李之藻對方程解法問題的研究

1、李之藻對方程解法問題的研究潘亦寧(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，成都，610068)摘要：明清z際西方數(shù)學(xué)開始傳入中國，李z藻編纂同文算指，試圖會通中西數(shù)學(xué)。文章分析了李z 藻對二項二次方程、一般二次方程以及高次方程解法的研究，指出二項二次方程是以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的表述方式 描述西方數(shù)學(xué)的方程解法，一般二次方程以西方筆算演繹傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的方程解法，高次方程解法則直接來 自西方數(shù)學(xué)。從方程解法的分析發(fā)現(xiàn)同文算指是李之藻試圖會通中西數(shù)學(xué)的一部數(shù)學(xué)著作。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；李之藻；方程解法 中圖分類號：0112li zhizao's research on the equation solutionpa

2、n yining(mathematics & software institute, sichuan normal university, chengdu 61(x)68)abstract: in this paper, the author studied li zhizao's research on equation solution and points out thatli zhizao wrote the western quadratic equation solution with chinese way, and wrote chinese quadratic

3、 equation solution with western written calculations the numerical solution for higher degree equation came from the western mathematics book li zhizao studied the western and chinese equation solution and tried to merging them.key words: history of mathematics; li zhizao; equation solution0引言明清之際，西

4、方數(shù)學(xué)傳入中國，這時中國學(xué)者開始致力于中西數(shù)學(xué)的融合，同文算指 正是在這種背景下由李之藻(1565-1630)和利瑪竇(matteo ricci, 1552-1610)合作完成的。一般 認(rèn)為同文算指主要是一部翻譯作品，大部分內(nèi)容來自德國數(shù)學(xué)大師丁先(christoph clavius, 1535-1612)的實用算術(shù)概論(epitome arithmeticcie practicae),同時也參考了一些 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作mi。事實上，同文算指并不僅僅是一部翻譯的作品，其資料來源也不 限于以上兩部著作，而是具有更多的中西數(shù)學(xué)來源。方程解法在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中是一項十分 重要的內(nèi)容，同文算指中也重點介紹

5、的方程解法問題，給出了二次方程三次方程和高次 方程的解法。雖然同文算指的資料來源包括中西各種數(shù)學(xué)著作zi,但李之藻卻柔和中 西，以會通的方式分析說明各種方程解法。1二項二次方程解法同文算指中二項二次和三次方程解法來自丁先生實用算術(shù)概論的拉丁文譯木， 但是李之藻改變了其表述方式，采用了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一些概念，如“方法”、“廉法”、“隅 法”等名詞明。這些概念由劉徽在九章算術(shù)注中首先使用，后來便在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中流傳下 來，直至清代仍在使用。在運算的過程中，同文算指釆用了當(dāng)時西方流行的帆船法(galley method),但是作了一些細(xì)微的改動。帆船法在運算時將消掉的數(shù)字用斜線劃掉，而同文 算指中則用語言描

6、述代替，如“四上一變五”，就是首段21減初商4的平方16余5,所 以將數(shù)字1改寫為5.帆船法是15世紀(jì)時西方筆算中通行的一種書寫方法，為眾多數(shù)學(xué)家所 基金項hh基金項hh高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研妹金資助項h(20105134120001)作者簡介:潘亦寧(1977-),男,副教授，主要研究方向:明清數(shù)學(xué)st. e-mail: panyining77 采用。1494年意大利著名數(shù)學(xué)家luca pcioli(14451517)在他的代表作summa de artlvnetica, geoinetria, proportioni elproportionalita中給出6,直到16世紀(jì)，這種表示方

7、法才逐漸由現(xiàn) 在的表示方法代替。1.1 方程根位數(shù)的確定方法求解方程的第一步通常是確定商的位數(shù)。同文算指屮采用隔位作點法來確定商的位2117840 4數(shù)。例如解二次方程時，從末位起，每隔一位在數(shù)字下點一點作記號，即 ，解 2117840 4三次方程時，則從末位起，每隔兩位在數(shù)字下點一點作記號，即 . gemma frisius(1508-1555), l. schoner(1586), peletier (1549), santa-cruz (1594)和 metius (1625)等人都曾使 用這種記法；不過 grammateus (1518), scheubel (1545), hartw

8、ell (1646), wiklens (1630)以及 greenwood (1729)等人是在數(shù)字上面做點來確定商的位數(shù)，如82 4 46 4 :此外還有其它表示 的方法,如 ortega 以冒號表示,即 13: 01： 76： 64:；而 chuquet (1484), pellos (1492), fine (1530)和trenchant (1566)等人則以豎線表示,如94121180173155 w實上，上述記法的原理 都是相同的，只是表示形式稍有差杲而已。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也有類似的表示方法，梅文鼎在少廣 拾遺中說，“鼎于三十年前見同文算指作點之法，驚嘆其奇，后讀諸書，始知其有所 祖述，

9、非西人創(chuàng)也。梅氏認(rèn)為此法是中國人創(chuàng)造，而非西人，雖未必正確，卻也指出了中 西數(shù)學(xué)的類似z處。九章算術(shù)少廣章“開方術(shù)曰：置積為實。借一算，步之，超一等。” “開立方術(shù)曰：置積為實。借一算，步之，超二等?！贝朔@然與西方隔位作點法原理相同， 差別僅在于中算用籌，而西算用筆而已。1.2 估計次商的方法確定商的位數(shù)后，根據(jù)首段數(shù)字估計初商，然后求下一位商，以此循環(huán)進(jìn)行，直至常數(shù) 為零。在這一步驟中，最重要的是次商的求法。以三次方程為例，其原理即，設(shè)a>0, x丿為 根的第一位得數(shù)，方程a=a經(jīng)過變換x = x/ + x2 ，成為3xi莎+轉(zhuǎn)兀卞x =a x 13x2 =ar”為常數(shù)項，當(dāng)&quo

10、t;很小時，心h如可以忽略不計，則3勸，重復(fù)上述步驟，依次可以得到三商、四商。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在解方程時，沒有求次商的統(tǒng)一方法，通常是用“議得"，即分析試驗的方法 求得。九章算術(shù)“少廣偉中開平方、開立方以及賈憲“增乘開方法”都是用“議得” 的方法試出次商。秦九韶數(shù)書九章屮求次商時曾用“以方約實”的方法求次商岡。“以 方約實”就是以一次項系數(shù)除余實，得數(shù)取整，作為次商。由于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中沒有明確的等式 概念，所以次商的求法也不可能以代數(shù)的方法得到，只能從幾何直觀的方法中歸納出來。如 圖1,初商的立方是a正方體的體積，實減初商的立方后所剩部分稱為“余實"，包括b、 c和d三部分。b由三個長

11、方體組，長方體稱為“方”；c由三個長方柱體組成，柱休稱為 “廉”；d是一個正方體，稱為“隅二若忽略隅和廉的體積，以余實近似等于三倍方的體a-xi3x2 二!積，則次商3x12件由此可見，同文算指中方程解法的次商求法，顯然來自傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。a圖1次商求解幾何圖無整數(shù)根方程解法對于沒有整數(shù)根的方程,令67 < x < 6z +1 ,則原式商同文算指中也給出了具體的解法。設(shè)二次方程x = a , a后，得變式it + 2ax + q =才(即兀+ ax = a - a ).如果a - d2a-(12q+ 一cl _<1以 2a+ 1表示方程的近似解，因為 2a + 1，則方程的第一個近

12、似解a - a2打二 a +”x2 xi + 一 2a+1 ,第二個近似解a -x12個近似解a x22x3 二 x2 +2x2 + 1 - (%2 - a)(1);如果以2a表示方程的解，因為a-a2x<a 2a陽二d +則方程的第一個近似解2a ,第二個近似解a -112x2 = x1 +2x1第三個近似解a -x22x3 = x2 +2x2(2)。事實上，上述的兩種方法分別表示兩個迭代公式，當(dāng)求得方程的 一個整數(shù)解后，根據(jù)不同情況代入(1)或者(2),得出一個近似的值，再將這個值代入公式，然后可以得到一個更近似的值，這樣一直重復(fù)直到得出滿意的近似值為止。例如：x=20 ,4 20

13、85、8,8/ 4 161x2=4+f7t7 尋4 心 t7+l/74x-4+ m9 ,1292?. 7485389i )=19 27377491169.若耍更接近原數(shù)，可依上面公式繼續(xù)進(jìn)行。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，很早就有求沒有整數(shù)根的二次方程的解法。在劉徽以前，有人以2737 ,而a - a2fl + 2a+1表示方程x2 = a的近似解。劉徽認(rèn)為這是十分不準(zhǔn)確的，于是提出了求微數(shù)的 方法。他在開方術(shù)注中說：“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者以為分子， 其一退以十為母，其再退以百為母。退z彌下，其分彌細(xì)，則朱幕雖有所棄z數(shù)，不足言之 也?！彼^求微數(shù)，實際上就是求無理根的十進(jìn)分?jǐn)?shù)近似值。

14、求出根的整數(shù)部分之后，繼續(xù)23前面的程序，以10,10,10, ,10“為分母，一次退位開方，直到不可開部分可以忽略不計。 劉徽此法與同文算指中開平方奇零法有相似之處，但是其本質(zhì)是不同的。開平方奇零法 利用加借算或者不加借算的近似公式，以迭代的方法繼續(xù)求方程的近似解，劉徽則是在方程 的常數(shù)項后面加小數(shù)點然后再加零，而開方的程序卻不變，此法后來被秦九韶進(jìn)一步發(fā)展100 1101。2 一般二次方程解法同文算指和神道大編歷宗算會中-般二次方程解法類型及所采用題目，甚至題 冃的編排順序均完全相同。雖然兩者之間的個別題冃或有差異，但是絕大多數(shù)仍然和同。不 僅如此，此二者所用方法也相同，以“帶從開平方中題

15、目為例：105同文算指神道人編歷宗算會闊幾步?假如有直iti積八百六十四步，闊不及長一十 直fi積八百六十四步，闊不及長一十二步，求二步，求闊幾步?列實定位，以帶從一二隨首位列乙，初商二 紀(jì)格右，亦列首點下，以并帶從一，共三， 乃變壹貳注三，相呼二三除六，三上捌變二, 二二除四，貳上陸變二，完首段，余實二百四二c甲四貳六圖商附置積方法從方隅算開i i i方川川川h 問 _一 _一 _= 一 續(xù)二薪 i圖商隅置積方法從方隅算二十四步，次倍二作四為廉法，挨退位，下 亦列帶從以廉四并從一，其下列五，次商四 紀(jì)格右，亦注末位點下為隅法，以并隅，二 下注六，乃相呼除，先呼五四除二十，進(jìn)抹 二，又呼四六二

16、十四，恰盡，得闊二十四步。置積為實，以不及為從方，開平方除之，約實, 初商置闊二十步，于從方之上亦置二十步名曰 方法，以方數(shù)從數(shù)皆命上商，除實六百四十步 余實，二因方法一退名廉，從法亦一退，隅算 二退，次商置闊四步，以乘隅，于廉后置四步 名隅，以廉從隅三法皆命上商四步，除實盡，得闊二十四步。表1同文算指和神道大編歷宗算會方程解法比較表以現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示上述例題即為：求解方程x(x+12)=864。其具體步驟分4步：1101)確定商的位數(shù)。同文算指用隔位作點確定商的位數(shù)，而歷宗算會以傳統(tǒng)的借算進(jìn)位定商的位數(shù)，這兩者本質(zhì)上是相同的，早在清初時梅文鼎就已經(jīng)認(rèn)識 到了這一點。2) 確定初商x，= 2&

17、#176;3)求余實。20 x(20+12) = 640 ,則余實 r = 864 - 640 = 224。1154）求次商。令 x = x +x2 ,則代入原方程，得（%）+x2 ）（xi +%2） +12 = 864 ,（20+ 上）（20 +兀2 ）+12= 864化簡為x2 （2 x 20 +12 + 上）=224取次商x2 = 4，代入上式，兩邊相等，所以方程的解兀=20+ 4 = 24 o顯然，上述兩題目的不同僅在于筆算與籌篦表示方法上的羞異，所以可以肯定，雖然同 120 文算指通編卷七“積較和相求開平方諸法第十四”和卷八“帶從諸變開平方第十五''所給的二次方程解法

18、以西方筆算表示，但所使用的仍然是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的方法，是在周述學(xué)神 道大編歷宗算會卷四“帶從開平方''的基礎(chǔ)上編寫而成的。當(dāng)李之藻翻譯完西方筆算的有 關(guān)著作，與徐光啟取“|口術(shù)”與西法進(jìn)行比較研究時，所參考的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作至少包含周述 學(xué)的神道大編歷宗算會和程大位的算法統(tǒng)宗。1253高次方程解法同文算指中高次方程解法來自德國數(shù)學(xué)家michael stifel（ 187-1567）的整數(shù)算術(shù)（arithmeticci integral兩者所用的方法也和同，以四乘方（即五次開方法）為例：四乘方假如列實九億一千六百一十三萬二千八百 三十二數(shù)，以四乘方開之。尋原六為初商，除 積七億七千七白

19、六十萬，余實一億三千八白五 十三萬二千八百三十二，以求廉法。凡四乘方， 通率疊用四位，為五十、為一千、為一萬、為 五萬，中列自下而上，以方法（六）對尾位（五 0）列之，乂自乘再乘三乘四乘亦自下而上對列 于左。一三八五玖壹陸拿金貳捌空不七七七六初乘首位左乘得六千四百八十萬，以較余 實，約得二之一，以二為廉法，對首位五萬列 之，亦自乘再乘三乘自上而下對列。乂四乘得 （三二）為隅法，系于其下，而以首位二數(shù)乘 左，乘所得之?dāng)?shù)計得一億二千九白六十萬。一二九六一£0000 一一0000 一四一八000 a八五0 次商次位左乘得二百一-六萬，而以右exemplum de extractione s

20、urdesolida, sit numerus 916132832primo, sub ultimo puncto subtracho 7776, quia nocst maior numerus surdsolidus,qui poslit subtrachi ab hoc puncto 9161 remanet autem 1385, & 6 ponitur in quotientem tancbradix surdesolida de 7776, atcbita absolui punctum ultimumrcstat punctum, 138532832. quiero no

21、uam figuram in quo tientem ponendam hoc modo:1296500002 i b10000361000650multiplico duos superiores inter se, uidelicet 1296 & 50000, facit 64800000, hoc diuisorc inucnio in puncto remanente 2 nouam figuram. sic ergo stabit regula.129650000221 61 0000436100086501 632（四）乘之得八白六十四萬。三乘第三位左乘得三萬六千，而以右

22、（八） 乘之得二十八萬八千。四乘 尾位左乘得三百，而以右（一六）乘 之得四千八百。以上四乘之積并入右廉，四乘 所得隅法三十二，恰盡。hie quatuor multiplicationes hiciunt 138532800, quibus sus peraddo 32, & tunc subtracho a puncto remanente, tunc nihil relinquitur.表2同文算指和整數(shù)算術(shù)方程解法比較表上例即求解五次方程兀=916132832 ,其方法相同，具體分為一下5個步驟:1）確定商的位數(shù)。兩者都是用隔位作點的方法來確定商的位數(shù)，所不同的是, 同文算指中將

23、點標(biāo)記在數(shù)字下面，而整數(shù)算術(shù)則將點標(biāo)記在數(shù)字上面。這兩者之間并沒有本質(zhì)上的差別，前者在數(shù)字下面作點主要是為了與前面的章節(jié) 保持一致。2）求初商山=60。3）求余實。60 = 777600000 ,則余實 r = 916132832-777600000= 138532832。4）列二項展開式系數(shù)表。即按照前面所給通率表而給出五次方的二項展開式 系數(shù)。5）求次商。令x = xl+2 ,則代入原方程，得5432x/ + 5xi x? +l（）xi x22 +10xi x23 + 5xix24 + x25 = 916132832f 60s + 5x 6（）4 x? +10 x 6o.t x22 +10

24、 x 6（）2 x23 + 5x 60x24 + x25 = 916132832化簡為 5x &04 xj +10 x 60s x22 +10 x 6o2 x23 + 5x 60x24 + x25 = 138532832 138532832x2 = v s = 2取次商5x6久，代入上式，兩邊相消為零，所以方程的解x = 60 + 2 = 02 o通過以上的比較分析可以看出，同文算指和整數(shù)算術(shù)中所用的高次方程數(shù)值解 法與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的方法沒有木質(zhì)上的差別。宋元時期，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的方程解法發(fā)展到高峰， 出現(xiàn)了如“增乘開方法”等，到明清時，很多宋元的方法卻己失傳。雖然“立成釋鎖法”和 “開方作法本源圖''等內(nèi)容仍在流傳，但是吳敬九章算法比類大全、周述學(xué)神道大編 歷宗算會以及程大位算法統(tǒng)宗中的“開方作法本源圖''均只有五乘方，而朱世杰四 元玉鑒中至七乘方的“開方作法本源圖”卻已失傳，所以這些算書中的高次方程解法沒有 超過五乘方（即六次方）的。明嘉靖初年王文索的算學(xué)寶鑒中有至七乘方（即八次方） 的方程解法，但是出于種種原因而沒有流傳開來，李之藻在同文算指中認(rèn)為“舊法止于 五乘方”，顯然是沒有見到王文素的著作的。4結(jié)論方程解法是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中一項十分重要的內(nèi)容，李之藻在同文算指屮介紹了各種方程 的求解方法。為了達(dá)到會通