本的引入方法；引導(dǎo)同學(xué)結(jié)合詳細情形設(shè)計問題,表達開放教學(xué)和民主的課堂氛圍；同學(xué)在各個階梯過