整式的乘除競(jìng)賽題

1、初二上加深提高部分整式的乘除復(fù)習(xí)題1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問(wèn)題可以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決，請(qǐng)先閱讀下面的解題過(guò)程，再解答后面的問(wèn)題例：若 x=123456789 123456786，y=123456788123456787，試比較x、y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x=（a+1） （a-2 ）=a2-a-2 ，y=a（a-1 ）=a2-a . x-y= （a2-a-2 ）- （a2-a） =-2 0 xy 看完后，你學(xué)到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問(wèn)題：計(jì)算1.345 0.345 2.69-1.3453-1.3450.3452 解：設(shè) 1.345=x ，

2、那么：原式 =x（x-1 ） ?2x-x3-x （x-1 ）2，=（2x3-2x2 ）-x3-x （x2-2x+1 ） ，=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.345 4、我們把符號(hào)“n! ”讀作“ n 的階乘”，規(guī)定“其中n 為自然數(shù)，當(dāng)n0 時(shí)，n!=n ? （n-1 ） ? （n-2 ） 2?1，當(dāng) n=0 時(shí)， 0!=1 ” 例如： 6!=6 5 4321=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算階乘，再乘除，后加堿，有括號(hào)就先算括號(hào)里面的”按照以上的定義和運(yùn)算順序，計(jì)算：（1） 4!= ； （2） （3+2）!-4!= ；（3）用具體數(shù)試驗(yàn)一下，看看等式（

3、m+n ）!=m!+n! 是否成立？12. 小明和小強(qiáng)平時(shí)是愛(ài)思考的學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)習(xí)整式的運(yùn)算這一章時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點(diǎn)，例如： （x-1 ） （ x2+x+1）=x3-1 ， （2a+b） （4a2-2ab+b2 ）=8a3+b3，小明說(shuō)：“這些整式乘法左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式跟一個(gè)三項(xiàng)式相乘，右邊是一個(gè)二項(xiàng)式”，小強(qiáng)說(shuō)：“是??！而且右邊都可以看成是某兩項(xiàng)的立方的和（或差）”小明說(shuō)：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)二項(xiàng)式和最后的結(jié)果有點(diǎn)像”小強(qiáng)說(shuō)：“對(duì)啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)三項(xiàng)式好像是個(gè)完全平方式，不對(duì)，又好像不是，中間不是兩項(xiàng)積的2 倍”小明說(shuō)：“二項(xiàng)式中間的符號(hào)、三項(xiàng)式中間項(xiàng)的符號(hào)和右邊結(jié)果中

4、間的符號(hào)也有點(diǎn)聯(lián)系”親愛(ài)的同學(xué)們，你能參與到他們的討論中并找到相應(yīng)的規(guī)律嗎？（1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來(lái)計(jì)算（-x-2y ） （x2-2xy+4y2 ）嗎？2、一個(gè)單項(xiàng)式加上多項(xiàng)式9（x-1 ）2-2x-5后等于一個(gè)整式的平方，試求所有這樣的單項(xiàng)式3、化簡(jiǎn)：（1） ；（2）多項(xiàng)式x2-xy 與另一個(gè)整式的和是2x2+xy+3y2 ，求這一個(gè)整式解：（1）原式 =2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2） （2x2+xy+3y2 ）- （x2-xy ）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2這個(gè)整式是x2+2xy+3y2 點(diǎn)評(píng)：（1）

5、關(guān)鍵是去括號(hào)按5、設(shè)，求整式的值6、已知整式2x2+ax-y+6與整式2bx2-3x+5y-1的差與字母x 的值無(wú)關(guān)，試求代數(shù)式7（ ab2+2b3-a2b ）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2 ）的值解： （2x2+ax-y+6 ）- （2bx2-3x+5y-1 ）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b ）x2+（a+3）x-6y+7 ，因?yàn)樗鼈兊牟钆c字母x 的取值無(wú)關(guān)，所以2-2b=0，a+3=0，解得 a=-3 ，b=12（ ab2+2b3-a2b ）+3a2- （2a2b-3ab2-3a2 ）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6 （ -3 ） 2-4（ -

6、3 ）2 1+5（ -3 ） 1+41=78。在盒子里放有四張分別寫(xiě)有整式3x2-3 ，x2-x ，x2+2x+1，2 的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請(qǐng)你選擇其中能進(jìn)行約分的一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)這個(gè)式解： （1）四張分別寫(xiě)有整式3x2-3 ，x2-x ，x2+2x+1，2 的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母共有43=12 種結(jié)果，其中以“2”作分母的3 個(gè)，不能組成分式，故可以組成9 個(gè)分式，能組成分式的概率為=；（2）答案不唯一如，=，9. 甲乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法

7、：（2x+a） （ 3x+b） ，由于甲抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a 的符號(hào)，得到的結(jié)果為6x2+11x-10 ；由于乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2-9x+10 請(qǐng)你計(jì)算出a、b 的值各是多少，并寫(xiě)出這道整式乘法的正確結(jié)果解：設(shè)第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)為z，（ 2x+a） （ zx+b）=2zx2+2bx+azx+ab=2x2-9x+10 ，z=1，第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)是1，（ 2x+a） （ x+b）=2x2-9x+10 ，2b+a=-9 ，ab=10， b=-2，a=-5 ，（ 2x+a） （3x+b）=（ 2x-5 ） （ 3x-2 ）=6x2-19x+10 ；13.

8、 由于看錯(cuò)了運(yùn)算符號(hào)，某學(xué)生把一個(gè)整式減去-4a2+2b2+3c2誤以為是加上-4a2+2b2+3c2 ，結(jié)果得出的答案是a2-4b2-2c2 ，求原題的正確答案解：設(shè)原來(lái)的整式為a 則 a+（-4a2+2b2+3c2 ）=a2-4b2-2c2 a=5a2-6b2-5c2 a- （-4a2+2b2+3c2 ）=5a2-6b2-5c2- （-4a2+2b2+3c2 ）=9a2-8b2-8c2 原題的正確答案為9a2-8b2-8c2 10. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式（1）友誼商店實(shí)行貨物七五折優(yōu)惠銷(xiāo)售，則定價(jià)為x 元的物品，售價(jià)是多少元？（2）一列火車(chē)

9、從a站開(kāi)往 b站，火車(chē)的速度是a 千米 / 小時(shí)， a，b 兩站間的距離是120 千米，則火車(chē)從a站開(kāi)往 b站需要多長(zhǎng)時(shí)間？（3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)，減少25% 的工作人員，后又引進(jìn)人才，調(diào)進(jìn)3 人，該單位現(xiàn)有多少人？解： （1）根據(jù)題意得，售價(jià)為： 75%x ，是整式，是單項(xiàng)式；（ 2）根據(jù)題意， t=， ，不是整式；（3）根據(jù)題意得，現(xiàn)在人數(shù)為：（1-25%）m+3 ，是整式，是多項(xiàng)式11. 某村小麥種植面積是a 畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3 倍（1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m ，試用含口的整式表示m ；（2）當(dāng) a=10

10、2 畝時(shí)，求m的值解： （1）m=3a-（a+5） ，=3a-a-5 ，=2a-5 ；（2）當(dāng) a=102 時(shí)，m=2 102-5 ，=199（畝）14. 紅星中學(xué)校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價(jià)為每塊20 元，若由廠家直銷(xiāo)，每塊售價(jià)30元，同時(shí)每月要消耗其他人工費(fèi)用1200 元；若委托商場(chǎng)銷(xiāo)售，出廠批發(fā)價(jià)為每塊24 元（ 1）若每月銷(xiāo)售x 塊，用整式分別表示兩種銷(xiāo)售方式所獲得的利潤(rùn)（注：利潤(rùn) =銷(xiāo)售總額 - 成本 - 其他費(fèi)用）（ 2）新學(xué)期各學(xué)校教學(xué)黑板維修較多，銷(xiāo)路較好，預(yù)計(jì)11 月份可銷(xiāo)售300 塊，采取哪一種銷(xiāo)售方式獲得的利潤(rùn)多？（3）若你是紅星中學(xué)校辦工廠的廠長(zhǎng)，

11、請(qǐng)你進(jìn)行決策：當(dāng)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售200 塊黑板時(shí)，應(yīng)選擇哪一種銷(xiāo)售方式較好？解： （1）廠家直銷(xiāo)的利潤(rùn)為（30-20 ）x-1200 ；委托商場(chǎng)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為（24-20 ）x；（2）當(dāng) x=300 時(shí)，廠家直銷(xiāo)的利潤(rùn)為10300-1200=1800 （元）；委托商場(chǎng)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為（24-20 ） 300=1200（元） ；采取廠家直銷(xiāo)的利潤(rùn)大；（3）當(dāng) x=200 時(shí)，廠家直銷(xiāo)的利潤(rùn)為10200-1200=800 （元）；委托商場(chǎng)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為4200=800（元） ；兩種銷(xiāo)售方式一樣16、探究應(yīng)用：（1）計(jì)算（ a-2 ） （a2+2a+4）= （2x-y ） （4x2+2xy+y2 ）= （2）上面的

12、整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：（請(qǐng)用含ab 的字母表示）（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是a （a-3 ） （a2-3a+9 ）b （2m-n） （2m2+2mn+n2 ）c （4-x ） （16+4x+x2）d （ m-n） （m2+2mn+n2 ）（4）直接用公式計(jì)算： （3x-2y ） （9x2+6xy+4y2 ）= （2m-3） （4m2+6m+9 ）= 17. 閱讀下面學(xué)習(xí)材料：已知多項(xiàng)式2x3-x2+m 有一個(gè)因式是2x+1，求 m的值解法一：設(shè)2x3-x2+m=（2x+1） （x2+ax+b） ，則 2x3-x2+m=2x3+（ 2a+1）x2+（a+

13、2b）x+b 比較系數(shù)得： ，解得，所以m=0.5 解法二：設(shè)2x3-x2+m=a（2x+1） （a為整式）由于上式為恒等式，為了方便計(jì)算，取x=-0.5 ，得 2（ -0.5 ）3-0.52+m=0 ，解得 m=0.5 根據(jù)上面學(xué)習(xí)材料，解答下面問(wèn)題：已知多項(xiàng)式x4+mx3+nx-16 有因式 x-1 和 x-2 ，試用兩種方法求m 、n 的值解：解法1：設(shè) x4+mx3+nx-16= （x-1 ） （x-2 ） （ x2+ax+b） ，（ 1 分）則 x4+mx3+nx-16=x4+（a-3 ）x3+（ b-3a+2）x2+（2a-3b ）x+2b（ 2分）比較系數(shù)得： ，解得，所以 m=

14、-5，n=20 （ 4 分）18. （1）化簡(jiǎn)： 3x2y-2xy-（ xy-x2y+2xy ） （2）已知 a=2x2+xy+3y2， b=x2-xy+2y2 ，c是一個(gè)整式，且a+b+c=0 ，求 c解： （1）原式 =3x2y-2xy-3xy+x2y， （ 2分）=3x2y-x2y+xy ，=x2y+xy ；解： （2） a+b=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2 =3x2+5y2（2 分） ，a+b+c=0 ，c=-（a+b） ，=-3x2-5y2 （4 分）19、問(wèn)題1：同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用乘法公式給整式乘法及多項(xiàng)式的因式分解帶來(lái)的方便，快捷相信通過(guò)下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)

15、使你大開(kāi)眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算195205解： 195205 =（200-5 ） （200+5）=2002-52 =39975 （1）例題求解過(guò)程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱(chēng)）；（ 2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：911 10110001問(wèn)題 2：對(duì)于形如x2+2ax+a2 這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2 的形式但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2 ， 就不能直接運(yùn)用公式了此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2 中先加上一項(xiàng)a2， 使它與 x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：x2+2ax-3a2= （x2+2ax

16、+a2） -a2-3a2 =（ x+a）2- （2a）2 =（x+3a） （x-a ） 像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”（ 1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12 問(wèn)題 3：若 x-y=5 ，xy=3，求： x2+y2； x4+y4 的值15. 閱讀解答題：在數(shù)學(xué)中，有些大數(shù)值問(wèn)題可以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決例：若 x=123456789123456786，y=123456788123456787，試比較x、y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x=（a+1） （a-2） =a2-a-2 ，y=a（ a

17、-1 ）=a2-a ，x-y= （a2-a-2 ）- （a2-a ）=-2 0， xy看完后，你學(xué)到了這種方法嗎？不妨嘗試一下，相信你準(zhǔn)行！問(wèn)題：計(jì)算3.456 2.456 5.456-3.4563-1.4562解：設(shè) 3.456 為 a，則 2.456=a-1 ，5.456=a+2 ，1.456=a-2 ，可得：3.456 2.456 5.456-3.4563-1.4562 =a（ a-1）（ a+2） -a3- （a-2 ）2 =a3+a2-2a-a3-a2+4a-4 =2a-4 ，a=3.456 ，原式 =2a-4=2 3.456-4=2.912 20. 計(jì)算：（1） （ -8a4b5c

18、 ）（ 4ab5） ? （3a3b2）（2）2 （a2x）3-9ax5 （ 3ax3）（3） （ 3mn+1 ） （-1+3mn）- （3mn-2） 2 （4）運(yùn)用整式乘法公式計(jì)算1232-124 122 （5） （xy+2） （xy-2 ）-2x2y2+4 （ xy） ，其中 x=10，y=- 解： （1） （-8a4b5c ）（ 4ab5） ? （3a3b2） ，=-2a3c ? （3a3b2） ，=-6a6b2c ；（2）2 （a2x）3-9ax5 （ 3ax3） ，=2a6x3-9ax5（ 3ax3） ，=；（3） （ 3mn+1 ） （-1+3mn）- （3mn-2） 2，=（9m2

19、n2-1）- （9m2n2-12mn+4 ） ，=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124 122，=1232- （123+1）（ 123-1 ） ，=1232- （1232-1 ） ，=1232-1232+1 ，=1；（5） （xy+2） （xy-2 ）-2x2y2+4 （ xy） ，=x2y2-4-2x2y2+4（ xy） ，=（-x2y2 ）（ xy） ，=-xy ；當(dāng) x=10，y=- 時(shí)，原式 =-10 （ - ）= 21、一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的度數(shù)的3 倍，則這個(gè)角的度數(shù)是多少？( 這個(gè)角是45)22、如圖所示，是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，標(biāo)

20、有字母a的面是正方體的正面，如果正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上標(biāo)注的代數(shù)式的值與相對(duì)面上的數(shù)字相等，求x、y 的值23、已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的4 倍，求這個(gè)角的度數(shù)(60) 先化簡(jiǎn)后求值： （x-y ）2+（x+y） （x-y ） 2x，其中 x=3，y=1.5 （1.5 ） （2001?寧夏）設(shè) a-b=-2 ，求的值（2）計(jì)算：解：由題意可設(shè)字母n=12346，那么 12345=n-1 ，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2- （n-1 ） （n+1） 應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2- （n2-12 ）=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式 =24690（2007?淄博）根據(jù)以下

21、10 個(gè)乘積，回答問(wèn)題：1129； 12 28； 1327； 1426； 1525；1624； 17 23； 1822； 1921； 2020（1）試將以上各乘積分別寫(xiě)成一個(gè)“2- 2” （兩數(shù)平方差）的形式，并寫(xiě)出其中一個(gè)的思考過(guò)程；（2）將以上 10 個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來(lái)；（3）試由（ 1） 、 （2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論 （不要求證明分析： （1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫(xiě)成平方差的形式即可（2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫(xiě)即可（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小解答：解：（1）1129=202-92；1228=202-82；1327=202-72 ；

22、1426=202-62；1525=202-52；1624=202-42 ；1723=202-32；1822=202-22；1921=202-12 ；2020=202-02 （ 4 分）例如， 1129；假設(shè) 1129=2-2，因?yàn)?2-2=（ +） （ - ） ；所以，可以令 - =11， +=29解得， =20，=9故 1129=202-92 （或 1129=（20-9 ） （20+9）=202-92 （2）這 10 個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：1129122813271426152516241723182219212020 整式的乘除復(fù)習(xí)題一學(xué)新知識(shí)應(yīng)用1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問(wèn)題可

23、以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決，請(qǐng)先閱讀下面的解題過(guò)程，再解答后面的問(wèn)題例：若 x=123456789 123456786，y=123456788123456787，比較 x、y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x=（a+1） （a-2 ）=2-a2a，y=a（a-1 ）=2aa. x-y=2-a2a- （2aa） =-20 xy 看完后，你學(xué)到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問(wèn)題：計(jì)算1.345 0.345 2.69-31.345-1.345 20.345計(jì)算 3.456 2.456 5.456-33.456-21.4562、我們把符號(hào)“n! ”讀作“ n 的階乘”，

24、規(guī)定“其中n 為自然數(shù)，當(dāng)n0 時(shí)，n!=n ? （n-1 ） ? （n-2） 2?1，當(dāng) n=0 時(shí)， 0!=1 ” 例如： 6!=6 54321=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算階乘，再乘除，后加堿，有括號(hào)就先算括號(hào)里面的”按照以上的定義和運(yùn)算順序，計(jì)算： （1） 4!= ；（2）（3+2） !-4!= ； （3） 用具體數(shù)試驗(yàn)一下， 看看等式（m+n ） !=m!+n!是否成立？3. 小明和小強(qiáng)平時(shí)是愛(ài)思考的學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)習(xí) 整式的運(yùn)算 這一章時(shí)， 發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點(diǎn)，例如：（x-1 ）3+x+1x=3-1x， （2a+b） （224a -2ab+b）=

25、338a +b，小明說(shuō)：“這些整式乘法左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式跟一個(gè)三項(xiàng)式相乘，右邊是一個(gè)二項(xiàng)式”，小強(qiáng)說(shuō)：“是啊！而且右邊都可以看成是某兩項(xiàng)的立方的和（或差）”小明說(shuō)：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)二項(xiàng)式和最后的結(jié)果有點(diǎn)像”小強(qiáng)說(shuō)：“對(duì)啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)三項(xiàng)式好像是個(gè)完全平方式，不對(duì)，又好像不是，中間不是兩項(xiàng)積的2 倍”小明說(shuō)：“二項(xiàng)式中間的符號(hào)、三項(xiàng)式中間項(xiàng)的符號(hào)和右邊結(jié)果中間的符號(hào)也有點(diǎn)聯(lián)系”親愛(ài)的同學(xué)們，你能參與到他們的討論中并找到相應(yīng)的規(guī)律嗎？（1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來(lái)計(jì)算（-x-2y ）22-24xxyy嗎？（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是a （

26、a-3 ） （239aa）b （2m-n） （2222mmnn）c （ 4-x ） （16+4x+2x）d （m-n） （222mmnn）（4）直接用公式計(jì)算： （3x-2y ） （22964xxyy）= （ 2m-3） （246mm+9）= 4、問(wèn)題 1：同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用乘法公式給整式乘法及多項(xiàng)式的因式分解帶來(lái)的方便，快捷相信通過(guò)下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開(kāi)眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算195205解： 195205 =（200-5 ） （200+5）=2002-52 =39975 （1）例題求解過(guò)程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱(chēng)）；（ 2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：911

27、 10110001問(wèn)題2：對(duì)于形如222xaxa這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成2( +a)x的形式但對(duì)于二次三項(xiàng)式2223xaxa，就不能直接運(yùn)用公式了此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式2223xaxa中先加上一項(xiàng)2a，使它與22xax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去2a，整個(gè)式子的值不變，于是有：2223xaxa=222xaxa-223aa=22( +a)(2a)( +3a)( -a)xxx像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”（ 1）利用“配方法”分解因式：2412aa二乘法公式應(yīng)用5、一個(gè)單項(xiàng)式加上多項(xiàng)式29( -1) -25xx

28、后等于一個(gè)整式的平方，試求所有這樣的單項(xiàng)式6、設(shè)，求整式的值若 x-y=5 ，xy=3，求：22xy；44xy的值三整式的計(jì)算7、化簡(jiǎn)：（1） ；（ 2）多項(xiàng)式2-xxy與另一個(gè)整式的和是222+x3xyy，求這一個(gè)整式解：8、已知整式22+ax-y+6x與整式22-3x+5y-1bx的差與字母x 的值無(wú)關(guān)，試求代數(shù)式7（232+2baba b）+23a-（2222b-3ab3aa）的值9. 甲乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法：（2x+a） （ 3x+b） ，由于甲抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a 的符號(hào)，得到的結(jié)果為62x+11x-10 ；由于乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)，得到的結(jié)果為22x-9x+10

29、 請(qǐng)你計(jì)算出a、b 的值各是多少，并寫(xiě)出這道整式乘法的正確結(jié)果解：10. 由于看錯(cuò)了運(yùn)算符號(hào)，某學(xué)生把一個(gè)整式減去-42a+22b+32c誤以為是加上-42a+22b+32c，結(jié)果得出的答案是2a-42b-22c，求原題的正確答案11. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式（1）友誼商店實(shí)行貨物七五折優(yōu)惠銷(xiāo)售，則定價(jià)為x 元的物品，售價(jià)是多少元？（2）一列火車(chē)從a站開(kāi)往 b站，火車(chē)的速度是a 千米 / 小時(shí)， a，b 兩站間的距離是120 千米，則火車(chē)從a站開(kāi)往 b站需要多長(zhǎng)時(shí)間？（ 3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)，減少25% 的工作人員，后又引進(jìn)

30、人才，調(diào)進(jìn)3 人，該單位現(xiàn)有多少人？12. 某村小麥種植面積是a 畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5 畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3 倍 （1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m ，試用含口的整式表示m ； （2）當(dāng) a=102 畝時(shí)，求m的值13. 紅星中學(xué)校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價(jià)為每塊20 元，若由廠家直銷(xiāo)，每塊售價(jià)30元，同時(shí)每月要消耗其他人工費(fèi)用1200 元；若委托商場(chǎng)銷(xiāo)售，出廠批發(fā)價(jià)為每塊24 元（1）若每月銷(xiāo)售x 塊，用整式分別表示兩種銷(xiāo)售方式所獲得的利潤(rùn)（注：利潤(rùn) =銷(xiāo)售總額 - 成本 - 其他費(fèi)用）（2）新學(xué)期各學(xué)校教學(xué)黑板維修較多，銷(xiāo)路較好，預(yù)計(jì)

31、11 月份可銷(xiāo)售300 塊，采取哪一種銷(xiāo)售方式獲得的利潤(rùn)多？（3）若你是紅星中學(xué)校辦工廠的廠長(zhǎng)，請(qǐng)你進(jìn)行決策：當(dāng)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售200 塊黑板時(shí)，應(yīng)選擇哪一種銷(xiāo)售方式較好？14. （1）化簡(jiǎn)：32xy-2xy- （xy-2xy+2xy）（ 2）已知 a=22x+xy+32y，b=2x-xy+22y，c是一個(gè)整式， 且 a+b+c=0 ，求 c15、如圖所示，是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，標(biāo)有字母a的面是正方體的正面，如果正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上標(biāo)注的代數(shù)式的值與相對(duì)面上的數(shù)字相等，求x、y 的值16 計(jì)算：（1） （ -845a bc）（ 4a5b） ? （332a b）（2）232()a x-9a5x （

32、 3a3x）（3） （ 3mn+1 ） （-1+3mn）-2(32)mn（4）運(yùn)用整式乘法公式計(jì)算2123-124 122 三寫(xiě)多項(xiàng)式方法17. 閱讀下面學(xué)習(xí)材料：已知多項(xiàng)式23x-2x+m有一個(gè)因式是2x+1，求 m的值根據(jù)上面學(xué)習(xí)材料，解答下面問(wèn)題：已知多項(xiàng)式4x+m3x+nx-16 有因式 x-1 和 x-2 ，試用兩種方法求m 、n 的值四余角和補(bǔ)角18、一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的度數(shù)的3 倍，則這個(gè)角的度數(shù)是多少？19、已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的4 倍，求這個(gè)角的度數(shù)小測(cè)驗(yàn)姓名1. 在盒子里放有四張分別寫(xiě)有整式32x-3 ，2x-x ，2x+2x+1， 2 的卡片，從中隨機(jī)抽取

33、兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請(qǐng)你選擇其中能進(jìn)行約分的一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)這個(gè)式2. 先化簡(jiǎn)后求值 2( -y)x+（x+y） （ x-y ） 2x，其中 x=3，y=1.5 3. 設(shè) a-b=-2 ，求的值4. 計(jì)算5 根據(jù)以下10 個(gè)乘積，回答問(wèn)題：1129； 12 28； 1327； 14 26； 1525；1624； 17 23； 1822； 19 21； 2020（1）試將以上各乘積分別寫(xiě)成一個(gè)“2-2” （兩數(shù)平方差）的形式，并寫(xiě)出其中一個(gè)的思考過(guò)程；（2）將以上10 個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來(lái)；（3）試

34、由（ 1） 、 （2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論（不要求證明）初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第一講：因式分解(一)多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，

35、例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(a b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) 其中 n 為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2- +abn-2-bn-1) ，其中 n 為偶數(shù)；(9)an

36、+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2- -abn-2+bn-1) ，其中 n 為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例 1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz ；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab ；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1) 原式 =-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2 =-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn

37、+y)2(2) 原式 =x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) (3) 原式 =(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2(4) 原式 =(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4

38、) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2- ab3+b4) 例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc 本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6) 分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)解 原式 =(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc = (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c) (a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說(shuō)明公式

39、(6) 是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論，例如：我們將公式(6) 變形為a3+b3+c3-3abc 顯然，當(dāng) a+b+c=0 時(shí)，則 a3+b3+c3=3abc；當(dāng) a+b+c0 時(shí)，則 a3+b3+c3- 3abc0，即 a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等號(hào)成立如果令 x=a30，y=b30，z=c30，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論例 3 分解因式： x15+x14+x13+x2+x+1分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16 項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始， x 的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來(lái)分解解 因?yàn)閤16-1=(x

40、-1)(x15+x14+x13+x2+x+1) ，所以說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1) ，再除以 (x-1) 的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例 4 分解因式： x3-9x+8分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注

41、意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項(xiàng) 8 拆成 -1+9 原式 =x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 解法 2 將一次項(xiàng) -9x 拆成 -x-8x 原式 =x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 解法 3 將三次項(xiàng) x3拆成 9x3-8x3原式 =9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8) 解法 4 添加兩項(xiàng) -x

42、2+x2原式 =x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 說(shuō)明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例 5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2- 1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1) 將-3 拆成 -1-1-1 原式 =x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1

43、) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) (2) 將 4mn拆成 2mn+2mn 原式 =(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3) 將(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2- 1)2原式 =(x+1)4+2(x2-1)2-(x2- 1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+

44、(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2- (x2-1)2=(3x2+1)(x2+3) (4) 添加兩項(xiàng) +ab-ab原式 =a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b2+1) =a(a-b)+1(ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)說(shuō)明 (4) 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab ，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，

45、而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例 6 分解因式： (x2+x+1)(x2+x+2)-12 分析將原式展開(kāi)，是關(guān)于x 的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x 看作一個(gè)整體，并用字母y 來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了解 設(shè) x2+x=y，則原式 =(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

46、=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說(shuō)明本題也可將x2+x+1 看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)?7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90 令 y=2x2+5x+2，則原式 =y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)

47、(2x+7)(x-1)說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y) 的基礎(chǔ)例 8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設(shè) x2+4x+8=y，則原式 =y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說(shuō)明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式例 9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6 解法 1 原式 =6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1

48、)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2- 1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x 3(x2-1)+8x =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說(shuō)明本解法實(shí)際上是將x2-1 看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體解法 2原式 =x26(t2+2)+7t-36 =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8) =x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8 =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(

49、2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例 10 分解因式： (x2+xy+y2)-4xy(x2+y2) 分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式 =(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy 令 x+y=u，xy=v，則原式 =(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2練習(xí)一1分解因式： (2)x10+x5-2 ；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52

50、分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323 3分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1 ；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第二講：因式分解(二)1雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我們將上式按x 降冪排列，

51、并把y 當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3) ，可以看作是關(guān)于x 的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即： -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x 的二次三項(xiàng)式分解所以，原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3 ；

52、(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3 這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 進(jìn)行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖( 有兩列 ) ；(2) 把常數(shù)項(xiàng) f 分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、 第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例 1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2 ；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2 ；(4)6x2- 7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1) 原

53、式 =(x-5y+2)(x+2y-1)(2) 原式 =(x+y+1)(x-y+4)(3) 原式中缺 x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0 來(lái)分解原式 =(y+1)(x+y-2)(4) 原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)說(shuō)明 (4) 中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n 為非負(fù)整數(shù) ) 的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x 的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x) ，等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2 ，g(x)=x5+x2+6，當(dāng) x=a 時(shí)，多項(xiàng)式f(x) 的值用 f(a) 表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x) f(1)=12-3 1+2=0；f(-2)=

54、(-2)2-3 (-2)+2=12 若 f(a)=0 ，則稱(chēng) a 為多項(xiàng)式 f(x) 的一個(gè)根定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多項(xiàng)式f(x) 的根，即 f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x) 有一個(gè)因式x-a 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x) 的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x) 的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x) ，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根定理 2的根，則必有p 是 a0的約數(shù)， q 是 an的約數(shù)特別地，當(dāng)a0=1 時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x) 的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根

55、來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例 2 分解因式： x3-4x2+6x-4 分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4 的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4 的約數(shù)： 1， 2， 4，只有f(2)=23-4 22+62-4=0，即 x=2 是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 原式 =(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 解法 2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 說(shuō)明在上述解法中，

56、特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4 的約數(shù)，反之不成立，即-4 的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì) -4 的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證例 3 分解因式： 9x4-3x3+7x2-3x-2 分析因?yàn)?9 的約數(shù)有 1， 3， 9；-2 的約數(shù)有 1，為：所以，原式有因式9x2-3x-2 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1) 說(shuō)明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為 9x2-3

57、x-2 ，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x) ，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a) ，那么 f(x) 就可以分解為 (x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x) 進(jìn)行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方

58、程( 或方程組 ) ，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例 4 分解因式： x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和 xyn 的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和 n，使問(wèn)題得到解決解 設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得 m=3 ，n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下例 5 分解

59、因式： x4-2x3-27x2-44x+7 分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根法，若原式有有理根，則只可能是1， 7(7 的約數(shù) ) ，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d) 的形式解 設(shè)原式 =(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd ，所以有由 bd=7，先考慮 b=1，d=7 有所以原式 =(x2-7x+1)(x2+5x+7)說(shuō)明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1 ，d=-7 等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7

60、代入方程組后，無(wú)法確定a，c 的值，就必須將 bd=7 的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地練習(xí)二1用雙十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3 ； (2)x2-xy+2x+y-3 ；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z22用求根法分解因式：(1)x3+x2-10 x-6 ； (2)x4+3x3-3x2-12x-4 ；(3)4x4+4x3-9x2-x+2 3用待定系數(shù)法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20