人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_20210103224738

1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用知識(shí)講解一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)1）如果在內(nèi)，則在此區(qū)間是增函數(shù)，為的單調(diào)增區(qū)間2）如果在內(nèi)，則在此區(qū)間是減函數(shù)，為的單調(diào)減區(qū)間3）如果在內(nèi)，恒成立，則在此區(qū)間是常函數(shù)，不具有單調(diào)性注：單調(diào)區(qū)間是指單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本步驟1）確定函數(shù)的定義域；2）求導(dǎo)數(shù)，并對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由（或）解出相應(yīng)的的取值范圍當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)一般需要通過列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注：單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，應(yīng)用“”隔開或用“和”連接“在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”可轉(zhuǎn)化為“

2、在區(qū)間內(nèi)且不恒為”或“區(qū)間是減區(qū)間的子集”二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值1.極大值點(diǎn)：已知函數(shù)，設(shè)是定義域內(nèi)任一點(diǎn)，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處取極大值，記作并把稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)2.極小值點(diǎn)：如果在附近都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處取極小值，記作并把稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)3.極值和極值點(diǎn)：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)注：極值點(diǎn)是個(gè)數(shù)，而不是個(gè)坐標(biāo)4.求函數(shù)的極值的方法：1）求函數(shù)的定義域2）求導(dǎo)數(shù)；3）求方程的所有實(shí)數(shù)根；4）考察在每個(gè)根附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；如果由負(fù)變正，則是極小值如果在的根的左右側(cè)，的符號(hào)不

3、變，則不是極值5.一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：1）求出函數(shù)在內(nèi)所有極值；2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值6.最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系1）極值只是對(duì)一點(diǎn)附近而言，是局部最值；而最值是對(duì)整個(gè)區(qū)間或是對(duì)所考察問題的整體而言；2）最值和極值都不一定存在；3）極值有可能是最值，但最值只要不在區(qū)間端點(diǎn)處取得，其必定是極值三、利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題1.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路為：1）抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式；2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值；3）

4、根據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案四、用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論1.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟1）確定函數(shù)的定義域；2）求導(dǎo)數(shù)，并對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由（或）解出相應(yīng)的的取值范圍當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)一般需要通過列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.為什么要分類討論？在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問題時(shí)，一般含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往需要分類討論原因在于，求單調(diào)區(qū)間的第（3）步中會(huì)去解一個(gè)含參的不等式或者，是題目給出的是區(qū)間端點(diǎn)含有參數(shù)五、如何進(jìn)行分類討論？1.先明確是哪類不等式，不同類型的不等式，分類討論的策略不同！考試中常碰到的不等式有：一元一次

5、不等式、一元二次不等式、分式不等式、對(duì)數(shù)不等式、指數(shù)不等式2.再觀察一下區(qū)間（定義域）和參數(shù)范圍3.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象，開始討論不同類型不等式的討論策略：1） 一元一次不等式型：參數(shù)在一次項(xiàng)系數(shù)上：如：，（i）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，增區(qū)間是；由，得，減區(qū)間是（iii）當(dāng)時(shí)，由，得，增區(qū)間是；由，得，減區(qū)間是參數(shù)在常數(shù)項(xiàng)上：如：，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，增區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，增區(qū)間為；由，得，增區(qū)間為2） 一元二次不等式型：參數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)：第一種，能因式分解型；如：，當(dāng)時(shí)，恒成立，為常函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，得或，的增區(qū)間是，；由，得，的減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，（i），且不恒為0，減區(qū)間為；（

6、ii）時(shí)，由，得，的增區(qū)間是；由，得或，的減區(qū)間是，（iii）時(shí)，由，得，的增區(qū)間是;由，得或，的減區(qū)間是，注：分類可以有層次感，在大類下還可以再分小類，這樣邏輯比較清晰嚴(yán)謹(jǐn)，不易混亂第二種，不能因式分解型；如：，當(dāng)時(shí)，由，得，的增區(qū)間是；由，得，的減區(qū)間是當(dāng)時(shí)， （i）當(dāng)時(shí)，即恒成立且不恒為0，的增區(qū)間是；（ii）當(dāng)時(shí)，即由，得或的增區(qū)間是，;由，得的減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，由，得的增區(qū)間是由，得或的減區(qū)間是，參數(shù)不在二次項(xiàng)系數(shù)上：第一種，能因式分解型如：，當(dāng)時(shí)，恒成立且不恒為0，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由，得或，增區(qū)間為，；由，得，減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得或，增區(qū)間為，；由，得，減區(qū)間為第二種，不能因式分解型如

7、：，當(dāng)，即時(shí)，恒成立且不恒為0，增區(qū)間是當(dāng)，即或時(shí)，由，得或增區(qū)間是，；由，得減區(qū)間是3）分式不等式型:這種類型往往可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式型解決4）指數(shù)不等式型如：，當(dāng)時(shí)，恒成立，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由，得，增區(qū)間為；由，得，減區(qū)間為5）對(duì)數(shù)不等式型如：，由，得，增區(qū)間是；由，得，減區(qū)間是六、函數(shù)的零點(diǎn)1.零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)2.有零點(diǎn)的推導(dǎo)：函數(shù)有零點(diǎn)有根函數(shù)與軸有交點(diǎn)3.有根的推導(dǎo)有幾個(gè)根函數(shù)與圖象有幾個(gè)交點(diǎn)函數(shù)圖象與軸有幾個(gè)交點(diǎn)4.推導(dǎo)：方程有幾個(gè)根函數(shù)與函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有幾個(gè)交點(diǎn)5.零點(diǎn)個(gè)數(shù)：三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1）當(dāng)時(shí)，且不恒為0，在上單調(diào)增

8、此時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)2）當(dāng)時(shí)，有極大值和極小值；當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)七、漸近線問題常見的處理方式：借助函數(shù)的零點(diǎn)，將區(qū)間進(jìn)行分段研究；構(gòu)造滿足題意的用參數(shù)表示的自變量經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1設(shè)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象可能是（）abcd【解答】解：由f（x）的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，即有導(dǎo)數(shù)小于0，可排除c，d；再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，函數(shù)f（x）遞減，再遞增，后遞減，即有導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，可排除a；則b正確故選：b2y=12x2lnx的單調(diào)遞減區(qū)

9、間為（）a1，1b（0，1）c1，+）d（0，+）【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閤0y=x1x，令x1x0，由于x0，從而得0x1，函數(shù)y=12x2x的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）故選：b3已知函數(shù)f（x）=ex（3x1）ax+a（a1），若有且僅有兩個(gè)整數(shù)xi（i=1，2），使得f（xi）0，則a的取值范圍為（）a2e，1）b73e2，2e）c0.2e）d73e2，1）【解答】解：設(shè)g（x）=ex（3x1），h（x）=axa，則g（x）=ex（3x+2），x（，23），g（x）0，g（x）單調(diào)遞減，x（23，+），g（x）0，g（x）單調(diào)遞增，x=23，取最小值3e-23，g（0）=1a=h（0），

10、g（1）h（1）=2e0，直線h（x）=axa恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，g（1）h（1）=4e1+2a0，a2e，g（2）=7e2，h（2）=3a，由g（2）h（2）0，解得：a73e2，故選：b4設(shè)函數(shù)f'（x）是函數(shù)f（x）（xr）的導(dǎo)函數(shù)，已知f'（x）f（x），且f'（x）=f'（4x），f（4）=0，f（2）=1，則使得f（x）2ex0成立的x的取值范圍是（）a（2，+）b（0，+）c（1，+）d（4，+）【解答】解：設(shè)f(x)=f(x)ex，則f'(x)=f'(x)-f(x)ex0，即函數(shù)f（x）在r 上單調(diào)遞減，因?yàn)閒'

11、（x）=f'（4x），即導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以函數(shù)y=f（x）是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心（2，1），由于f（4）=0，即函數(shù)y=f（x）過點(diǎn)（4，0），其關(guān)于點(diǎn)（2，1）的對(duì)稱點(diǎn)（0，2）也在函數(shù)y=f（x）上，所以有f（0）=2，所以f(0)=f(0)e0=2，而不等式f（x）2ex0即f(x)ex2，即f（x）f（0），所以x0，故使得不等式f（x）2ex0成立的x的取值范圍是（0，+）故選：b5設(shè)ar，若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間（1e，e）有極值點(diǎn)，則a取值范圍為（）a（1e，e）b（e，1e）c（，1e）（e，+）d（，e）（1e，+）【解答】解

12、：函數(shù)y=f（x）=x+alnx在區(qū)間（1e，e）有極值點(diǎn)y=0在區(qū)間（1e，e）有零點(diǎn)f（x）=1+ax=x+ax（x0）f'(1e)f'(e)0，(1e+a)(e+a)0，解得-ea-1ea取值范圍為(-e，-1e)故選：b6函數(shù)f（x）=2x33x2+a的極大值為6，那么a的值是（）a5b0c6d1【解答】解：函數(shù)f（x）=2x33x2+a，導(dǎo)數(shù)f（x）=6x26x，令f（x）=0，可得 x=0 或 x=1，導(dǎo)數(shù)在 x=0 的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，故f（0）為極大值f（0）=a=6導(dǎo)數(shù)在 x=1 的左側(cè)小于0，右側(cè)大于0，故f（1）為極小值 故選：c7函數(shù)f（x）=x3

13、ax2bx+a2在x=1處有極值10，則點(diǎn)（a，b）為（）a（3，3）b（4，11）c（3，3）或（4，11）d不存在【解答】解：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得 f（x）=3x22axb，又在x=1時(shí)f（x）有極值10，&f'(1)=3-2a-b=0&f(1)=1-a-b+a2=10，解得 &a=-4&b=11或 &a=3&b=-3，驗(yàn)證知，當(dāng)a=3，b=3時(shí)，在x=1無極值，故選：b8已知函數(shù)f（x）=x3+2ax2+3bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)分別在（1，0）與（0，1）內(nèi)，則2ab的取值范圍是（）a(-32，32)b(-32，1)c(-12，32)

14、d(1，32)【解答】解：由函數(shù)f（x）=x3+2ax2+3bx+c，求導(dǎo)f（x）=3x2+4ax+3b，f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別在區(qū)間（1，0）與（0，1）內(nèi)，由3x2+4ax+3b=0的兩個(gè)根分別在區(qū)間（0，1）與（1，0）內(nèi)，即&f'(0)0&f'(-1)0&f'(1)0，令z=2ab，轉(zhuǎn)化為在約束條件為&3b0&3-4a+3b0&3+4a+3b0時(shí)，求z=2ab的取值范圍，可行域如下陰影（不包括邊界），目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為z=2ab，由圖可知，z在a（34，0）處取得最大值32，在（34，0）處取得最小值-32，因?yàn)榭尚?/p>

15、域不包含邊界，z=2ab的取值范圍（-32，32）故選：a9函數(shù)f（x）=x3+x2ax4在區(qū)間（1，1）內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）a（1，5）b1，5）c（1，5d（，1）（5，+）【解答】解：由題意，f（x）=3x2+2xa，則f（1）f（1）0，即（1a）（5a）0，解得1a5，另外，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x2x4在區(qū)間（1，1）恰有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x25x4在區(qū)間（1，1）沒有一個(gè)極值點(diǎn)，故選：b10已知函數(shù)f（x）=xsinx，現(xiàn)給出如下命題：當(dāng)x（4，3）時(shí)，f（x）0；f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；f（x）在區(qū)間（1，3

16、）上有極大值；存在m0，使得對(duì)任意xr，都有|f（x）|m其中真命題的序號(hào)是（）abcd【解答】解：當(dāng)x（4，）時(shí)，sinx0，f（x）0，故為假命題；f（x）=sinx+xcosx，當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）0恒成立，故f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，故為真命題；f（1）=sin1+cos10，f（3）=sin3+3cos30，且f（x）在在區(qū)間（1，3）上連續(xù)，故存在x0（1，3），使x（1，x0）時(shí)，f（x）0，x（x0，3）時(shí)，f（x）0，故當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取極大值，故為真命題；由函數(shù)f（x）=xsinx不存在最大值和最小值，故不存在m0，使得對(duì)任意xr，都有|f（x）|m故

17、為假命題，故選：b11已知實(shí)數(shù)a，b滿足0a1，0b1，則函數(shù)f（x）=x3ax2+bx+1存在極值的概率為（）a19b13c25d89【解答】解：對(duì)f（x）=x3ax2+bx+1求導(dǎo)數(shù)可得f（x）=3x22ax+b，由函數(shù)有極值可得=4a212b0，即b13a2，滿足0a1，0b1的點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)檫呴L為1正方形，滿足0a1，0b1且b13a2的點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)檎叫蝺?nèi)曲線b=a2下方的部分，由定積分可得s=0113a2da=19a3|01=19，而正方形的面積為1，所求概率為p=19，故選：a12已知函數(shù)f（x）=2ef（e）lnxxe（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f（x）的極大值為（

18、）a2e1b-1ec1d2ln2【解答】解：f（x）=2ef'(e)x1e，故f（e）=1e，故f（x）=2lnxxe，令f（x）=2x1e0，解得：0x2e，令f（x）0，解得：x2e，故f（x）在（0，2e）遞增，在（2e，+）遞減，x=2e時(shí)，f（x）取得極大值2ln2，故選：d二填空題（共4小題）13函數(shù)f（x）=x33x2+1的極小值點(diǎn)為2【解答】解：f（x）=3x26x令f（x）=3x26x=0得x1=0，x2=2且x（，0）時(shí)，f（x）0；x（0，2）時(shí)，f（x）0；x（2，+）時(shí)，f（x）0故f（x）在x=2出取得極小值故答案為214已知函數(shù)f（x）=x33ax2+9x

19、1在x=1處有極值，則a=2【解答】解：由f（x）=x33ax2+9x1，則f（x）=3x26ax+9，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x33ax2+9x1在x=1處有極值，所以f（1）=0，即3×126a×1+9=0，解得：a=2a=2時(shí)，3x212x+9=0，可得x=1或x=3，所以a=2函數(shù)有極值故選c15函數(shù)f(x)=-23x3+32x2-x的遞增區(qū)間為12，1【解答】解：函數(shù)f(x)=-23x3+32x2-x，f（x）=2x2+3x1，令f（x）0，即2x2+3x10，解得：12x1，故函數(shù)在12，1遞增，故答案為：12，116函數(shù)f（x）=（x3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+

20、）【解答】解：f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（2，+）遞增，故答案為：（2，+）三解答題（共2小題）17已知函數(shù)f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，mr（）若m=2，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若對(duì)于任意的x1，1，都有f（x）4，求m的取值范圍【解答】解：（）若m=2，則f（x）=2x39x2+12x，f（x）=6x218x+12=6（x23x+2）=6（x1）（x2），令f（x）0，則x1或x2，故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（，1），（2，+）；（）f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，f（x）=6（x1）（xm），當(dāng)m1時(shí)，f（x）在（1，1）遞增，f（x）max=f（1）=3m14，故m53，1m53；當(dāng)1m1時(shí)，f（x）在（1，m）遞增，在（m，1）遞減，f（x）max=f（m）=m3+3m24，即m33m2+40，（m+1）（m2）20恒成立，1m1；當(dāng)m1時(shí)，f（x）在（1，1）遞減，f（x）max=f（1）=9m54，綜上，m的范圍是1m5318已知函數(shù)f（x）=2ex+3x22x+1+b，xr的圖象在x=0處的切線方程為y=ax+2（1）求函