高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 Word版含答案_20210103224746

1、淘寶店鋪：漫兮教育第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和等差數(shù)列(1)理解等差數(shù)列的概念(2)掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(3)能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題(4)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念1定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列符號表示為an1and(nn，d為常數(shù))2等差中項(xiàng)：數(shù)列a，a，b成等差數(shù)列的充要條件是a，其中a叫作a，b的等差中項(xiàng)易誤提醒1要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)

2、列不是等差數(shù)列2注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別自測練習(xí)1現(xiàn)給出以下幾個(gè)數(shù)列：2,4,6,8，2(n1)，2n；1,1,2,3，n；常數(shù)列a，a，a，a；在數(shù)列an中，已知a2a12，a3a22.其中等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為()a1 b2c3 d4解析：由42642n2(n1)2，得數(shù)列2,4,6,8，2(n1)，2n為等差數(shù)列；因?yàn)?10211，所以數(shù)列1,1,2,3，n不是等差數(shù)列；常數(shù)列a，a，a，a為等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列an僅有3項(xiàng)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列，當(dāng)數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)超過3項(xiàng)時(shí)，數(shù)列an不一定是等差數(shù)列故等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為2.答案：b2若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則ca_.解析：

3、由題意得該等差數(shù)列的公式d，所以ca2d.答案：知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：snna1d.必記結(jié)論1巧用等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d，(n，mn)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nn)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mn)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差數(shù)列2前n項(xiàng)和公式snn2n視為關(guān)于n的一元二次函數(shù)，開口方向由公差d的正負(fù)確定；sn中(a1an)視為一個(gè)整體，常與等差數(shù)

4、列性質(zhì)結(jié)合利用“整體代換”思想解題自測練習(xí)3(2016·日照模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a12，a2a313，那么a4a5a6等于()a40 b42c43 d45解析：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則有a2a32a13d43d13，解得d3，故a4a5a63a53(a14d)3×(24×3)42，故選b.答案：b4(2015·蘭州診斷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a418a5，則s8()a18 b36c54 d72解析：由s8，又a4a5a1a818，s872.答案：d5數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且a2a6a8，則_.解析：在等差數(shù)列中，由a2a

5、6a8得2a16da17d，即a1d0，所以3.答案：3考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算|1(2015·高考全國卷)設(shè)sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則s5()a5 b7 c9 d11解析：法一：數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，a1a3a53a16d3，a12d1，s55a1×d5(a12d)5.法二：數(shù)列an為等差數(shù)列，a1a3a53a33，a31，s55.答案：a2等差數(shù)列an中，a1，am，an(mn)，則數(shù)列an的公差d為_解析：am(m1)d，an(n1)d，(mn)d，d，am(m1)，解得，即d.答案：3(2015·通州模擬)已知等差數(shù)列an

6、中，a22，公差d2，那么數(shù)列an的前5項(xiàng)和s5_.解析：將已知條件代入公式易得s55(a2d)d20.答案：20等差數(shù)列的基本運(yùn)算的兩個(gè)解題策略(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明|已知數(shù)列an滿足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：，bn1bn，bn是等

7、差數(shù)列(2)由(1)及b11，知bnn，an1，an.等差數(shù)列的四種判定方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nn*)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證snan2bn.1已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nn*)，數(shù)列bn滿足bn(nn*)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2(n2，nn*)，bn，當(dāng)n2時(shí)，bnbn11.又b1，數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及最值|(1)(2016·泉州質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a5a1410，則s

8、18()a20b60c90 d100解析因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以s189(a5a14)90，故選擇c.答案c(2)(2015·廣州模擬)已知等差數(shù)列an的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()a10 b20c30 d40解析本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，于是有2×n251510,2n10，即這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10，故選a.答案a(3)已知在等差數(shù)列an中，a131，sn是它的前n項(xiàng)的和，s10s22.求sn；這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值解s10a1a2a10，s22a1a2a22，又s10s22，a

9、11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.snna1d31nn(n1)32nn2.法一：由知，sn32nn2(n16)2256，當(dāng)n16時(shí)，sn有最大值256.法二：由知，令(nn*)，解得n，nn*，n16時(shí)，sn有最大值256.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解(2)通項(xiàng)公式法：求使an0(an0)成立時(shí)最大的n值即可一般地，等差數(shù)列an中，若a1>0，且spsq(pq)，則：若pq為偶數(shù)，則當(dāng)n時(shí)，sn最大；若pq為奇數(shù)，則當(dāng)n或n時(shí)，sn最大2(2015·深

10、圳調(diào)研)等差數(shù)列an中，已知a5>0，a4a7<0，則an的前n項(xiàng)和sn的最大值為()as7 bs6cs5 ds4解析：sn的最大值為s5.答案：c3設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若s33，s618，則a8_.解析：等差數(shù)列性質(zhì)可得s33，s6s315，s9s6a7a8a93a8成等差數(shù)列，故有2(s6s3)s3s9s62×1533a8，解得a89.答案：917.整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用【典例】已知sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若s11，4，則的值為()a. b.c. d4思路點(diǎn)撥若利用a，d基本計(jì)算較繁，可考慮s2，s4s2，s6s4成等差數(shù)列，采用整體求值較簡便解

11、析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知s2，s4s2，s6s4成等差數(shù)列，由4，得3，則s6s45s2，所以s44s2，s69s2，.答案a方法點(diǎn)評利用整體思想解數(shù)學(xué)問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨(dú)立但實(shí)際上緊密聯(lián)系的量作為一個(gè)整體考慮的方法有不少等差數(shù)列題，其首項(xiàng)、公差無法確定或計(jì)算煩瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑跟蹤練習(xí)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且s1010，s2030，則s30_.解析：s10，s20s10，s30s20成等差數(shù)列，且s1010，s2030，s20s1020，s30s20102×1030，s3060.答案：60a組考點(diǎn)能力演練1已知

12、等差數(shù)列an滿足：a313，a1333，則數(shù)列an的公差為()a1 b2c3 d4解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d2，故選擇b.答案：b2(2016·寶雞質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且s918，an430(n>9)，若sn336，則n的值為()a18 b19c20 d21解析：因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以s99a518，a52，sn×3216n336，解得n21，故選擇d.答案：d3(2015·武昌聯(lián)考)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n項(xiàng)和為sn，則使得sn達(dá)到最大的n是()a18 b19c20 d21解析：

13、a1a3a5105a335，a2a4a699a433，則an的公差d33352，a1a32d39，snn240n，因此當(dāng)sn取得最大值時(shí)，n20.答案：c4在等差數(shù)列an中，a2a3a4a540，則3a1a11()a20 b30c40 d60解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的應(yīng)用由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2a3a4a52(a3a4)40，解得a3a420，即a3a42a15d20，又3a1a114a110d2(2a15d)40，故選c.答案：c5已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，sn，tn分別是它們的前n項(xiàng)和，并且，則()a. b5c. d.解析：法一：令sn(7n1)n，tn(n3)n，則an

14、14n6，bn2n2，所以.法二：設(shè)等差數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，則.答案：d6(2015·廣州一模)若sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且s8s320，則s11_.解析：因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以s8s3a4a5a6a7a85a620，所以a64，所以s1111a644.答案：447設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a1a21，nsn(n2)an為等差數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式為an_.解析：設(shè)bnnsn(n2)an，則b11×s1(12)a11×a13a14，b22×s2(22)a22×(a1a2)(22)a28，所以等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為4，

15、公差為4，所以bn4(n1)×44n，即nsn(n2)an4n.當(dāng)n2時(shí)，snsn1anan10，所以anan1，即2·，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以n1，所以an.答案：8設(shè)等差數(shù)列an滿足公差dn*，ann*，且數(shù)列an中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列的一項(xiàng)若a135，則d的所有可能取值之和為_解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式依題意得ana1(n1)d，aiaj2a1(ij2)da1(m1)d(i，j，mn*)，即(mij1)da1，kda135(其中k，dn*)，因此d的所有可能取值是35的所有正約數(shù)，即分別是1,3,32,33,34,35，因此d的所有可能取值之

16、和為364.答案：3649已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655，a2a716.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：b1a1且bnanbn1(n2，nn*)，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解：(1)由題意得：公差d>0，d2，an2n1.(2)bnanbn1(n2，nn*)，bnbn12n1(n2，nn*)bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(n2，nn*)，且b1a11，bn2n12n331n2(n2，nn*)bnn2(nn*)10(2015·南昌一模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，s36，正項(xiàng)數(shù)列bn滿足b1·b2&#

17、183;b3··bn2sn.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若bn>an對nn*均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)a11，s36，數(shù)列an的公差d1，ann.由題知，÷得bn2snsn12an2n(n2)，又b12s1212，滿足上式，故bn2n.(2)bn>an恒成立>恒成立，設(shè)cn，則，當(dāng)n2時(shí)，cn<1，數(shù)列cn單調(diào)遞減，(cn)max，故>.b組高考題型專練1(2015·高考重慶卷)在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6()a1 b0c1 d6解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a2a62a4，所以a62a4a20，

18、故選b.答案：b2(2015·高考全國卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，sn為an的前n項(xiàng)和若s84s4，則a10()a. b.c10 d12解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由題設(shè)知d1，s84s4，所以8a1284(4a16)，解得a1，所以a109，選b.答案：b3(2015·高考北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()a若a1a2>0，則a2a3>0b若a1a3<0，則a1a2<0c若0<a1<a2，則a2>d若a1<0，則(a2a1)(a2a3)>0解析：若an是遞減的等差數(shù)列，則選項(xiàng)a，b都不一定正確若an為公差為0的等差數(shù)列，則選項(xiàng)d不正確對于c選項(xiàng)，由條件可知an為公差不為0的正項(xiàng)數(shù)列