(word完整版)高三數(shù)學立體幾何經典例題

1、廈門一中立體幾何專題一、選擇題（10X5 =50 ）1如圖，設 0 是正三棱錐 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心， 過 0 的動平面與P-ABC 的三條側棱或其延長線的交點分別記為 Q、R、S,則-111（）PQ PR PSA. 有最大值而無最小值B. 有最小值而無最大值C. 既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等D. 是一個與平面 QRS 位置無關的常量2在正 n 棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（A.,B.,C. 0,D.nn2n的面積的取值范圍是（）若 Ba,C3,則厶 ABC 的周長的最小值是（）B.2 .75.如圖，正四面體 A-BCD 中，E 在棱 AB 上，F(xiàn)

2、 在棱 CD 上,使得詈 Cy =入（0入+m），記 f （入）=ax+3入，其中a入表示 EF與 AC 所成的角，3入表示 EF 與 BD 所成的角，貝U（）A. f （入）在（0,+g）單調增加B. f （入）在（0,+g）單調減少C. f （入）在（0,1）單調增加，在（1,+g）單調減少D. f （入）在（0,+g）為常數(shù)合是（）A. 一條直線B. 個平面C.兩條平行直線D.兩個平面7.正四棱錐底面積為 Q,側面積為 S,則它的體積為（）3正三棱錐 P-ABC 的底面邊長為2a,點 E、F、G、H 分別是PA、PB、BC、AC 的中點，則四邊形 EFGHA.(0,+ g)B.C.D.

3、a2,24.已知二面角a-a-3為 60,點 A 在此二面角內，且點A 到平面a、3的距離分別是AE=4, AF=2,6.直線 a /平面3，直線 a 到平面3的距離為1，則到直線 a 的距離與平面3的距離都等于7 的點的集第 5 題圖第 1 題圖A.1Q（S2Q2）B.1Q（S2Q2）6 3 C.1-Q(S2Q2)28.已知球 O 的半徑為 R, A、B 是球面上任意兩點，則弦長|AB|的取值范圍為（）D.fQSB.(0,2RC. ( 0,2R)D. : R,2R9已知平面aQ平面B=l,m 是平面a內的一條直線， 則在平面B內A. .定存在直線與直線 m 平行，也一定存在直線與直線B. 定

4、存在直線與直線 m 平行，但不一定存在直線與直線C. 不一定存在直線與直線 m 平行，但一定存在直線與直 線 m垂直D. 不一定存在直線與直線m 平行，也不一定存在直線與直線 m 垂直10.如圖為一個簡單多面體的表面展開圖(沿圖中虛線折11._邊長為 a 的等邊三角形內任一點到三邊距離之和為定值，這個定值為 _;推廣到空間，棱長為 a 的正四面體內任一點到各面距離之和為 _12. 在厶 ABC 中，AB=9, AC=15，/ BAC=120,其所在平面外一點 P 到 A、B、C 三個頂點的距離都是 14,貝 U P 點到直線 BC 的距離為 _ .13. 已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘

5、在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為 2,則最遠的兩頂點間的距離是 _ .14._ 有 120個等球密布在正四面體 A-BCD 內，問此正四面體的底部放有 _ 個球.三、解答題(4X10 +14 =54)15.定直線 11丄平面a，垂足為 M，動直線 12在平面a內過定點 N,但不過定點 M.MN=a 為定值，在 11、12上分別有動線段 AB=b,CD = c.b、c 為定值.問在什么情況下四面體 ABCD 的體積最大？最大值是多少？AC 的中點，求:(1)PM與FQ所成的角；(2)P 點到平面 EFB 的距離；(3 )異面直線 PM 與 FQ 的距離.16

6、.如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM 和 MDCF 都是邊長為a 的正方形，點P、Q 分別是 ED 和A. : 0,2 Rm 垂直A.6B.7C.8D.9、填空題(4X4=16)疊即可還原)，則這個多面體的頂點數(shù)為(第 16 題圖連結人丘將厶 DAE 沿 AE 折起到 D1AE 的位置，使得/(1)試用基向量AB,AE,AD1表示向量OD117.如圖，在梯形 ABCD 中，AB/ CD,/ ADC = 90,3AD=DC=3,AB=2,E 是 CD 上一點，滿足DE = 1 ,D1AB = 60 ,設 AC 與 BE 的交點為 O.(2) 求異面直線 ODi與 AE 所成的角.(3) 判斷

7、平面 DiAE 與平面 ABCE 是否垂直，并說明理由第 17 題圖18.如圖，在斜棱柱 ABC AiBiCi中，底面為正三角形，側棱長等于底面邊長，且側棱與底面所成的 角為 60頂點 Bi在底面 ABC 上的射影 O 恰好是 AB 的中點.(i)求證：BiC CiA;(2 )求二面角 Ci-AB-C 的大小.第 i8 題圖i9.如圖所示，在三棱錐 P-ABC 中，PA=PB=PC , BC=2a,AC=a,AB=、3a,點 P 到平面 ABC 的距離為 | a.(i )求二面角 P-AC-B 的大??；(2)求點 B 到平面 FAC 的距離.第 i9 題圖立體幾何練習參考答案一、選擇題1.D

8、設正三棱錐 P-ABC 中，各棱之間的夾角為a，棱與底面夾角為B,h 為點 S 到平面 PQR 的距離，111則 VS-PQR=3SPQR h= ( PQ PR sina) PS sinB,另一方面，記 O 到各平面的距離為d,則有33 2111dVS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=SPQRd+ SPRS，d+SPQS-d=3333a+d-PQ -PS-sina故有 PQ -PR -PS-sinB=d(PQ -PR+PR -PS+PQ -PS),即旦-PQ -PR -sina +丄 PSPRsin23211_ sinPR PS d32PQ常量.2.B 設正 n 棱錐的高為

9、h,相鄰兩側面所成二面角為B.當 hf0 時，正 n 棱錐的極限為正 n 邊形，這時 相鄰兩側面所成二面角為平面角，即二面角Qfn.當 hfg時，正 n 棱錐的極限為正 n 棱柱，這時相鄰兩側面所成二面角為正n 邊形的內角，即Bf丄 2nEFGH 為矩形，當 Pf底面 ABC 的中心 O 時，矩形 EFGHf矩形 EiFiGH.3a=_Aa2334. C 如圖，Ia 丄 AE,a 丄 AF,. a 丄平面 AEF.設 a 交平面 AEF 于點 G,則/ EGF 是二面角a-a-3的平面角，/ EGF=60 ,/ EAF=120。，且易知當 ABC的周長最小時， B EG,C FG.設點 A 關

10、于平面a的對稱點為A ，點 A 關于平面3的對稱點為A旌結 AA，分別交線段 EG、FG 于點 B、C,則此時 ABC 的周長最短，記為 I.由中位線定理及余弦定理得l=2EF=242222 4 2cos120=4.7.5. D 因為 ABCD 是正四面體，故 AC 丄 BD,作 EG / AC 交 BC 于 G ,連結 GF，則a入=/ GEF,且CGAECFGBEBFD, GF / BD,故 GF 丄 EG,且3入=/ EFG, f （入）=a 3入=90 為常數(shù).6. C 這兩條直線在距 a 為-的平面上，分布在 a 在該平面上的射影的兩側.57. A 設正四棱錐各棱長均為 1,則 Q=

11、1 , S=3，此時，正四棱錐的高 h=,2- V=-Qh=2將 Q=1 , S=、3代入選擇支，知 A 正確.368. B 考慮 A、B 兩點在球面上無限靠近但又不重合，及A、B 兩點應為直徑的兩端點時的情況.點評 若忽視幾何里的兩點、兩直線、兩平面等均應是相異的兩兀素，就會誤選A，球的最長弦就是直徑，但球沒有最短弦.9. C 若 m/ I，則3內必有與 m 平行的直線；若 m 與 I 相交，則3內無直線與 m 平行.n.故選 B.3.B 如圖，易知四邊形S矩形E1F1GH=ElF 1 FlG=a即 S矩形EFGHTv3a2當3PTS時，S矩形EFGHfg .S矩形EFGHa23.故選 B.

12、%第 4 題圖解第 3 題圖解不一定存在直線與直線 m 平行，排除 A、B.又B內一定存在與 m 在B內的射影垂直的直線，由二垂線定理知，B內一定存在直線與m 垂直,故選 C.10. B 本題考查簡單多面體的表面展開與翻折，著重考查考生的空間想像能力，該多面體是正方體切割掉一個頂點，故有 7 個頂點.二、填空題11. a;本題通過等積找規(guī)律.2312.2,7 分析 P 點到 A、B、C 距離相等，故 P 點在平面 ABC 上的射影是三角形 ABC 的外心，故 可由 ABC的已知條件求出厶 ABC 外接圓半徑，進而求得 P 點到平面 ABC 的距離，及外心到直線 BC 的 距離，從而最終解決問題

13、解記 P 點在平面 ABC 上的射影為 0,則 AO、BO、CO 分別是 PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影 PA=PB=PC ,OA=OB=OC , OABC 的外心.在厶 ABC 中，BC=,921529 15=21由正弦定理，2R=，. R=7.、3sin 120P 點到平面 ABC 的距離為1427 327./ OP 丄平面 ABC , OD 丄 BC,. PD 丄 BC.O 點到直線 BC 的距離 OD =(A3)221223（D為BC邊的中點）13.3女口圖所示， 作 CE丄 AD， 連結 EF， 易證 EF丄 AD, 則/ CEF為面 ADF 和面 ACD 所成二面角的平

14、面角設 G 為 CD 的中點，同理/AGB 為面 ACD 和面 BCD 所成二面角的 平面角，由已知/ CEF = /AGB.設底面 CDF 的邊長為 2a,側棱 AD 長為在厶 ACD 中，AG 2ab2a22aCE b=AG 2a,所以 CE=bb在厶 ABC 中，易求得 AB=2 .b23a 2 b2；a2由厶 CEFAGB 得些CF等即. b22a P至U BC的距離PD =22第 13 題圖解2a2a解得 b=4a，因此 b=2 時，2a=3, 最遠的兩頂點間距離為3.314.36 正四面體 ABCD 的底部是正 BCD，假設離 BC 邊最近的球有 n 個，則與底面 BCD 相切的球

15、也有 n 排，各排球的個數(shù)分別為 n、n-1、3、2、1,這樣與底面相切的球共有1+2+n =農1)個由2于正四面體各面都是正三角形因此，正四面體內必有 n 層球，自上而下稱為：第 1 層、第 2層、第 n 層，那么第 n-1 層，第 n-2 層，第 2 層，第 1 層球的個數(shù)分別是：n(n1+2+ +n=21)1+2+于1+2=,1=n(n 1) (n 1)n2 2120,即 *n(n+1)( n+2)=120.即(n-8)(n2 + 11n+90)=,.n=8,因此正四面體內共有8層小球，其底部所放球數(shù)為=36(個).三、解答題15分析 在四面體 ABCD 的基礎上，補上一個三棱錐B-MC

16、D.解如圖，連結 MC、MD，貝 U/ AM 丄平面 MDC , BM 丄平面 MDC1VA-BCD=VA-MDC-VB-MDC= SMDC (AM-BM )1=SMDC AB3設 M 到 CD 的距離為 x,則SMDC=丄CD x=1ex,2 2-VA-BCD=1x ex-b=1bex326/x MN=a,.當 x=a 時，即 MN 為 11與 12的公垂線時，VA-BCD最大，它的最大值為 丄 abe.6點評 x MN,包含 x=MN,也包含 x-MD1 AE =AD1 AE -1AE2=、2cos 45 -1X( .2)2=0, MD1丄 AE .2 2所以 MD1垂直于平面 ABCE

17、內兩條相交直線, MD1丄平面 ABCE.zi22 2x y又EF=(-a,a,0),BE= (0,-a,a)，即有ax ay 0,ay az 0,1,得其中的一個解是3T,.33;二 COS=ODiAE|ODi| AE|16.22所以 OD1與 AE 所成角為arccos3設 AE 的中點為 M，則MD1=AD1- - AE .2則由PM=,FQ=勺號,a,2X12y12z11,得旦旨2a2X1az12a2y10,0.而MF=(0,a,0),17.解(1)OD1AD1(2)OD1AE求得其中的一個 e= 一333.3,33設所求距離為 m,則 m=|MF33根據(jù)已知，可得四邊形 ABCE 為

18、平行四邊形，所以 O 為 BE 中點.AO AD1!(AB AE) AD12丄AB丄AE.2(AD1丄忑丄AE) AE 12 2cos4522 2cos45十2)21 (OD1)2=(AD1 -213AB-AB=1X2Xcos60-丄X.2X2cos45=0,23122而 DiM 平面 ADiE，所以平面 ADiE 丄平面 ABCE.18.(1)解法一 連結 BCi、CO,vBiO 丄平面ABC, CO 丄 ABBiC 丄 AB,又在菱形 BBiCiC 中，BiC 丄 BCi,二 BiC 丄平面 ABCi,. BiC 丄 CiA.(2)作 CiQ 丄平面 ABC 于 Q 點，連接 AQ,/Ci

19、CQ 是側棱與底面所成的角，即/CiCQ=60 ,在厶 CiCQ 中，CQ= CCi=AO, CiQ=CCi,22由 BC, BiCi, OQ 平行且相等，又TCO 丄 AB,.QA 丄 AB,. CiA 丄 AB,/ QACi是二面角 Ci-AB-C 的平面角，在厶 AQCi中，CiQ=AQ， / QACi=45解法二 (i)以 O 為原點，OC 所在直線為 x 軸，AB 所在直線為 y 軸，建立空間直角坐標系，如圖,TBiO 丄平面 ABC,/ BiBO 是側棱與底面所成角，/BiBO=60 .設棱長為 2a,則 OBi=3a,BO=a，又 CO 為正三角形的中線， CO=、3a.則 A(

20、0,a,0),B(0,-a,0),C( .3a,O,O),Bi(o,o, .3a),Ci(3a,a,、3a).BiC=(.3a,0,-、3a),CiA=(-、3a,0,- .3a). BiCCiA=-3a2+0+3a2=0,. BiC 丄 CiA.在 CiAB 中，|CiA|=6a,|BCi|=| (.3a,2a,.3a) |= .i0a,| AB|=2a,- SCiAB=6a2,作 CiQ 丄平面 ABC 于 Q 點，貝 U Q( .3 a,a,0).-SABQ=a2,設二面角 Ci-AB-C 的平面角為B,SABQ2貝 0 cos0=-.SCiAB2二面角 Ci-AB-C 的平面角為 45 .i9.( i)解法一由條件知厶 ABC 為直角三角形，/