數(shù)學(xué)的解題略淺論解答

1、數(shù)學(xué)的解題策略淺論一解題策略的含義及其包含的內(nèi)容。攻克數(shù)學(xué)難題如同打仗，決不能只憑蠻勁強(qiáng)攻硬取，必須是因題而異。策略, 是指一種總體的行為指導(dǎo)方針，而非具體的方法。心理學(xué)上說(shuō)，在認(rèn)識(shí)、解決問(wèn) 題的過(guò)程屮，若非熟知的模式化的問(wèn)題，則需要?jiǎng)?chuàng)造性的思維，應(yīng)具備解題的策 略。數(shù)學(xué)難題的數(shù)據(jù)紛朵，條件頗多，或圖形交錯(cuò)，或背景復(fù)雜，常使人看不清 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。在探求答案時(shí)，對(duì)解題的一種概括性的、綜合性的認(rèn)識(shí)，就是數(shù)學(xué) 習(xí)題的解題策略。對(duì)于解題，波晉爾提出發(fā)現(xiàn)的方法：嘗試和猜想；鄧克爾提倡逐步逼近法； 解析數(shù)學(xué)的鼻祖笛卡兒則主張“分細(xì)”，以簡(jiǎn)單開(kāi)始；世界著名數(shù)學(xué)家波利亞指 出：解題的一個(gè)經(jīng)常用的辦法就是“不斷

2、的變換你的問(wèn)題”。綜上所述，解題策 略通常包括以下內(nèi)容：綜合分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化 以退為進(jìn) 數(shù)形結(jié)合 特殊 到一般 把問(wèn)題看作為一個(gè)整體 正難則反 靜動(dòng)結(jié)合等等。同吋，廣泛地 類(lèi)比聯(lián)想與題目信息有關(guān)的解題方法，從而釆取靈活機(jī)動(dòng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)，增強(qiáng)解題 的清晰度和透明度。二解題策略的形成的條件任何一種解題策略的產(chǎn)生都離不開(kāi)具體的主體己具備的數(shù)學(xué)知識(shí)（即數(shù)學(xué)概 念、法則、公式、定理、定義、公理等）和rti基本題型形成的基木方法。這包括 了數(shù)學(xué)中的雙基：基木知識(shí)和基木技能。前者是數(shù)學(xué)中的精華，止如波利亞提出 的“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本”。后者是通過(guò)歸 納、類(lèi)比、聯(lián)想、探索合情推理等

3、發(fā)散思維能力。一旦主體將所接受的信息和長(zhǎng) 期記憶中提取的信息形成網(wǎng)絡(luò)，整合在一起，這時(shí)，問(wèn)題可朝著有希望的前景不 斷推進(jìn)，從而形成解題策略。例（2001北京西城區(qū)）已知：拋物線y=x2-mx+ m2/2與拋物線y=x2+mx-3m2/4 在平面直角坐標(biāo)系xoy屮，如圖所示。寸 v/試判斷哪條拋物線經(jīng)過(guò)a、b兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由？分析：兩條拋物線有三點(diǎn)區(qū)別與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同與y軸交點(diǎn)的位置不同 頂點(diǎn)的位置不同。進(jìn)一步分析：策略一計(jì)算 1二/-4乂二-代/20, 2= b2-4ac=4 m2>0(m0),顯然思路可行。策略二 令 x二0,由 y=x2-mx+ m2/2, y= m2/2; 由

4、y=x2+mx-3m2/4, y=-3m2/4( mho),可見(jiàn)思路可行。策略三由 y=x2mx+ m2/2 知 頂點(diǎn)為(m/2, m2/4 ),由y=x2+mx-3m74 頂點(diǎn)為(m/2,韋)，思路可行。從思維活動(dòng)的角度來(lái)看，通過(guò)感性直觀判斷，經(jīng)過(guò)系列的分析集合活動(dòng)，把 數(shù)形結(jié)合起來(lái)，在頭腦中形成科學(xué)結(jié)論。主體在結(jié)論出現(xiàn)之前，運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)， 加以推理能力，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行提煉和定向，迅速作出判斷。顯然，在解題過(guò)程中， 策略的形成與注意力、集中性、堅(jiān)持性、靈活性、心理品質(zhì)和個(gè)性思維品質(zhì)等因 索密切相關(guān)。重視雙基是解題策略形成的根本保障。三提高解題策略的方法。1掌握知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。例(初二教材)已知：

5、如圖平行四邊形小，be=df日常中耍重視各章節(jié)之間的脈絡(luò)關(guān)系，通過(guò)對(duì)基本知識(shí)的練習(xí)加以強(qiáng)化。同 時(shí)教學(xué)中應(yīng)把常用的解題技巧和思路，放在知識(shí)結(jié)構(gòu)的最前端，把同類(lèi)問(wèn)題貯存 為知識(shí)塊，使得知識(shí)條理化。ad求證：ae/cf分析:此題涉及的知識(shí)塊有:平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定四邊形、 多邊的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為三角形的知識(shí)來(lái)解決兒何證明的眾多方法中，我們要選擇 最簡(jiǎn)潔的證明途徑。以上知識(shí)網(wǎng)絡(luò)使我們不難想到連結(jié)ac交bd于o的證明方 法，從而化生為熟，達(dá)到解題的口的。2注意解題策略的概括總結(jié)與分類(lèi)。數(shù)學(xué)知識(shí)的各章節(jié)具備系統(tǒng)性，同時(shí)又有同部的特點(diǎn)。就某些類(lèi)型的問(wèn)題而 言，可以模式化、邏輯化。平時(shí)的教學(xué)中多注重

6、解題策略的歸類(lèi)，有目的性集中 整理，形成局部的解題方案，也是提高解題策略的有效途徑。例(1) 一元二次方程x2-x-l=0的兩根為xi、x2,求x12+ x22o(2) 已知關(guān)于x的方程x2+kx-l=0,兩根為xi、x2,且滿足1/xi=2l/x?.求 k的值。(2001年南京)(3) 已知拋物線 y= x2-(2a+l)x+a2+a(a>0)經(jīng)過(guò) a (x】，0), b(x2, 0),其屮xvx2,且滿足xr+ x22=13 (2002年豐臺(tái))(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)略分析：三題的關(guān)鍵在韋達(dá)定理的運(yùn)用和恒等變形x!2+ x22= ( x1+x2)2-2 x1x2, 3提高學(xué)

7、生的數(shù)學(xué)索養(yǎng)。平時(shí)的教學(xué)屮注意讓學(xué)生參與解題過(guò)程，輔以有在發(fā)現(xiàn)小學(xué)習(xí)，設(shè)置發(fā)展區(qū), 形成一種有利于再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)新的問(wèn)題情景和學(xué)習(xí)氛圍，在解題策略探索過(guò)程中, 積極地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良機(jī)，展現(xiàn)思維的全過(guò)程。只是注垂結(jié)果，而忽視過(guò)程的教學(xué) 對(duì)學(xué)生的損失是巨大的。例1 知：a+b/c=b+c/a二a+c/b=k，求 k 的值。分析：此題學(xué)生由等比推算答案為2,但是沒(méi)有考慮到等比的條件，顯然是錯(cuò)謀 的，正確的答案是2或1?？傊?，解題離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想和方法，解題的成功依賴(lài)于合適的方法，最好的 方法來(lái)源于止確的解題策略。為了適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，推進(jìn)素質(zhì)教育，切實(shí) 走岀題海戰(zhàn)術(shù)，有意識(shí)地、有計(jì)劃地向?qū)W生傳授一些解

8、題策略，一定能開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué) 教學(xué)新天地。四數(shù)學(xué)解題常見(jiàn)的解題策略。解題既要有準(zhǔn)確性，又要有速度，常規(guī)的解題策略應(yīng)該掌握。1綜合分解。不少綜合題，形似復(fù)雜，分解后是由一些基本知識(shí)組成的，因此，解綜合題的 策略首要的是將問(wèn)題進(jìn)行分解。例1己知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)a(0, 1),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不等式組廠x(x2+l)>(x+l)( x2-x+1)的最小整數(shù)解，且這個(gè)函數(shù)的最小值為2,l-2x>3(x-9)試求x為何值時(shí)，y隨x的增大而減??？分析：此題可分解為5個(gè)基本題解不等式組求頂點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求解 析式判斷拋物線的開(kāi)口方向確定拋物線的增減性2數(shù)形結(jié)合。根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形確定

9、數(shù)字的大小，這種策略在函數(shù)的問(wèn)題 屮體現(xiàn)得尤其重要，必須掌握。例2在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=4/9x22/9mx+5/9m+4/3與x軸交丁 a、b兩 點(diǎn)，已知點(diǎn)a在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)b在x軸止半軸上，且b0=2a0,點(diǎn)c為拋物 線的頂點(diǎn)(1) 求此拋物線的解析式和經(jīng)過(guò)b、c兩點(diǎn)的直線解析式。(2) 點(diǎn)p在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，hop與x軸、直線bc相切，求p點(diǎn)的坐標(biāo)？ 分析：步驟一：由條件能i田i出犬概的圖形。步驟二：ft b0=2a0,根據(jù)韋達(dá)定理及判別式可求拋物線的解析式。步驟三：由拋物線的性質(zhì)求出b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線解析式。步驟四：根據(jù)以上可準(zhǔn)確畫(huà)出圖形。步驟五：根據(jù)條件畫(huà)出op

10、,不難分析有兩種不同的情況。3止難則反正難則反的解題策略是：當(dāng)正面解題遇到障礙時(shí)，應(yīng)從問(wèn)題的反面去思考或證 明結(jié)論的不成立(高中明確為反證法)，從而達(dá)到問(wèn)題的正而 例3若三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0/+(al)x+ aox2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程 有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的范圍？分析：由于至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的情況較為復(fù)雜，因而可考慮結(jié)論的反面，三個(gè)方 程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故不難確定a的范圍。4巧妙轉(zhuǎn)化。例4如圖，abcd為。o的內(nèi)接梯形ab/cd, h cd為直徑，如果oo的半于3, zacb=15°,求陰影部分的面積(1991年浙江中考)c分析：直接求s陰影難度較大，若利用幾何

11、知識(shí)推ill sacab=saoab,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，就容易解答了。5動(dòng)靜結(jié)合。靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的。用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一 種很重要的策略。例 5 （2002 年宣武中考）已知 rtaabc 中，zc=90°, ab=10, ac： bc=3： 4, d是ab ±的一點(diǎn)，ad=6,過(guò)點(diǎn)d能否作一條直線截原三角形形成小三角 形，并使它與原三角形相似？若能，請(qǐng)求出de的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：ab、ac、bc為定長(zhǎng)（靜），d為動(dòng)點(diǎn)，過(guò)d的直線為動(dòng)線（動(dòng)），滿足的 三角形與原三角形相似（靜）的條件，可推出對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論（動(dòng)）， 進(jìn)而能求l de

12、的長(zhǎng)。解：依據(jù)題意得：ac=6, bc=8, bd=4情況一：如圖 de/ac二bd/ba, ade=12/5情況二：如圖 de/bc=ad/ab,de=24/5情況三：如圖 de/ac=bd/bc, de=3綜上所述：de=12/5或24/5或3。6以退為進(jìn)。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題較為抽象，而它的特殊性易于解答，凡往往能提供一般的思路。 因而需要退一步改換條件，再顯示岀一般的情形。例6已知如圖。o小，ab與cd是兩條互相垂直的直徑,e為dc弧上的一動(dòng)點(diǎn),ae交cd于p, ed交ab于q求證：四邊形apqd的面積為一定值。分析：由常識(shí)可知四邊形apqd的面積s=1/2aq*pd e為動(dòng)點(diǎn)，故aq、pd的長(zhǎng)度是變化的。 考慮特殊情況即e點(diǎn)與c點(diǎn)重合時(shí)，四邊形apqd轉(zhuǎn)化成為了 aacd 了, 顯然，面積為1,由此，可猜想四邊