淺談?dòng)?ldquo;向量法”解決解析幾何、立體幾何、三角、平面

1、淺談?dòng)谩跋蛄糠ā苯鉀Q解析幾何、立體幾何、三角、平面幾何問(wèn)題北京市延慶縣教科研屮心吳喜儒苑東合一、向量的地位、作用分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基木的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、兒何與三角函數(shù)的一種 工具，有著豐富的實(shí)際背景。在高中階段，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量 及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表示和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力 和解決實(shí)際imj題的能力。彖數(shù)一樣，向量是可以“算”的，從數(shù)的運(yùn)算，到向量運(yùn)算，是認(rèn)識(shí)運(yùn)算的又一次跳 躍。向量的加法、減法運(yùn)算的特征是兩個(gè)向量通過(guò)加法、減法運(yùn)算得到笫三個(gè)向量，也滿足 結(jié)合律，有零元，示十= 所以向量的加法、減法運(yùn)算是屬于型的

2、代數(shù) 運(yùn)算；向量的數(shù)乘運(yùn)算的特征是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量通過(guò)數(shù)乘運(yùn)算得到一個(gè)向量，它滿足一系 列運(yùn)算規(guī)則，例如，結(jié)合律：農(nóng)，分配率：倉(cāng)等。所以, 數(shù)與向量的數(shù)乘也是一種運(yùn)算，是屬于型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)量積的特征是 兩個(gè)向最通過(guò)數(shù)量及運(yùn)算得到一個(gè)數(shù)，同樣，它也滿足一系列的運(yùn)算規(guī)則，例如，分配率: 認(rèn)（&+勸=譏42力,等，所以向雖的數(shù)量積也是-種運(yùn)算，是屬于型的 代數(shù)運(yùn)算。向量的運(yùn)算不同于數(shù)的運(yùn)算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運(yùn)算。與數(shù)的運(yùn)算相比, 向量的運(yùn)算擴(kuò)充了運(yùn)算對(duì)象。向最運(yùn)算更加清晰地展示了三種類型的代數(shù)運(yùn)算的特征以及代 數(shù)運(yùn)算的功能,同時(shí)，向量運(yùn)算具有與代數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算規(guī)律,這對(duì)于

3、學(xué)生進(jìn)一步理 解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。因此，從數(shù)的運(yùn)算到向量運(yùn)算，是學(xué) 生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)更上一層樓。向量既是代數(shù)的對(duì)象，乂是兒何的對(duì)象，它是溝通代數(shù)與兒何的橋梁。標(biāo)準(zhǔn)將向 量與三角函數(shù)設(shè)計(jì)在一個(gè)模塊中，主要是為了通過(guò)向量溝通代數(shù)、兒何與三角函數(shù)的聯(lián)系， 體現(xiàn)向量在處理三角函數(shù)問(wèn)題中的工具作用。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出 兩角差的余弦公式的過(guò)程，并由此公式作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切 公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式以及積化和羌、和差化積、半角公式等。這個(gè)過(guò)程 有助于學(xué)住體會(huì)向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系以及

4、三角恒等變換公式z間的內(nèi)在聯(lián) 系。二、用“向量法”解決解析幾何問(wèn)題舉例例1用“向量法”判斷兩條直線的位宜關(guān)系1" i 線4 咼況十 by +"c = 04 bf * q）f線a: |jr 十 by "tc = 0 （ilj "b * q）直線人的方向向量為sq,法向量為尺二s耳）；直線4的方向向量為d （-a）,法向量為涇=4碼）；7i與7>的夾角為二則有:云用 廉矗u>n$2 -丄2耳h 0 u>£與珀相交；sttbmxs<=>-人b、= qo 召或a與 j 重合;a丄&伺>«8丄用q*

5、4耳=0專召丄右.8ss=|8f <a9b >=河引i4a4熱昂|1-1*1何耳x"毎例2用“向量法”推導(dǎo)解析兒何屮的基本公式1兩點(diǎn)的距離公式:已知兩點(diǎn)成嶼m鳳召宀），求3s血解：冃（乞-和”-片）|= j包-可力+5-片尸2. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)心風(fēng)耳必），w）是線段m的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).w 、ac = -jw解：因?yàn)閏0）是線段m的中點(diǎn)，所以2石=倉(cāng)（巧十巧）刃=£s -fi）卜十乃）2解得:123. 點(diǎn)到直線的距離公式：已知點(diǎn)0?。┖椭本€*：缶十妙十宀0（才十爐叭求點(diǎn)f到直線/的距離.解：通過(guò)點(diǎn)比嶼刃）作直線曲，并r與直線'垂直，設(shè)垂足為尺忌亠

6、）.則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化 為求匸和品兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.如圖，直線/的一個(gè)法向最為"«人町，設(shè)點(diǎn)以“5為直線？上的任意一點(diǎn)，則有+£>*+0 = 0(1)方向上的射影為向量材設(shè)點(diǎn)f到直線？的距離為彳1,則"御設(shè)向量3與向量壬的夾角為耳,“卒冃囲金傘勿弓函111響x 則21而a 0p=(aj)-(«i-o!-/j = a+flki-(+4/) = i+flri+c卄|払嚴(yán)卡i所以， 抵+滬4. 求線段的中垂線所在直線的方程已知兩點(diǎn)武刃人（可宀），求線段ab的屮垂線所在肓線/的方程.c（甌叼 a+21）一解：線段上的中點(diǎn)處標(biāo)為22,向量"3

7、 g噸兀卄），則與向量而垂直的一個(gè)向量* =,即/的一個(gè)方向向量為兒可-可,設(shè)/上任意一點(diǎn)為*口力,則cp（譽(yù)曠今由褊"cp得:&-筈1hr-駕令3-乃）=0(xj-xx + ca-br-=0整理得:運(yùn)用“向量法”解決解析兒何問(wèn)題，過(guò)程簡(jiǎn)捷，思路清晰，避免了 “解析法”小因?yàn)橹?線斜率是否存在產(chǎn)牛的分類討論.三、用“向量法”解決三角問(wèn)題舉例1用“向量法”推導(dǎo)兩角差的余弦公式已知角餛 fi 證明：co«(<k-/9 = cmacm/94-shdfai fl證明：以處標(biāo)原點(diǎn)為中心作單位圓，以°為始邊作角以 戸，它們的終邊分別與單位p(co«a)

8、,e(cos a « a.op 冃豆1=1因此存在上乙使得a-fi=<op.oq >十2&或- <op,oe>+2far成立.內(nèi)為 opoq = (ga,ih= c<»acos4-3n an 0op oqopioq m<op oq>所以 cos(<z-/j) = ceiacc«/f 4-sbkzlh 02. 用“向量法”推導(dǎo)止弦定理_ b _ c已知在中，角z.c的對(duì)邊分別是“少.求證：心上«c 證明：(1)當(dāng)為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)角=90*,»a=tshs = -.shc = -則有：a

9、a ,即_ a _ a _ c «_ 4_ c五才"_金£衛(wèi)_金(7由直角三介形探索用“向雖法”證明正弦定理，如圖，設(shè)與m平行f同向的單位向量疋的夾角為為丿，則了丄曲，與陀= m ,為了與三角形中的量建立聯(lián)系在等式的兩邊同乘以丿得:381 f = ,整理得<»（2）當(dāng)aaa7為銳角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn)三作單位向量丿垂直于ac則與砌的夾角為90*-4,與cb的夾角為90*-c:ac4ca8與（1）比較，為了與三角形中的量建立聯(lián)系在等式的兩邊同乘以得到 jc+cb) = j-ab二|了 | 上61 cm90* 亠 |了 | 咖| c«490*-c)

10、斗 了 | 腫13(剜-血a _ ci _ c« a m(7 ,同理可得th母m csin ash b sh(7(3)當(dāng)amc為鈍角三角形時(shí)，與邊)類似可證.所以在任意三角形中，角的對(duì)邊分別是。上2a b _ c都有五shc成立.3. 用“向量法”推導(dǎo)余弦定理己知在屮，角a.b.c的對(duì)邊分別是b=o 力 4滬 2o6證明：如圖,ac = abk t為了得到滬等式兩邊同乘以疋,= ab22abkbc2二麗十2| 麗1 而|8<(180*-0)十0=ca 2oac0ib同理可證：4,1 =*j +<：j -2hccosa ; ca = + a3 2o6cosg四、用“向量法”

11、解決立體幾何問(wèn)題舉例空間向量與平面向量沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，都是表示具有大小和方向的量，它的運(yùn)算：加法、 減法、數(shù)乘、數(shù)量積也完全相同.因此，利用空間向量解決立體兒何問(wèn)題，也是先利用向量 表示空間的點(diǎn)、直線、平面等元素，建立立體幾何與空間向量的聯(lián)系；進(jìn)行空間向量的運(yùn)算; 作出結(jié)果的幾何解釋，繼而得出幾何結(jié)論.1用“向量法”判斷豈線與平而的關(guān)系如圖，設(shè)直線'的方向向量是s,平面二的法向量*貝ij：或zcz<z<=>tt±v«>u- v = oq= 0lca=a =:與壬不垂直«»-v *0«* 0/丄aofilf i? q

12、if工矽0 （碼毎9）=上（引禺 g）2. 用“向量法”求平面的斜線與平面所成的角的大小已知直線！是平面：的一條斜線，廠是直線/在二內(nèi)的射影，貝i”與廠所夾的角即為斜線？與平面二所成的角，設(shè)為f.如圖，設(shè)總線？的方向向量是“如平而二的法向量帀=為銳角時(shí),當(dāng)s為鈍角時(shí),總之,'|«|q 愿肩百'x&f茗禹若向均為單位向量,則金日=jg +aa十¥= i3. 用“向量法”求二面角的大小利用空間向量法求二面角的大小，可以冇兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到 一個(gè)與棱垂肓的向最，則這兩個(gè)向量的夾角（或其補(bǔ)角）的人小就是二面角的平面和的人小; 二是通過(guò)平

13、面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為嗎勺，則二面角的大小等 于n （或煮一5觀）4. 用“向量法”求點(diǎn)到平面的距離在空間氏角坐標(biāo)系°一*中，已知平面：外一點(diǎn)與，平面：的法向最 移=，求點(diǎn)f到平而二的距離.解：如圖，設(shè)點(diǎn)耳）為平面二內(nèi)的己知一點(diǎn)，則向量尺卩在向量廠方向的射 彫的長(zhǎng)度就是點(diǎn)f到平面二的距離，記）嚴(yán)苗.所以,將蚌p =（叫-7和卩=他4巧）代入上式即可求得點(diǎn)f到平面二的距離.五、用“向量法”解決平面幾何問(wèn)題舉例課標(biāo)要求：體會(huì)平面向量在平面兒何小的作用，初步學(xué)會(huì)用向量的方法解決簡(jiǎn)單的 平而兒何問(wèn)題.例1如圖，在平行四邊形omc屮，cm |= 6jqb|= 4 s o

14、cf= 8求乙他及zcoa解：設(shè)off = ac = s , oa = bc =bvoc = ob+fic=a4-*, = (5+*)-(«+*)f+2fl -*+|*(l a42|a|a |cmzao0-i-ppa 64 = 164-2x4x6xcmzao04-3«y.s=7 zc6m = anxm .同理可求的8例2如圖，在皿d中，點(diǎn)是對(duì)角線加上的兩點(diǎn)，且朋求證:abffcpd證明：設(shè)mm砒基底伍易:., - abi/cp主要是平血向量基本定理這-一向量核心內(nèi)容的應(yīng)用，向量的自山平移給兒何證明帶來(lái) 了優(yōu)勢(shì).用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示 問(wèn)題屮涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向最問(wèn)題；通過(guò)向最運(yùn)算，研究幾何元素 之間的關(guān)系；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成兒何關(guān)系.總z,向量是近代數(shù)學(xué)中垂要和基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念z