第三章 穩(wěn)定性分析

1、第三章 控制系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性主要內(nèi)容：1、 李亞普諾夫穩(wěn)定性概念2、 穩(wěn)定性定理3、 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4、 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析難點(diǎn)：李亞普諾夫函數(shù)的構(gòu)造§3.l 李亞普諾夫第二法的概述3.1.1物理基礎(chǔ) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后，系統(tǒng)偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性，用數(shù)學(xué)方法表示就是 式中為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的大??；為任意小的規(guī)定量。 物理事實(shí)：如果一個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即，那么隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量將隨著時(shí)間增長(zhǎng)而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值?；舅枷耄豪顏喥罩Z夫引入了“廣義能量”函數(shù)，稱之為李亞普諾夫函數(shù)，

2、表示為 V(x,t)，它是狀態(tài)和時(shí)間t的函數(shù)。對(duì)定常系統(tǒng)，“廣義能量”函數(shù)則為V(X)。如果考察的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當(dāng)存在對(duì)任意（平衡點(diǎn)）時(shí)，成立，且對(duì)時(shí)，才有。關(guān)鍵:能否找到一個(gè)合適的李亞普諾夫函數(shù)。 數(shù)學(xué)基礎(chǔ):二次型及其定號(hào)性。3.1.2二次型及其定號(hào)性 1二次型 n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式為 稱為二次型。式中，是二次型的系數(shù)。 設(shè)，既對(duì)稱且均為實(shí)數(shù)。 用矩陣表示二次型較為方便，即 必須指出，二次型是一個(gè)標(biāo)量，最基本的特性就是它的定號(hào)性，也就是V(X)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的特性。 (1)正定性 當(dāng)且僅當(dāng)X=0時(shí)，才有V(X)=0；對(duì)任意非零X，恒有V(X)>0，則V(X)為正定。 (2)負(fù)定

3、性 如果V(X)是負(fù)定的,或僅當(dāng)X=0時(shí)，才有V(X)=0；對(duì)任意非零X，恒有V(X)<0,則V(X)為負(fù)定。 (3)正半定性與負(fù)半定性 如果對(duì)任意，恒有，則V(X)為正半定或稱準(zhǔn)正定。 如果對(duì)任意，恒有，則V(X)為負(fù)半定或稱準(zhǔn)負(fù)定。(4) 不定性 如果無論取多么小的零點(diǎn)的某個(gè)鄰域，V(X)可為正值也可為負(fù)值，則V(X)為不定。 2. 賽爾維斯特準(zhǔn)則 二次型或?qū)ΨQ矩陣P為正定的充要條件是P的主子行列式均為正，即 如果 則P為正定，即V(X)正定。二次型或?qū)ΨQ陣P為負(fù)定的充要條件是P的主子行列式滿足；。§32 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.2.1平衡點(diǎn)的概念系統(tǒng)描述為 式中 X為

4、n維狀態(tài)向量。當(dāng)在任意時(shí)間都能滿足 （3.1）時(shí)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。凡滿足式(31)的一切值均是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，對(duì)于線性定常系統(tǒng) A為非奇異時(shí)，X=0是其唯一的平衡狀態(tài)；對(duì)于非線性系統(tǒng)，有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。由式(31)可知，在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，狀態(tài)變量的變化率為0，由古典控制理論知道，該點(diǎn)即為奇點(diǎn)，因此，系統(tǒng)微分方程式的奇點(diǎn)代表的就是系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的平衡點(diǎn)。任何彼此孤立的平衡點(diǎn)，均可以通過坐標(biāo)的變換，將其移到坐標(biāo)原點(diǎn)，這就是經(jīng)常以坐標(biāo)原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)來研究的原因，因此常用的連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)表達(dá)式為 3.2.2李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性下面用二維空間圖31來說明李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性。 1穩(wěn)定與

5、一致穩(wěn)定 設(shè)為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)孤立平衡狀態(tài)。如果對(duì)球域或任意正實(shí)數(shù)，都可找到另一個(gè)正實(shí)數(shù)或球域，當(dāng)初始狀態(tài)X0滿足時(shí)，對(duì)由此出發(fā)的X的運(yùn)動(dòng)軌跡有，則此系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果與初始時(shí)刻t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定。 2漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定 設(shè)為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)，如果它是穩(wěn)定的，且從充分靠近的任一初始狀態(tài)X0出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡有 或，即收斂用于平衡狀態(tài)，則稱平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定。如果與初始時(shí)刻t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定性等價(jià)于工程意義上的穩(wěn)定性。 如果對(duì)狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，不管初始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性。即對(duì)所有點(diǎn)都成立，稱平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定?？?/p>

6、見，這樣的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。由于線性定常系統(tǒng)有唯一解，所以如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 在控制工程中，確定大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的范圍是很重要的，因?yàn)闈u近穩(wěn)定性是個(gè)局部概念，知道漸近穩(wěn)定的范圍，才能明確這一系統(tǒng)的抗干擾程度，從而可設(shè)法抑制干擾，使它滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。 3不穩(wěn)定 如果平衡狀態(tài)既不是漸近穩(wěn)定的，也不是穩(wěn)定的，當(dāng)并無限增大時(shí)，從X0出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡最終超越域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。§33 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理定理31 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件： 是正定的； 是負(fù)定的。則在原點(diǎn)處的平衡狀

7、態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著，有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例31 設(shè)系統(tǒng)方程為 試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 很明顯，原點(diǎn)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，選取一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(X)為 則 將系統(tǒng)方程代入上式得 ( V(X)為正定)又由于時(shí)，因此系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(0,0)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 定理32 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中 。如果存在一標(biāo)量函數(shù)V(X,t)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件： 是正定的； 是負(fù)半定的； 對(duì)任意t0和任意，在時(shí)不恒等于零。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有 時(shí)，則為大范圍漸近穩(wěn)定。式中的表示時(shí)從出發(fā)的解軌跡。 由于不是負(fù)定的，而只是

8、負(fù)半定的，則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè)特定的曲面相切。然而，由于 對(duì)于任意t0和任意在時(shí)不恒等于零，所以典型點(diǎn)就不可能保持在切點(diǎn)處(在切點(diǎn)上)，而必須運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。例32 設(shè)系統(tǒng)方程為 確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 顯然，原點(diǎn)(0,0)為給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)型二次函數(shù)為李氏函數(shù)，即 ( V(X,t)為正定)當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， 因此是負(fù)半定的。 下面我們進(jìn)一步分析的定號(hào)性，即當(dāng) 時(shí),是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求 在時(shí)恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但從狀態(tài)方程來看，在時(shí)，要使和，必需滿足等于零的條件。這表明只可能在原點(diǎn) 處恒等于零，因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又由

9、于 時(shí)，有，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 若在例中選取如下正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即 則是負(fù)定的。而且當(dāng)時(shí)， ，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 由上分析看出，選取不同的李氏函數(shù)，可能使問題分析得出不同的結(jié)果。上面第二種情況下的選擇，消除了進(jìn)一步對(duì)判別的必要性。定理33 設(shè)系統(tǒng)方程為 式中,。如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件： 是正定的； 是負(fù)半定的，但在某一X值恒為零。則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。這時(shí)系統(tǒng)可以保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。例33 系統(tǒng)方程為 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 顯然，

10、原點(diǎn)為平衡狀態(tài)。選取正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即 (K>0) 則 由上式可見，在任意X值上均可保持為零，則系統(tǒng)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。 說明：上述定理均只給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，而沒有給出必要條件，即對(duì)給定的系統(tǒng)，如果可以找到滿足條件的李亞普諾夫函數(shù)V(X)，則系統(tǒng)必定是穩(wěn)定的；但是如果找不到這樣的李亞普諾夫函數(shù)，也并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。定理34 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中， 。如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件： 在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的； 在同樣的領(lǐng)域內(nèi)是正定的。 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例34 設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然

11、坐標(biāo)原點(diǎn)為其平衡狀態(tài)。試判斷系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 可以找一個(gè)函數(shù)V(X)為 顯然,V(X)為一變量函數(shù)，在平面上的第一、三象限內(nèi)，有V(X)>0，是正定的。在此區(qū)域內(nèi)取V(X)的全導(dǎo)數(shù)得 所以當(dāng)V(X)>0時(shí)，因此根據(jù)定理4可知，系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。§34 線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 3.4.1線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 定理35 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中,X是n維狀態(tài)向量，A是常系數(shù)矩陣，且是非奇異的。若給定一個(gè)正定的赫米特矩陣(包括實(shí)對(duì)稱矩陣)Q，存在一個(gè)正定的赫米特矩陣(或?qū)崒?duì)稱矩陣)P，使得滿足如下矩陣方程 則系統(tǒng)在X=0處的平衡

12、狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，而標(biāo)量函數(shù)就是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。對(duì)該定理需要說明如下幾點(diǎn)。 如果沿任意一條軌跡不恒等于零，則Q可取做半正定數(shù)。 該定理闡述的條件，是充分且必要的。 因?yàn)檎▽?duì)稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終的判斷結(jié)果將和Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取Q=I(單位陣)較為方便。這樣線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)X=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，滿足矩陣方程。 將上述定理同從A的特征值分布來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系起來看，它實(shí)際上就是中矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部的充要條件。 可以證明，要求特征值均具有小于某一數(shù)值的負(fù)實(shí)部，即 的充要條件(即考慮衰減程度)是：對(duì)任意給定的正定對(duì)稱陣Q

13、，存在正定對(duì)稱陣P，它為矩陣方程的解。 證明 用上述定理考察系統(tǒng)，若特征值均具有負(fù)實(shí)部(充要條件是對(duì)任意正定對(duì)稱矩陣Q，存在正定對(duì)稱矩陣P，滿足)，對(duì)系統(tǒng)作平移變換，將代替上式中的A，則有 即 例35 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定系統(tǒng)在這一平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。 解 設(shè)系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)為 式中P由下式?jīng)Q定 取Q=I，得 展開得 解上式得 式中，叫作系統(tǒng)方程中矩陣A的跡(代表矩陣A的主對(duì)角線上的各元素之和)。是系統(tǒng)矩陣A的行列式。 顯然，要使矩陣P是正定的，必須使 于是可得 若滿足此不等式，必須有 由，可得，即 故上述系統(tǒng)在

14、原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的充要條件為 因?yàn)橄到y(tǒng)是線性的，所以在原點(diǎn)處若是漸近穩(wěn)定的，也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例36 控制系統(tǒng)方塊圖如圖33所示。要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，試確定增益K的取值范圍。 解 由圖33可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 若輸入r為零，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 或?qū)懗?不難看出，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)(因?yàn)樵谠c(diǎn)處)。選取Q為正半定實(shí)對(duì)稱矩陣，則 由為負(fù)半定的，因?yàn)?時(shí)，但當(dāng)而時(shí)，也有 。但由于只在原點(diǎn)處才恒等于零，這是因?yàn)槿粼O(shè) ，除原點(diǎn)外在某X值情況下也恒為零，則要求恒為零。但要求恒為零，就必須要求也恒為零。由方程可看出，如果，則也必為零。如果X恒為零，其中及已經(jīng)恒為零，則也必恒為零。因此恒為零的情況只有

15、在原點(diǎn)(即)處才成立?？梢娺x擇式(34)所示矩陣作為Q是可行的，益處是可使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。 設(shè)P為實(shí)對(duì)稱矩陣，且有如下形式 由 即 求得 為使矩陣P為正定，其充分且必要條件由賽爾維斯特準(zhǔn)則得到 從而求得 0<K<6故在0<K<6范圍內(nèi)取K值，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 3.4.2線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理36 若系統(tǒng)的矩陣A是t的函數(shù)(即時(shí)變函數(shù))，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣Q(t)，存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱正定矩陣P(t)，使得 而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是 證明 設(shè)李亞普諾夫函數(shù)是則P(t)必是正定且對(duì)稱

16、矩陣，其 式中 (3.5)由定理31可知，當(dāng)P是正定對(duì)稱矩陣時(shí)，若Q也是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，則是負(fù)定的，系統(tǒng)便是漸近穩(wěn)定的。 式(3.5)是里卡德矩陣微分方程的特殊情況，其解為 式中，是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣，是式(35)的初始條件，若取 可得 上式表明，當(dāng)選取正定矩陣Q=I時(shí)，可以通過系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算矩陣P(t)，并根據(jù)P(t)是否具有連續(xù)、對(duì)稱和正定性來分析線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.4.3線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理37 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 當(dāng)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定時(shí)，其充分必要條件是：對(duì)于任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，都存在對(duì)稱正定矩陣P，使得 (3.6)而系統(tǒng)的李亞普諾夫

17、函數(shù)是 特別當(dāng)取Q=I時(shí)，式(36)可寫成 證明 設(shè)李亞普諾夫函數(shù)為 式中,P為正定的赫米特(或?qū)崒?duì)稱)矩陣。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，用 和之差來代替V(X)，即 它類似于連續(xù)系統(tǒng)中V(X)的導(dǎo)數(shù)，因此 式中 。 顯然，要滿足系統(tǒng)在點(diǎn)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件， Q必須是正定對(duì)稱的矩陣。 如果 沿任一解的序列不恒等于零， 也可取為半正定的。例37 設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。 解 根據(jù)穩(wěn)定定理 由已知條件可得 簡(jiǎn)化為 于是可得 根據(jù)賽爾維斯特準(zhǔn)則，要使P為正定，必須滿足的條件，將此條件代入上式，便使所求條件變?yōu)?即只有當(dāng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在

18、平衡點(diǎn)處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例38 設(shè)系統(tǒng)的方塊圖如圖34所示。系統(tǒng)的微分方程式為 顯然系統(tǒng)在未受控以前，響應(yīng)是一個(gè)等幅正弦振蕩。若用V函數(shù)方法確定消除系統(tǒng)等幅振蕩的校正形式，使受控系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，試問u(t) 的變化規(guī)律如何? 解 這時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫成 取李亞普諾夫函數(shù)V(X)為 則 為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)使為負(fù)，即 式中K為一正常數(shù)。上式表明：必須使u(t)的變化與的變化方向相反，才能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。如果這時(shí)有一個(gè)外部信號(hào)r，則取 為輸入信號(hào)，即可保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于，所以這種補(bǔ)償方式實(shí)質(zhì)上是一種速度反饋，這就是古典控制理論中被經(jīng)常采用的速度反饋穩(wěn)定系統(tǒng)。§35 變

19、量梯度法 變量梯度法是建立在下述基礎(chǔ)上，即如果存在著特殊的李亞普諾夫函數(shù)、并能證明給定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則該李亞普諾夫函數(shù)的單值梯度也是存在的。 設(shè)給定系統(tǒng)為 其平衡狀態(tài)在坐標(biāo)的原點(diǎn)，若此系統(tǒng)存在李亞普諾夫函數(shù)V(X)，則其梯度為 表示附近處的陡度，表示沿坐標(biāo)軸i方向的分量。 設(shè)V(X)是X的顯函數(shù)，但不是t的顯函數(shù)，則有 (3.7) 由式(37)可看出，函數(shù)V可作為的線積分求得，即 在符合一定條件下，上述積分可以做到與積分路線無關(guān)，即式(37)在做線積分時(shí)，依次由點(diǎn)，再由點(diǎn)，最后積分到 點(diǎn)。 (3.8) 又由線積分與路徑無關(guān)的條件可知，標(biāo)量函數(shù)的梯度的總旋度等于零，即 式中，表示旋度。因此，由組成的矩陣 必須是對(duì)稱的，要求旋度方程為 (3.9) 這樣的方程共有個(gè)。例如在n=3情況下可得三個(gè)方程為 綜上可以看出，確定滿足李亞普諾夫定理的函數(shù)V的問題，已轉(zhuǎn)化成確定函數(shù)的梯度的問題。矩陣F的對(duì)稱條件，就是的n維旋度等于零的條件，由這個(gè)條件求得后，再由求出V和，最后校驗(yàn)求出的V和是否滿足穩(wěn)定性要求。 應(yīng)用上述梯度法求V函數(shù)時(shí)，通常先假定等于一個(gè)任意的列向量 (3.10) 式中,是未知量，它可以是常數(shù)，也可以是時(shí)間t的函數(shù)或狀態(tài)變量X的函數(shù)，然而將選為常數(shù)或t的函數(shù)是較方便的。 如果非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)X=0是漸近穩(wěn)定的，則可將確定李亞普諾夫函數(shù)的步驟歸納如下： 假定的形式如