新課程背景下學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量模式的探

1、新課程背景下八年級(jí)平面向量教學(xué)模式的探究1松江區(qū)華陽(yáng)橋?qū)W校殷喜萍摘要：為初中學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)物理提供必需的準(zhǔn)備知識(shí)，初中新教材八年級(jí) 數(shù)學(xué)第二十二章引入了平而向量及其加減運(yùn)算，把平而向量初步知識(shí)和四邊形整合在一起。 因?yàn)橐郧袄辖滩膹奈瓷婕埃蠋熢诮虝r(shí)也是邊探究邊教學(xué)，而探究平面向量的有效教學(xué)模式, 避免大家走彎路，就成了當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的迫切要求。向量是一種很好用的刻畫兒何圖形 中最基本的要素點(diǎn)的位置，溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具，同時(shí)向量的代數(shù)運(yùn)算是 處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題及其他領(lǐng)域內(nèi)問(wèn)題的一個(gè)有力工具。關(guān)鍵詞：新課程平面向量教學(xué)模式中小學(xué)數(shù)學(xué)教育在基礎(chǔ)教育中占有重要的地位。通過(guò)教

2、師合理安 排教學(xué)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和思想方法，學(xué)會(huì)有 條理地思考和簡(jiǎn)明清晰地表達(dá)思考過(guò)程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法分析 問(wèn)題和解決問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、推理能力、創(chuàng)造能力具 有特殊作用，對(duì)培育學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的積極態(tài)度和思想方法、求真求實(shí) 和鍥而不舍的精神具有深遠(yuǎn)影響。數(shù)學(xué)教育在發(fā)展和完善人的教育活 動(dòng)中，在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中，發(fā)揮著獨(dú) 特的、不可替代的作用。如向量代數(shù)內(nèi)容，一方面保持它在中學(xué)數(shù)學(xué) 課程中己有的地位，另一方面加強(qiáng)向量學(xué)習(xí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)以及物理 學(xué)習(xí)的聯(lián)系和配合。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、 垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加

3、（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn) 算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。為此，在八年級(jí) 學(xué)習(xí)平行四邊形的基礎(chǔ)上引進(jìn)向量的有關(guān)概念以及向量的加減法，在 九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形的基礎(chǔ)上引進(jìn)實(shí)數(shù)與向量相乘，在高一年級(jí)學(xué) 習(xí)三角比的基礎(chǔ)上引進(jìn)向量的數(shù)量積，逐步建立向量代數(shù)的知識(shí)結(jié) 構(gòu)；同時(shí)讓矩陣與行列式適度進(jìn)入中學(xué)代數(shù)，并在幾何研究以及其他 方面更多地發(fā)揮向量的工具作用。再進(jìn)一步提出，利用向量工具研究 平面直線方程和有關(guān)的位置關(guān)系；在空間向量應(yīng)用的背景下精簡(jiǎn)傳統(tǒng) 的立體幾何內(nèi)容。關(guān)于立體幾何的設(shè)計(jì)，在中學(xué)階段形成從直觀認(rèn)識(shí) 空間圖形入門、建立空間幾何必要的理論基礎(chǔ)、然后用向量方法研究 空間圖形的學(xué)習(xí)

4、序列。一、新課改下向量進(jìn)入初中數(shù)學(xué)課程的背景向量進(jìn)入初屮數(shù)學(xué)絕不是偶然的。向量是一個(gè)承載著幾何和代數(shù) 雙重身份的概念，同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè) 完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)。在這里也可以把向量 的引入理解為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接的組成部分之一。通過(guò)向量 的運(yùn)用對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與兒何的聯(lián) 系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ).在學(xué)生對(duì) 實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算都已很好掌握的前提下，對(duì)“數(shù)、量與運(yùn)算”的擴(kuò)大將 是非常有必要的，而從“數(shù)、量和運(yùn)算"發(fā)展的角度理解“向量”，把 向量的加法（減法）、數(shù)乘以向量和向量的數(shù)量積看作新

5、的運(yùn)算，使 學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)、量和運(yùn)算的形式在不斷的發(fā)展，為今后高中的繼續(xù)學(xué) 習(xí)、引入矩陣及其運(yùn)算做了鋪墊。而從數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系上來(lái)看， 在初中階段力學(xué)中向量的體現(xiàn)是再明顯不過(guò)的了。由此可以看出，數(shù) 學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在初中階段就應(yīng)該得到重視和發(fā)展，八、九年級(jí)的 學(xué)生處在生理和智力發(fā)育的轉(zhuǎn)折期，一個(gè)良好的物理或現(xiàn)實(shí)背景是學(xué) 生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的重要的因素。更能使學(xué)生盡早地認(rèn)識(shí) 到數(shù)學(xué)與物理世界的緊密關(guān)系，這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣， 同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)偉大的社會(huì)性。另一方面，從學(xué)生已有的初 步的平面幾何的基礎(chǔ)和教師良好的立體幾何的教學(xué)背景，把傳統(tǒng)的綜 合兒何轉(zhuǎn)移到向量代數(shù)處理的方法

6、上來(lái)，并可以使z遷移到學(xué)生的學(xué) 習(xí)過(guò)程中去。由以上客觀的分析可以看出：向量進(jìn)入初中數(shù)學(xué)課程是 一個(gè)不可逆轉(zhuǎn)的趨勢(shì)。在初中階段引入向量這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只是向量系 統(tǒng)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，主要目的是為學(xué)生在高中階段進(jìn)一步展開有關(guān)它的系 統(tǒng)學(xué)習(xí)、學(xué)好打好基礎(chǔ)、增強(qiáng)信心。二、初中階段對(duì)于向量知識(shí)引入的深度和基本要求初中階段向量有關(guān)知識(shí)主要是平面向量的概念及其加減運(yùn)算及 九年級(jí)向量與數(shù)量的乘積等內(nèi)容，其中以平面向量的概念及其加減運(yùn) 算為基礎(chǔ)。而這些是以平行線、平行四邊形和平移等知識(shí)為基礎(chǔ)，以 直觀認(rèn)識(shí)、操作體驗(yàn)、能算會(huì)畫為耍求，注重“基本”，強(qiáng)調(diào)“初步”。 課木中從一個(gè)生活實(shí)例引發(fā)思考，依托生活經(jīng)驗(yàn)（人在運(yùn)動(dòng)中的位置

7、 的移動(dòng)），引入“有向線段”、“向量”、“向量的加法”等概念，通過(guò)“兩點(diǎn)的相對(duì)位置”、“平移”等進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋；對(duì)于向量加法運(yùn)算律 以及減法的研討，利用了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)以及平行四邊形的 有關(guān)知識(shí)，口然展開、簡(jiǎn)明說(shuō)理、歸納結(jié)論，力求符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā) 展水平和具有適度的嚴(yán)謹(jǐn)性。三、目前教學(xué)的現(xiàn)狀分析因?yàn)樵诶辖滩腻嘘P(guān)向量的認(rèn)識(shí)是在引入了虛數(shù)以后，習(xí)慣于在 高中才教的老師在看到新教材中引入了向量，在思想上不可避免地出 現(xiàn)了一些在這個(gè)問(wèn)題上的認(rèn)識(shí)誤區(qū)。其一是初中教師從來(lái)沒(méi)有教過(guò)， 自然會(huì)多多少少覺得不順，在教師的這種認(rèn)識(shí)的前提下（有情緒）， 就必然從一定程度上影響老師對(duì)學(xué)生學(xué)好向量積極性的引領(lǐng)作

8、用。其 二在學(xué)生從未學(xué)過(guò)，這方面既茫然又恐懼。因?yàn)榻衲晔切陆滩娜驿?開的第一年，和我一起從事八年級(jí)教學(xué)的兒個(gè)老師覺得向量的出現(xiàn)雖 然恰到好處，但教學(xué)的難易程度比較難把握。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系和 課標(biāo)的反復(fù)研讀和親身的教學(xué)實(shí)踐，我發(fā)現(xiàn)教師對(duì)向量的認(rèn)識(shí)誤區(qū)主 要表現(xiàn)在如下的方面：向量的引入有助于平面兒何與立體兒何某些問(wèn) 題的解決，同時(shí)也為其他一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供了更多的選 擇。但問(wèn)題的關(guān)鍵是初中數(shù)學(xué)教師不能準(zhǔn)確的把握教學(xué)的尺度，我們 應(yīng)全面地把握向量的發(fā)展與其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。中學(xué)，特別是初中 教師對(duì)這些方而可以不要求學(xué)生做，然而卻不能不說(shuō)給學(xué)生聽，讓他 們知道向量的重要性。但是，總的來(lái)說(shuō)，

9、初中對(duì)于向量的教學(xué)，只是 學(xué)生學(xué)習(xí)向量的起步，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)降低難度，嚴(yán)格把握基本要求，不可 拔高。當(dāng)然這首先要求教師對(duì)此問(wèn)題的深入理解和掌握教學(xué)的尺度。 只有這樣，教師的視野開闊了，才不會(huì)使得向量的“教與學(xué)”成為又一 個(gè)新的知識(shí)難點(diǎn)和負(fù)擔(dān)。四平面向量可行性的教學(xué)模式在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”，“知其所以然”，還需努力使 新增內(nèi)容易教易學(xué)。因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維、發(fā)展人的思維的 重要學(xué)科。因此，基于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)：新舊知識(shí)重疊，更新，應(yīng) 著重采用啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)方法。即：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解向量的基本概 念和基本的表示方法都能掌握的前提下，通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的位置變 化，和運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，即位移來(lái)刻

10、畫，同時(shí)可以用來(lái)解釋和向量。向 量的減法的定義是要結(jié)合圖形，并通過(guò)相反向量來(lái)解釋向量減法和向 量加法的內(nèi)在聯(lián)系，并通過(guò)對(duì)向量加法的三角形法則的理解來(lái)認(rèn)識(shí)向 量減法的三角形法則。在此基礎(chǔ)上將向量的加減法和平行四邊形法則 完美的聯(lián)系起來(lái)，從而和本章的知識(shí)四邊形相呼應(yīng)，體現(xiàn)了知識(shí) 的完整性。1、建立知識(shí)體系，創(chuàng)設(shè)“有氧”環(huán)境，讓新知識(shí)在學(xué)生腦中植根。在引入概念吋定要深入淺出，多舉他們?；钪械睦?。如：蘋 果為什么不往上落？思考因?yàn)樘O果受到垂直向下的地球的引力的作 用；或是同學(xué)甲托同學(xué)乙將一本書傳給同學(xué)丙，這一過(guò)程和同學(xué)甲直 接把書給同學(xué)丙的結(jié)果是一樣的等等的例了，也可以讓學(xué)生自己舉相 似的生活中的例

11、子，師生共同辨明向量的概念。在平面向量第一 課時(shí)之后，可安排在數(shù)學(xué)活動(dòng)課或課后閱讀內(nèi)容向量及向量符號(hào)的 由來(lái)，不但可以使學(xué)生了解向量產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展、演變的過(guò) 程，而且可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)向量與數(shù)學(xué)其它分支以及其它學(xué)科之間的聯(lián) 系，更重要的是可以訃學(xué)生通過(guò)閱讀了解向量岀現(xiàn)的淵源，向量符號(hào) 的引進(jìn)和發(fā)展，以鞏固剛學(xué)的向量的符號(hào)表示，從中體會(huì)向量符號(hào)的 優(yōu)越性和在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有的遠(yuǎn)大意義。2、加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生明確研究向量的基本思路和研究方向。位移是物理中的基本量之一，它簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之間的相 對(duì)關(guān)系，是向量的重要的物理模型。課本首先通過(guò)運(yùn)動(dòng)物體的位移變 化來(lái)建立學(xué)習(xí)向量的直觀

12、的認(rèn)知基礎(chǔ)。借助位移等現(xiàn)實(shí)屮的常見現(xiàn) 象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向 的量給出向量的概念。加強(qiáng)了物理背景鋪墊，使向量概念引入更為口 然?？梢远嘧寣W(xué)生舉例，來(lái)說(shuō)明生活現(xiàn)象和現(xiàn)實(shí)中確實(shí)有這樣的量需 要我們?nèi)フJ(rèn)識(shí)。從知識(shí)體系上講，數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的量，自然要看看它的運(yùn)算 及其運(yùn)算律的問(wèn)題。向量運(yùn)算與我們熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，可以 從這個(gè)角度啟發(fā)學(xué)生，促使他們理解在引進(jìn)向量的相關(guān)概念后接著討 論向量的線性運(yùn)算（加、減及數(shù)乘）是很自然的。如，在學(xué)習(xí)向量的 運(yùn)算及運(yùn)算律吋，可以這樣從數(shù)談起：“數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn) 算而使數(shù)成為了數(shù)學(xué)中的'奧特曼'，威力無(wú)

13、窮。與數(shù)的運(yùn)算類比， 向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？ ”，“數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度 看，向量和加的和向量存在嗎?有運(yùn)算法則嗎？”，“數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算 律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算。類似的，向量的加法是否 也有運(yùn)算律呢？ ” “我們知道，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反 數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則？ ”只是要對(duì)向量與數(shù)之間 不同的地方要非常小心，即運(yùn)算中除了考慮大小，還要考慮方向問(wèn)題。 這里，為了便于學(xué)生理解，還要借助與物理中的位移模型來(lái)定義向量 的加法（即物體位置的有效變化始末兩點(diǎn)決定，與路徑無(wú)關(guān)）3、加強(qiáng)向量的相關(guān)運(yùn)算的聯(lián)系，使學(xué)生明確研究向量的基本思路。平面向量的線性運(yùn)算包括：

14、向量加法、向量減法、向量數(shù)乘運(yùn)算, 以及它們之間的混合運(yùn)算。其中，加法運(yùn)算是最基木、最重要的運(yùn)算, 減法運(yùn)算、數(shù)乘向量運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，減法運(yùn)算、數(shù)乘向量 運(yùn)算都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算。其重點(diǎn)為向量加法的運(yùn)算（三角形法則、 平行四邊形法則）、其難點(diǎn)是對(duì)向量加法法則和減法的定義的理解， 特別是向量減法定義的理解。因?yàn)樵谙蛄看鷶?shù)中，常有兩種定義方法, 第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算；即如果2是乙與另 一個(gè)向量匚相加所得的和向量，即h + x = a;第二種方法是在相反向量 的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量的加法定義向量的減法，即減去一個(gè)向量，等于 加上這個(gè)向量的相反向量,即a-b=a + （-b）

15、o->b-> bb由作圖得出：圖2: b-bc = a;即：a-h = bc;圖 3: q + (-5) = ac;即：a-b = ac我的教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生理解第一種定義方法存在困難，但能容 易地作出方-兀 接受第二種定義方法容易，但作方-庁較繁。為便于學(xué) 生接受，在理解和接受的前提下，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生化難為易，消除學(xué) 習(xí)疑慮，幫助他們清晰知識(shí)脈絡(luò)，高效掌握知識(shí)點(diǎn)。4、“教學(xué)相長(zhǎng)”和學(xué)生一起清晰知識(shí)脈絡(luò)，高效掌握知識(shí)點(diǎn)。向量的加法的平行四邊形法則是由三角形法則演變而來(lái)，三角形 法則可用于兩個(gè)首尾相連的向量的加法。當(dāng)然減法也同樣適用。平行 四邊形法則可用于兩個(gè)起點(diǎn)相同的向量的加法，減

16、法，也可以很好的 利用本章平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行向量的平移，分析平行四邊形 中各個(gè)向量之間的關(guān)系，平行四邊形法則為后期學(xué)習(xí)向量的分解以及 向量的線性組合奠定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系圖如下：基木概念向量的減法多邊形法則行四邊形法則在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，及時(shí)了解學(xué)生的感想，及時(shí)和他們一起對(duì)相關(guān)知識(shí) 進(jìn)行小結(jié)。如學(xué)習(xí)了兩種運(yùn)算，實(shí)則一種，即向量的加法。降低學(xué)生 心理負(fù)擔(dān)。乂例如：學(xué)習(xí)了向量的加法以后，兒個(gè)向量的和都是首尾 相接。在這里和向量的起點(diǎn)為第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為第二個(gè)向量 的終點(diǎn)，可歸納為：“兩個(gè)”首尾相接，即“第一個(gè)首尾相接”為第c向量df和向量ec與向量be方向相同,且大小相等。一個(gè)向量

17、的尾和第二個(gè)向量的首接，“第二個(gè)首尾相接”為第一個(gè)的 首和第二個(gè)的尾接。向量減法的三角形法則口訣：做平移，共起點(diǎn), 兩尾連，指被減。5、精講精練，凝練知識(shí)。例1：已知d、e、f分別是zabc邊ab、bc、ca的中點(diǎn)。(1) 寫出與亦相等的向量；(2) 寫出莎的相反向量;(3) 寫岀與5?平行的向量；(4) 試用西、鬲表示而。解(1)三角形的中位線平行且等于笫三邊的一半df = ec = be(2) 向量ad,向量db和向量fe與向量ef的長(zhǎng)度相等，方向 相反。二喬的相反的向量為巫、亦和丘。(3) vdf/bc與5f平行的向量有亦、bc. ec.而、ce. cb o(4) 由已知得，四邊形dec

18、f和四邊形defa都是平行四邊形, 即：df = ec = be, ed = fa, bd = beed = ec-fao說(shuō)明：1、寫相反向量吋要注意它木身所在線段表示，如ef=-fe；2、用兩個(gè)向量表示一個(gè)向量，一般通過(guò)平移，從三角形法則和平行四邊形法則出發(fā)來(lái)考慮。6、返樸歸真，內(nèi)化外用。學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，應(yīng)用的過(guò)程中可以加深理解相關(guān)知識(shí)，因 此對(duì)向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用的教學(xué)很有必要，但是要避免糾纏，力求淺顯易 懂。例2：在一段寬闊的河道中，河水以40米/分的速度向東流去，一艘小艇順流航行到a處，然后沿著北偏東10度的方向以12千米/小 時(shí)的速度駛向北岸，請(qǐng)用作圖的方法指出小艇實(shí)際航行的方向.分析：(1)確定方向：小艇實(shí)際航行的方向，應(yīng)該是和向量的方 向(2)統(tǒng)一單位：題冃中單位不一，所以要求化為統(tǒng)一單位。即： 12千米/時(shí)=200米/分，若取40米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，則200米=5個(gè)單