人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)的計算及其幾何意義

1、導(dǎo)數(shù)的計算及其幾何意義知識講解一、導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1.函數(shù)的平均變化率：定義：已知函數(shù)，是其定義域內(nèi)不同的兩點，記，則當(dāng)時，商稱作函數(shù)在區(qū)間（或）的平均變化率注意：這里，可為正值，也可為負(fù)值但，可以為2.函數(shù)的瞬時變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定義：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)的改變?nèi)绻?dāng)趨近于時，平均變化趨近于一個常數(shù)（也就是說平均變化率與某個常數(shù)的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)稱為函數(shù)在點的瞬時變化率“當(dāng)趨近于零時，趨近于常數(shù)”可以用符號“”記作：“當(dāng)時，”，或記作“”，符號“”讀作“趨近于”函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱為在處的導(dǎo)數(shù)，并記作這時又

2、稱在處是可導(dǎo)的于是上述變化過程，可以記作“當(dāng)時，”或“”注：是個數(shù)3.可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：定義：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)這樣，對開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為或（或）注意：導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù)如果不特別指明求某一點的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù)4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：內(nèi)容：設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示：為過點與的一條割線由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率當(dāng)點沿曲線趨近于點時，割線繞點轉(zhuǎn)動，它的最終位置為直線，這條直線叫做此曲線過點的切線，即切線的斜率由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點的切線的斜率

3、等于5.在點處的切線方程與過點的切線方程1）函數(shù)在點處的切線方程為；2）函數(shù)過點的切線方程此時可能是切點，也可能不是切點；因此設(shè)切點為，求出在處切線方程代入，得，解出，再代入即可注意：過點的切線方程與在點處切線方程不同，應(yīng)按（2）的做法進(jìn)行；函數(shù)“在點處切線方程”與“在處的切線方程”表達(dá)相同的意思；“函數(shù)在點處切線方程是”二、導(dǎo)數(shù)的運算1.導(dǎo)數(shù)公式表基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）注意：，這兩個經(jīng)常在考試中碰到，可當(dāng)成公式記憶2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量的導(dǎo)數(shù)的乘積即設(shè)則注意：為了便于理解，記，（這里表示趨于0的自變量的改變量，表示趨于0的因變量的

4、改變量），因此，即復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.導(dǎo)數(shù)的四則運算1），即兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)，等于兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和2），即兩個函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)，等于兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的差3），即兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)的乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4），即兩個可導(dǎo)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方注意：，這里為常數(shù)；經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1已知函數(shù)f（x）=x4+2ax2+（a1）x為偶函數(shù)，則f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象大致為（）abcd【解答】解：函數(shù)f（x）=x4+2ax2+（a1）x為偶函數(shù)，則a1=0，解得a=1，f（x）=x4

5、+2x2，f（x）=4x3+4x；設(shè)g（x）=f（x），則g（x）=12x2+4，令g（x）=0，解得x=±33，當(dāng)0x33時，g（x）0，當(dāng)x33時，g（x）0；g（x）在x=33時取得極大值為g（33）=4×(33)3+4×33=8392，導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象大致為選項a所示故選：a2已知曲線y=lnx的切線過原點，則此切線的斜率為（）aebec1ed1e【解答】解：設(shè)切點坐標(biāo)為（a，lna），y=lnx，y=1x，切線的斜率是1a，切線的方程為ylna=1a（xa），將（0，0）代入可得lna=1，a=e，切線的斜率是1a=1e；故選：c3設(shè)函數(shù)f（x）=x

6、lnx，則f（x）的極小值為（）aeb1ece2d1e【解答】解：函數(shù)的定義域為（0，+）f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1=0，可得x=1e，0x1e，f（x）0，x1e，f（x）0，x=1e時，f（x）的極小值為1e故選：d4曲線y=13x3-2在點(1，-53)處切線的傾斜角為（）a6b4c34d56【解答】解：y=13x3-2，則y=x2，則k=1，從而tan=1則=4故傾斜角為4，故選：b5已知f（x）=sinx2cosx，實數(shù)滿足（f（）=3f（），則tan2=（）a43b43c-724d724【解答】解：由于函數(shù)f（x）=sinx2cosx，由（f（）=3f（），則0=3（

7、sin2cos），則sin=2cos，可得tan=2，因此，tan2=2tan1-tan2=2×21-22=-43，故選：a6下列求導(dǎo)數(shù)運算錯誤的是（）a（3x）=3xln3b（log3x）=1xln3c（cosxx）=xsinx-cosxx2d（x2lnx）=2xlnx+x【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于a，（3x）=3xln3，正確；對于b，（log3x）=1xln3，正確；對于c，（cosxx）=(cosx)'x-cosx(x)'x2=-xsinx-cosxx2，計算有誤；對于d，（x2lnx）=（x2）lnx+x2（lnx）=2xlnx+x，正確；故選

8、：c7設(shè)f（x）=x28lnx，則f'（x）0的解集為（）a（0，+）b（0，1）（2，+）c（，2）（2，+）d（2，+）【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=x28lnx，必有x0，即函數(shù)f（x）=x28lnx的定義域為（0，+），則其導(dǎo)數(shù)f'（x）=2x8x，若f'（x）0，則2x8x0，解可得x2，即f'（x）0的解集為（2，+）；故選：d8已知函數(shù)f（x）=6x3，g（x）=ex1，則這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為（）af（x）=63x2，g（x）=exbf（x）=3x2，g（x）=ex1cf（x）=3x2，g（x）=exdf（x）=63x2，g（x）=ex1【解

9、答】解：f（x）=3x2，g（x）=ex，故選：c9如圖是函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d的大致圖象，則x1+x2=（）a23b109c89d289【解答】解：f（x）=x3+bx2+cx+d，由圖象知，1+bc+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，d=0，b=1，c=2 f（x）=3x2+2bx+c=3x22x2 由題意有x1和x2是函數(shù)f（x）的極值，故有x1和x2是f（x）=0的根，x1+x2=23，故選：a10若函數(shù)f(x)=13x3-f'(1)x2+2x+5，則f（2）=（）a3b6c2d73【解答】解：由f(x)=13x3-f'(1)x2+2x+

10、5，得f（x）=x22f（1）x+2取x=1得：f（1）=122f（1）+2，所以f（1）=1則f（x）=x22x+2，所以f（2）=222×2+2=2故選：c11函數(shù)y=x2+a2x的導(dǎo)數(shù)值為0時，x等于（）aab±acada2【解答】解：y=x2+a2x=x+a2x，y'=1-a2x2令y=0，即1-a2x2=0，解得x=±a故選：b12設(shè)f(x)=lnx2+1，則f（2）=（）a45b25c15d35【解答】解：f（x）=lnx2+1，令u（x）=x2+1，則f（u）=lnu，f（u）=1u，u（x）=122xx2+1=xx2+1，由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

11、式得：f（x）=1x2+1xx2+1=xx2+1，f（2）=25故選：b二填空題（共4小題）13函數(shù)y=ln1+x21-x2的導(dǎo)數(shù)為2x1-x4【解答】解：y=11+x21-x2（1+x21-x2）=11+x21-x2121+x21-x2（1+x21-x2）=11+x21-x2121+x21-x2.2x(1+x2)-(1+x2)(-2x)(1-x2)2=1-x22(1+x2)4x(1-x2)2=2x1-x4故答案為：2x1-x414函數(shù)y=cos（2x2+x）的導(dǎo)數(shù)是（4x+1）sin（2x2+x）【解答】解：y=（4x+1）sin（2x2+x），故答案為（4x+1）sin（2x2+x）15已

12、知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），若f(x)=f'(9)sin3x+cos3x，則f'(9)=33【解答】解：f(x)=f'(9)sin3x+cos3x，f（x）=f'(9)3cos3x3sin3x，令x=9可得 f'(9)=f'(9) 3cos33sin3=f'(9) 323 32，解得 f'(9)=33，故答案為 3316已知曲線f（x）=2x2+1在點m（x0，y0）處的瞬時變化率為8，則點m的坐標(biāo)為（2，9）【解答】解：y=2x2+1，y=4x，令4x0=8，則x0=2，y0=9，點m的坐標(biāo)是（2，9），故答案為：（2，9

13、）三解答題（共2小題）17設(shè)a0，函數(shù)f（x）=x2+a|lnx1|（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)x1，+）時，求函數(shù)f（x）的最小值【解答】解（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x2+|lnx1|，x0，當(dāng)0xe時，f（x）=x2+1lnx，f'(x)=2x-1x，當(dāng)x=e時，f（x）=x2，f'（x）=2x，當(dāng)xe時，f（x）=x2+lnx1，f'(x)=2x+1x，令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切點為（1，2），切線的斜率為1，所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：xy+1=0（2）當(dāng)xe時，f（x）=x2+

14、alnxa，f'(x)=2x+ax（xe）a0，f（x）0恒成立f（x）在e，+）上增函數(shù)故當(dāng)x=e時，ymin=f（e）=e2當(dāng)1xe時，f（x）=x2alnx+a，f'(x)=2x-ax=2x(x+a2)(x-a2)（1xe）（i）當(dāng)a21，即0a2時，f'（x）在x（1，e）時為正數(shù)，所以f（x）在區(qū)間1，e）上為增函數(shù)故當(dāng)x=1時，ymin=1+a，且此時f（1）f（e）（ii）當(dāng)1a2e，即2a2e2時，f'（x）在x(1，a2)時為負(fù)數(shù)，在間x(a2，e)時為正數(shù)所以f（x）在區(qū)間1，a2)上為減函數(shù)，在(a2，e上為增函數(shù)故當(dāng)x=a2時，ymin=

15、3a2-a2lna2，且此時f(a2)f(e)（iii）當(dāng)a2e；即a2e2時，f'（x）在x（1，e）時為負(fù)數(shù)，所以f（x）在區(qū)間1，e上為減函數(shù)，當(dāng)x=e時，ymin=f（e）=e2綜上所述，當(dāng)a2e2時，f（x）在xe時和1xe時的最小值都是e2所以此時f（x）的最小值為f（e）=e2；當(dāng)2a2e2時，f（x）在xe時的最小值為f(a2)=3a2-a2lna2，而f(a2)f(e)，所以此時f（x）的最小值為f(a2)=3a2-a2lna2當(dāng)0a2時，在xe時最小值為e2，在1xe時的最小值為f（1）=1+a，而f（1）f（e），所以此時f（x）的最小值為f（1）=1+a所以函數(shù)y=f（x）的最小值為ymin=&1+a，0a2&3a2-a2lna2，2a2e2&e2，a2e218已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0x2），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間【解答】解：（1）由題意得：f（x）=2sin