2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第1節(jié) 直線的傾斜角、斜率與直線的方程 教案

1、1全國(guó)卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般為 2 道小題和 1 道解答題，分值約占 22 分.2.考查內(nèi)容高考小題重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及兩種圓錐曲線的綜合問題解答題一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等問題，難度較大.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律求圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程問題圓錐曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用問題直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系問題圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題(2)重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用.第一節(jié)第一節(jié)直線的傾斜角直線的傾斜角、斜率與直線的方程斜率與直線的方程最新考綱1

2、.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形確定直線位置的幾何要2素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念， 掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素， 掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、 兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線 l 與 x 軸相交時(shí)，取 x 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角叫做直線 l 的傾斜角當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 0.(2)范圍：直線 l 傾斜角的取值范圍是0，)2斜率公式(1)定義式：直線 l 的傾斜角為2 ，則斜率 ktan .(2)坐標(biāo)式： p1(x1， y1)， p2(

3、x2， y2)在直線 l 上， 且 x1x2， 則 l 的斜率 ky2y1x2x1.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線 xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于 x 軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)y1y2y1xx1x2x1不含直線 xx1(x1x2)和直線 yy1(y1y2)截距式xayb1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式axbyc0，a2b20平面內(nèi)所有直線都適用常用結(jié)論1牢記傾斜角與斜率 k 的關(guān)系3(1)當(dāng)0，2 且由 0 增大到22 時(shí)，k 的值由 0 增大到.(2)當(dāng)2，時(shí)，k 也是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在此區(qū)間內(nèi)由22 增大到()時(shí)，k 的值由趨近于 0(k0)2特殊直線

4、的方程(1)直線過點(diǎn) p1(x1，y1)，垂直于 x 軸的方程為 xx1；(2)直線過點(diǎn) p1(x1，y1)，垂直于 y 軸的方程為 yy1；(3)y 軸的方程為 x0；(4)x 軸的方程為 y0.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率 ()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(3)過定點(diǎn) p0(x0，y0)的直線都可用方程 yy0k(xx0)表示()(4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn) p1(x1， y1)， p2(x2， y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1若過點(diǎn)

5、m(2，m)，n(m,4)的直線的斜率等于 1，則 m 的值為()a1b4c1 或 3d1 或 4a由題意得m42m1，解得 m1.2已知直線 l 經(jīng)過點(diǎn) p(2,5)，且斜率為34，則直線 l 的方程為()a3x4y140b3x4y140c4x3y140d4x3y140a由 y534(x2)得 3x4y140，故選 a.3已知 a，b，c 是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn) a(a，b)，b(a，c)的直線的4傾斜角為，直線 ab 的方程為2xa由題意知，直線 ab 垂直于 x 軸，因此直線 ab 的傾斜角為2，直線 ab 的方程為 xa.4在 x 軸，y 軸上的截距分別是 4，3 的直線方程為3x

6、4y120由題意知，直線方程為x4y31，即 3x4y120.考點(diǎn) 1直線的傾斜角和斜率斜率取值范圍的兩種求法數(shù)形結(jié)合法作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可1.(2019安慶模擬)直線 x(a22)y10 的傾斜角不可能為()a.12b.9c.10d.3d設(shè)直線 x(a22)y10 的傾斜角為，0，)，則 tan 1a220，12 .又 tan3 3，故不可能為3.2若直線 l 的斜率 k1,1，則直線 l 的傾斜角的范圍是0，4 34，當(dāng)1k0 時(shí)，34，當(dāng) 0k1 時(shí)，04.因此的取值范圍是0，

7、4 34，.3直線 l 過點(diǎn) p(1,0)，且與以 a(2,1)，b(0， 3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線 l 斜率的取值范圍為5(， 31，)如圖，kap10211，kbp3001 3，k(， 31，)直線的傾斜角和斜率的范圍互求時(shí)， 要充分利用 ytan x 的單調(diào)性考點(diǎn) 2直線的方程1求解直線方程的兩種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程待定系數(shù)法設(shè)所求直線方程的某種形式；由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程2.謹(jǐn)防三種失誤(1)應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在(2)應(yīng)用“截距式”方程時(shí)

8、要注意討論直線是否過原點(diǎn)，截距是否為 0.(3)應(yīng)用一般式 axbyc0 確定直線的斜率時(shí)注意討論 b 是否為 0.(1)若直線經(jīng)過點(diǎn) a(5,2)，且在 x 軸上的截距等于在 y 軸上的截距的 2 倍，則該直線的方程為(2)若直線經(jīng)過點(diǎn) a( 3，3)，且傾斜角為直線3xy10 的傾斜角的一半，則該直線的方程為(3)在abc 中，已知 a(5，2)，b(7,3)，且 ac 的中點(diǎn) m 在 y 軸上，bc 的中點(diǎn) n 在 x 軸上，則直線 mn 的方程為(1)x2y10 或 2x5y0(2) 3xy60(3)5x2y50(1)當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為 ykx，將(5,2)代

9、入 ykx中，得 k25，此時(shí)，直線方程為 y25x，即 2x5y0.6當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí)，設(shè)所求直線方程為x2aya1，將(5,2)代入所設(shè)方程，解得 a12，此時(shí)，直線方程為 x2y10.綜上所述，所求直線方程為 x2y10 或 2x5y0.(2)由3xy10 得此直線的斜率為 3，所以傾斜角為 120，從而所求直線的傾斜角為 60，故所求直線的斜率為 3.又直線過點(diǎn) a( 3，3)，所以所求直線方程為 y3 3(x 3)，即3xy60.(3)設(shè) c(x0，y0)，則m5x02，y022，n7x02，y032.因?yàn)辄c(diǎn) m 在 y 軸上，所以5x020，所以 x05.因?yàn)辄c(diǎn) n 在

10、x 軸上，所以y0320，所以 y03，即 c(5，3)，所以 m0，52 ，n(1,0)，所以直線 mn 的方程為x1y521，即 5x2y50.當(dāng)直線在 x 軸、y 軸上的截距相等或具有倍數(shù)關(guān)系時(shí)，一般要分截距為零和不為零兩種情況求解， 當(dāng)出現(xiàn)截距之和或橫截距大于縱截距時(shí)， 此時(shí)橫、縱截距均不為零，可直接用待定系數(shù)法求解1.經(jīng)過點(diǎn) p(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為2x3y0 或 xy50設(shè)直線 l 在 x，y 軸上的截距均為 a，若 a0，即 l 過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，7l 的方程為 y23x，即 2x3y0.若 a0，則設(shè) l 的方程為xaya1，l 過點(diǎn)(3,2

11、)，3a2a1，a5，l 的方程為 xy50，綜上可知，直線 l 的方程為 2x3y0 或 xy50.2過點(diǎn)(1,2)，傾斜角的正弦值是22的直線方程是xy10 或 xy30由題意知，傾斜角為4或34，所以斜率為 1 或1，直線方程為 y2x1 或 y2(x1)，即 xy10 或 xy30.3過點(diǎn) p(3,0)有一條直線 l，它夾在兩條直線 l1：2xy20 與 l2：xy30 之間的線段恰被點(diǎn) p 平分，則直線 l 的方程為8xy240設(shè)直線 l 與 l1，l2的交點(diǎn)分別為 a，b，設(shè) a(x1，y1)，則 b(6x1，y1)由題意得2x1y120，6x1y130，解得x1113，y1163

12、，即 a113，163 .直線 l 的方程為y01630 x31133，即 8xy240.考點(diǎn) 3直線方程的綜合應(yīng)用與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題：先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求參數(shù)值或范圍：注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解過點(diǎn) p(4,1)作直線 l 分別交 x 軸，y 軸正半軸于 a，b 兩點(diǎn)，o 為坐8標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)aob 面積最小時(shí)，求直線 l 的方程；(2)當(dāng)|oa|ob|取最小值時(shí)，求直線 l 的方程解設(shè)直線 l：xayb1(a0，b0)，因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過點(diǎn) p(4

13、,1)，所以4a1b1.(1)4a1b124a1b4ab，所以 ab16，當(dāng)且僅當(dāng) a8，b2 時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng) a8，b2 時(shí)，aob 的面積最小，此時(shí)直線 l 的方程為x8y21，即 x4y80.(2)因?yàn)?a1b1，a0，b0，所以|oa|ob|ab(ab)4a1b 5ab4ba52ab4ba9， 當(dāng)且僅當(dāng) a6，b3 時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|oa|ob|取最小值時(shí)，直線 l 的方程為x6y31，即 x2y60.涉及與直線在 x 軸，y 軸上的截距有關(guān)的問題，可設(shè)直線方程為截距式教師備選例題如圖，在兩條互相垂直的道路 l1，l2的一角，有一個(gè)電線桿，電線桿底部到道路 l1的垂直距離為 4

14、米， 到道路 l2的垂直距離為 3 米， 現(xiàn)在要過電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道， 使得人行道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長(zhǎng)度為米10如圖建立平面直角坐標(biāo)系，9設(shè)人行道所在直線方程為 y4k(x3)(k0)，所以 a34k，0，b(0,43k)，所以abo 的面積 s12(43k)34k 12249k16k ，因?yàn)?k0，所以9k16k29k16k 24，當(dāng)且僅當(dāng)9k16k，即 k43時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，a(6,0)，b(0,8)，所以人行道的長(zhǎng)度為 10 米1.一條直線經(jīng)過點(diǎn) a(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 1，則此直線的方程為x2y20 或 2xy20設(shè)所求直線的方程為xayb1.a(2,2)在直線上，2a2b1.又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 1，12|a|b|1.由可得(1)ab1，ab2，或(2)ab1，ab2.由(1)解得a2，b1，或a1，b2，方程組(2)無解故所求的直線方程為x2y11 或x1y21，即 x2y2