畢業(yè)論文《圓錐曲線的性質(zhì)及推廣運(yùn)用》

1、2013屆本科畢業(yè)論文錐曲線的性質(zhì)及推廣運(yùn)用學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)院專業(yè)班級：信息與計(jì)算科學(xué)數(shù)單班學(xué)生姓名:指導(dǎo)教師:答辯日期:1引言42圓錐曲線的分類，性質(zhì)及應(yīng)用52.1圓錐曲線的分類52.2圓錐曲線的性質(zhì)52.3圓錐曲線在生活屮的應(yīng)用93圓錐曲線性質(zhì)的推廣應(yīng)用93.1利用圓錐曲線性質(zhì)求解圓錐曲線的最值93.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用133.3數(shù)學(xué)問題在圓錐曲線中的推廣19參考文獻(xiàn)：21 21錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用摘要：本文首先探究圓錐曲線在解析兒何下的分類，總結(jié)了三類圓錐曲線的性質(zhì) 及應(yīng)用，主要利用平面解析兒何的知識及數(shù)形結(jié)合思想，對圓錐曲線的基本性質(zhì) 及推廣性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)和證明，并將

2、它在h常生活屮的應(yīng)用和在解題屮的應(yīng)用做 了簡要說明。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；性質(zhì)；應(yīng)用；推廣；the nature and promote application of conic curves abstracts:the article first explores the conic curves in three different classifications of analytic geometry. it also summarizes nature and application of conic curves by using flat analytic geometry know

3、ledge and symbolic-graphic combination. at last it makes some summaries and verification on the basis of the nattire and promote appl ication of conic secti on s. a nd put it in our daily lives and in the soluti on of applica tion in a brief explanation.key words: conic curve;nature;application;prom

4、otion;錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用引言圓錐曲線是高中和大學(xué)解析幾何的重要內(nèi)容，是用代數(shù)方法來研究幾何問 題，它處丁代數(shù)與幾何的交匯處。圓錐曲線的性質(zhì)及推廣是其中的熱點(diǎn)問題之一。圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又 與二次方程對應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何 學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲 線。研究圓錐曲線的分類和性質(zhì)，有利于開闊學(xué)生的解題思路，溝通知識間的 橫向聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和邏輯推理能力，而且能較高觀點(diǎn)的理解圓錐曲 線的定義。通過圓錐曲線的定義，基本性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合及巧設(shè)參數(shù)等方法加以解 決。不管是在宏觀

5、世界還是微觀世界，圓錐曲線都和我們有著密切相關(guān)的 聯(lián)系。從宏觀上來說我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上 運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些 行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā) 射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對于一個(gè)物體，按萬有 引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動，不可能有任何其他的軌道了。因而， 圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。從微觀上來說， 任何物體都是曲原子構(gòu)成的，原子是原子核和其周圍圍繞的屯子高速旋轉(zhuǎn) 形成，而電子的運(yùn)動軌跡近似認(rèn)為是圓周運(yùn)動或橢圓運(yùn)動，相對丁每一個(gè) 原子，又符合庫倫定

6、律。從每一個(gè)原子到分子，最后形成物體，也就是我 們的現(xiàn)實(shí)的世界。木文通過探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，重點(diǎn)研究圓錐曲線的 性質(zhì)及推廣應(yīng)用。2圓錐曲線的分類，性質(zhì)及應(yīng)用2.1.圓錐曲線的分類在（平面）一直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次曲線的方程為anx + 2anxy + a22y + 2a3x + 2a23y + 6z33 = 0記11 a 2ia 12a 22厶=qii02a22。23厶=4 + a2112 =°31°32a33則我們稱是二次曲線的不變量，k|為二次曲線的半不變量。 由不變量給出二次曲線的分類：橢圓型：/2 >0橢圓 /2>0,厶厶<0虛橢

7、圓（無軌跡）z2 >0 , ij3 >°一點(diǎn) /2 > 0 ,厶二：0ii雙曲型：/2<0雙曲線厶<0,厶工0一對相交直線厶<0,厶=0iii拋物型：/2=0拋物線厶=0,厶工0 一對平行直線 厶=°，厶=0 , /c, <0 一對虛平行直線（無軌跡）厶=0,厶=0, k>0一對重合直線厶=0,厶=°，&=0當(dāng)二次方程的圖形是一點(diǎn)或直線的情形時(shí)，稱二次曲線是退化的。因此從上 述二次曲線的分類可知，厶的符號判別了曲線的類型，而厶工0或厶=0就判別了曲線的非退化或退化的情形。橢i員i,雙曲線和拋物線這三種曲線統(tǒng)稱

8、為i員i錐曲線。2.2.圓錐曲線的性質(zhì)（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）:錐曲線焦點(diǎn)位置的判（1）橢圓：由*2,歹2分母的大小決定，焦點(diǎn)在= 1表示焦點(diǎn)在y-12-/w軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答:（-oo-l）u（l,-）（2）雙曲線：由x2, j；2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)斥、瑪?shù)木嚯x的和等于常數(shù)（大于|存丨）的點(diǎn)的軌跡叫做橢 圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若m為橢圓上 任意一點(diǎn)，則旬 a4f + mf2= 2a.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4+4=1（。&

9、quot;>0）（焦點(diǎn)在x軸上）或4+4=1 a ba b（o>b>0）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中a,b的大小a>b>0,其中c2=a2-b2； 在4 + 4 = 1和2 + £ = 1兩個(gè)方程中都有a>b> 0的條件，耍分清焦點(diǎn) / tr / tr的位置，只要看兀2和尸的分母的大小。例如橢圓+ = 1 （m>0, h>0,m n當(dāng)m > n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m < n時(shí)表示焦點(diǎn)在尹軸上的橢 圓。（2）橢圓的性質(zhì) 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程冷+存=1知|兀$。，說明橢圓位于直線er tr尸±b所圍成的矩

10、形里； 對稱性：在曲線方程里，若以-v代替尹方程不變，所以若點(diǎn)（x）在曲線 上時(shí)，點(diǎn)（x-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以-x代替兀方程不變,則曲線關(guān)于尹軸對稱。若同時(shí)以-x代替兀，-尹代替y方程也不變，則曲線 關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、尹軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢的對稱中心叫橢圓的中心; 頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令兀=0,得y = ±b,則b（0,-b）,場（00）是橢圓 與夕軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令尹=0得兀= ±a,即4 （-（7,0）, a2（a,0

11、）是橢圓與x軸 的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)冇四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段44、坊坊分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2。和 2b , q和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為q;在rtaob2f2 +, 0b2 =b, of2=cf b2f21=67, kof2=b2f212-|<95212,即 c2=a2-c2； 離心率：橢圜的焦距與長軸的比幺=£叫橢鬪的離心率。>c>o,a0<e<l,且幺越接近1, c就越接近從而b就越小，對應(yīng)的橢圜越扁；反z, e越接近to, c就越接近t

12、o,從而b越接近丁s,這吋橢圓越接近于圓。當(dāng)且 僅當(dāng)a = b時(shí)，c = 0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2 =a2o2雙曲線（1）雙曲線的概念平而上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是雙曲線 （111-111=26/）0注意:（*）式中是差的絕對值，在0v2av|昭i條件下;pf-pf2=2a 吋為雙曲線的一支（含的一支）；|-|=267時(shí)為雙曲線的另一支（含人 的一支）;當(dāng)2° =| fif29pfi-pf2=2a表示兩條射線;當(dāng)2d >|百巧|時(shí), |p|-|p|=2a不表示任何圖形;兩定點(diǎn)耳，場叫做雙曲線的焦點(diǎn)，|片篤|叫 做焦距。橢圓和雙曲線比較:圓

13、 橢線 曲 雙定義方程11=2 2 y 6+2 2x q=2 2 yd +2 2x 611=2 2-2 2x a11=2 2 x b-2 2 y a焦 占 八、（2）雙曲線的性質(zhì) 范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程二-二=1,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩/ zr條直線x = ±6?的外側(cè)。即，> a2, |x| > a即雙曲線在兩條直線x = ±a的外側(cè)。 對稱性：雙曲線匚-匚=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這吋，坐ct b標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線4-4=1的對稱屮心，雙曲線的對稱屮 cr b心叫做雙曲線的屮心。29 頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂

14、點(diǎn)。在雙曲線-4=1的cr方程里，對稱軸是3軸，所以令7 = 0得兀=±°,因此雙曲線和兀軸冇兩個(gè)交點(diǎn)a （一0,0）力2（色0），他們是雙曲線寫-gct b=1的頂點(diǎn)。令x = 0,沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)）,雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段力厶叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于加4叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段b禺叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半 軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條 直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線4-4

15、=1的各支向外延伸時(shí), 與這兩條直線逐漸接近。 等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a = b；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y二土兀；（2）漸近線互和垂直。 注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題口屮出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征a = b ,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2,當(dāng)2>0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在尹軸上。 注意- = 1與疋-蘭=1的區(qū)別：三個(gè)量中恥不同（互換）c169916相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和一條定直線1的距

16、離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn) f不在定直線1上）o定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2 =2px （p>0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是f （£,0）,2它的準(zhǔn)線方程是x;2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，冇四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程述有其他幾種形式：y2=-2px, x2=2pyf x2=-2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程y2 = 2pxy2 = -2 pxx2 =2 pyx2 =-2py(p>0)(p>

17、0)(p>0)(p>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)（知(號0)（嶂（0,氣）準(zhǔn)線方程x = -p2t范圍x>0x<0j；>0y<0對稱性x軸兀軸丿軸y軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e = le = le e = 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物 線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：冇一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱 屮心，沒冇漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)"的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。定理1拋物線的過焦點(diǎn)的所冇弦屮，以拋物線的通經(jīng)為最短。定理2設(shè)ab是拋物線尹=亦2>0）的長為m的動弦，則am24（

18、1）當(dāng)m>-（通徑長）時(shí)，ab的小點(diǎn)m到兀軸的距離的最小值為如p a4a 當(dāng)m<-（通徑長）時(shí)，ab的中點(diǎn)m到x軸的距離的最小值為 a定理3拋物線焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線7 = 2丹（p as的焦點(diǎn)戸的直線與拋物線交 于a （xy ,b（x2,y2）兩點(diǎn)，直線0a與0b的斜率分別為k1,k2,直線1的p*id 卩傾斜角為則有松f，西罰u，也=*, i吟1-8皿, "1=諾e剛=議，財(cái)2.3.圓錐曲線在生活中的應(yīng)用隨著新課程理念的深入，一些以i員i錐曲線在生活和生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用為背景 的應(yīng)用問題已經(jīng)進(jìn)入了我們的教材，并且越來越受到重視.利用橢圓、雙曲線、 拋物線可以有效地解決數(shù)學(xué)

19、、物理及生活實(shí)際中的許多問題下面舉例說明i員i錐 曲線在實(shí)際生活小的應(yīng)用2.3. 1生活中的橢圓：油罐車的橫截面。圓柱形的容器在同樣容器的要求下，它的表面積最小也就是容器所用的材料最 少，在裝入物品后尤其是液體，對罐內(nèi)壁各部分的受力大小情況也比較平均，而 在高度和寬度(即車的允許高度和車的寬度)都有限制的情況下，其橫截面作成 橢岡形就可以達(dá)到既節(jié)省了罐體材料，也保證了容積，由利用了有限的“空間”和 保證了罐體的穩(wěn)定性。2. 3. 2雙曲線的應(yīng)用：火電廠及核電站的冷卻塔冷卻塔從底部到中部直徑變小，是將蒸汽抽到塔內(nèi)，防止底部逸出，而上部宜徑 變大，可以降低上升到頂部熱氣的流動速度，從而降低抽力，使

20、蒸汽盡可能的留 在塔內(nèi)，提高冷卻冋收率。2.3.3拋物線的應(yīng)用：美麗的趙州橋采用拋物線的結(jié)構(gòu)使得趙州橋用料精簡，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定堅(jiān)固，趙州橋距離現(xiàn)在1400 多年，經(jīng)歷了 10次水災(zāi)，8次戰(zhàn)亂，和多次地震，著名橋梁專家茅以升說過： 先不管橋的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，僅就他能夠存在1400多年就說明了一切。探照燈截面由 拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面，他也有一條軸，即拋物線 的軸，在這個(gè)軸上有一個(gè)奇妙的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線反射出來以后，都 將成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的 道理。3.錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用3.1利用圓錐曲線性質(zhì)求解圓錐曲線的最值例、已知拋物線

21、/=4x,定點(diǎn)a(3,l), f是拋物線的焦點(diǎn),在 拋物線上求一點(diǎn)r使|ap|+|pf|取最小值,并求的最小值。分析：由點(diǎn)a引準(zhǔn)線的垂線，垂足q,則|ap|+|pf|=|ap|+|pq|,即 為最小值。解：如圖，=4x,.0 = 2，焦點(diǎn)f（1，o）。 由點(diǎn)a引準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足q,貝【j |ap|+|pf|=|ap|+|pq|,即為最小值.(|jp| + |pf|)min=4.若另取一點(diǎn)p ,顯然 |/p| + |pf|=| +1pv 1>1 ap-vpq o點(diǎn)悟利用圓錐曲線性質(zhì)求最值是一種特殊方法。在利用時(shí)技 巧性較強(qiáng)，但可以避繁就簡，化難為易。又如已知圓錐曲線內(nèi) 一點(diǎn)a與其上

22、一動點(diǎn)p,求mp|+他的最值時(shí)，常考慮圓錐 e曲線第二定義。設(shè)ab為過橢圓二+召 = l（q>b>0）中心的弦，焦點(diǎn)f（c,o）（c > 0）,求 6t bmab的最大面積。分析： 利用割補(bǔ)法，將fab分割為afq4與afob,再根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)，求得其最值。解：設(shè)力（兀i），則由橢圓的對稱性得b-xx -y）,貝ij=*（|0尸卜卜| + |0殲|一川）swf =of-y<bc （由橢圓的性質(zhì)知 且必=b時(shí)等式成立）所以afab的最大面積為be。反思：當(dāng)整體面積不好求時(shí)，可將其劃分為能直接求解的若干個(gè)面積z和。已知橢圓g ：二+件=1（。> b > 0）

23、的右頂點(diǎn)為j（l,0）,過g的焦點(diǎn)且垂直長 a" b軸的弦長為1（1）求橢圓g的方程（2）設(shè)點(diǎn)p在拋物線c2 :j； = x2+/?（/7ga）±, c2在點(diǎn)p處的切線與g交于點(diǎn) m, n.當(dāng)線段ap的屮點(diǎn)與mn的屮點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值。分析：本題主要考察橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題 能力。b = 1,解：由題意,得°戸2=r2因此，所求的橢圓的方程為才+宀1. a如圖，設(shè)j）,n（兀22），尸（7于+/0則拋物線c2在點(diǎn)p處的切線斜率為 yxt =2t直線mv的方程為y =

24、2tx-t2 +h 將上式代入橢圓g的方程中，得 4/+（2饑一尸+力）2一4 = 0.即4（1 +嚴(yán)）兀2 _4血2 _防兀+（2 _防2 _4 = 0因?yàn)橹本€與橢圓g有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以式中的 =16廠+2（力+ 2）/2滬+4卜0設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是兀3,則_ x + 兀2 _ t（t2 -/?）兀-2- 2（1+ /釣 設(shè)線段血的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是兀，則兀=¥由題意，得x3 =x4即八+（l + ）/ + i = o.由式中的 2 =(1 + /?)2 -4>0得心,或hu-3.當(dāng)力53時(shí)，力+ 2<0,4 加<0,貝ij不等式不成立，所以/?>1.當(dāng)

25、力=1時(shí)，代入方程得/ = -1,將a = l,/ = -l代入不等式，檢驗(yàn)成立。 所以，力的最小值為1.小結(jié)：利用圓錐曲線的性質(zhì)求最值是一種技巧性較強(qiáng)的特殊方法，但思路 清晰，過程簡捷，可以避繁就簡，化難為易。3.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用1.直線與錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有 一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn).(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入 二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的 情況來判斷.設(shè)直線/的方程為加+c=0, 圓錐曲線方程./(x, y) = 0.pk+莎+c=0 仏，y)=o如消去y后得6zx2+/)x+c0. 若0

26、=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線/與雙曲線的漸近線平行或 重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線/與拋物線的對稱軸平行(或重 合). 若qho,設(shè)4 = /一4必.a. a丄0時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；b. a二0吋,直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；c. 丄0時(shí)，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn).2 21已知(4,2)是直線i被橢圓命+眷=1所截得的線段的中點(diǎn)，則/的方程為a.兀2y=0 b x2y4 = 0c 2 兀+3尹+4 = 0 d x+2尹8 = 0解析設(shè)/與橢圓的交點(diǎn)為a（xlf刃），5（x2,力）,12 2話+晉t，369vi y922兩式相減，得兀2丄匕兀1 一兀236+9 = 1 9（%

27、1 +%2）2x4136（|+尹2）= 4x2x2 = _2-/的方程為：y2=*(兀4),即兀+2尹_8=0在平而直角坐標(biāo)系xop屮，經(jīng)過點(diǎn)(0, 2)且斜率為k的直線/與橢圓y+j2=l有兩個(gè)不同的交點(diǎn) p和q.(1) 求幺的取值范圍；(2) 設(shè)橢圓與x軸正半軸、y正半軸的交點(diǎn)分別為a、b,是否存在實(shí)數(shù)k,使得共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由解 市已知條件，直線/的方程為尸kx+逗, r2代入橢圓方程彳導(dǎo)亍+ (foc+/2)2 1,整理得+*2+2寸慫+1 =0直線/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和0等價(jià)于/ =腫_4片+£|=4疋一20,解得幺_¥或

28、3;平.即£的取值范圍為一8,爭|u¥，+8.（2）設(shè)尹i），2（x2,尹2）,= （x+x2,尹1+尹2），由方程式，兀+兀2 =又 71 +尹2 = k(xx +x2) + 2 邊兀1+兀2=邊01+乃)， 將代入上式，解得上=¥ 由（1）知x半或爐平，故沒有符合題意的常數(shù)上過原點(diǎn)月斜率為正值的直線交橢圓7 + b = 1于e,f兩點(diǎn)，設(shè)a （2, 0）, b（0, 1）,4求四邊形aebf面積s的最大值。分析：由圖形的對稱性可知，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓弧ab上的點(diǎn)f到直線ab的距離最大 時(shí)，四邊形aebf的而積取最大值，不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)的點(diǎn)f恰是橢圓平行丁ab的切線 與橢

29、圓的共共點(diǎn)。解 設(shè)直線/異2是與直線ab平行的橢圓的兩條切線，則當(dāng)e,f分別與兩切點(diǎn)重合 吋，四邊形aebf面積s取最大值。設(shè)切線的方程為x + 2y = t9代入橢圓方程可得 2x2 2tx + z2 4 = 0 ,令4 = 4/28（/2 4）= 0 得 t ±2/2 ,即兩切線的,而ab =街，故已知/abc的頂點(diǎn)a, b在橢x2+3j2方程為x + 2尹土 2-2 = 0 ,它們的距離為 =4 上，c 在直線 h j=x+2±,且 ab/1.(1)當(dāng)4邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)0時(shí)，求ab的長及aabc的面積;當(dāng)zabc=90°,且斜邊ac的長最大時(shí)，求4b 所在直線

30、的方程.求弦長i ab aabc的ab邊上的 高即原點(diǎn)0到i的距離h-厶abc的ab邊上的高即原點(diǎn)o到/的距 離 hsabc=abh.將|/c|表示成m的函數(shù)f將|/c|表示成m的函數(shù)f由ac最大確定m 的值.解（1）因?yàn)閍b/1,且邊通過點(diǎn)（0,0）, 所以所在直線的方程為尹=x設(shè)b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi, yi), (x2,尹2). 卜2 + 3尹2 =化由得兀=±1,所以ab =l2x x2 = 2yj2.又因?yàn)閍b邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線i的距離,所以 h=yl2 ? sabc=abh = 2.設(shè)m所在直線的方程為y=x+m.x2 + 32 = 4?2由|得 4x + 6mx+

31、3m2 4 = 0.y=x+m, 因?yàn)閎在橢圓上，所以= 一12/十64>0設(shè)b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（兀1，pi）, （x2,尹2）3m則兀1 +兀2 2%1x2 =所以|肋|=承|兀1燈=322 6m - 又因?yàn)閎c的長等于點(diǎn)（0,加）到直線/的距離，因?yàn)閍cf = abf + bcf =m 2m + 10= (m+ i)2+ 11,所以當(dāng)加=1時(shí)，/c邊最長，（這時(shí)a= 12 + 64>0）此時(shí)ab所在直線的方程為y=x 1.小結(jié)：由于平而解析幾何本身是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，所以借助圖形的幾何性質(zhì) 也 是破解圓錐曲線問題的重要對策，而口往往能收到事半功倍的效果。3.3數(shù)學(xué)問題在圓錐曲線中的

32、推廣定理1：如圖2,有心圓錐曲線©/+0才=1（q>o, 0>0或a、0異號）是厶abc的內(nèi)切圓錐曲線分別與bc、ab、ac相切于點(diǎn)d、e、f, d0的延長線交ef于點(diǎn)g, ag的延長線交bc于點(diǎn)h,則有冃ch|證明：設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為（觀丿°）,點(diǎn)d坐標(biāo)為（兀1，必），則有ax + py = 1,過點(diǎn)d的切線方程為：axxx- pyxy = 由引理1可知過點(diǎn)a的兩切線方程為：（ax。* + 0y°y 一 i）2 = （ar； + 0憂 一 l）（a? +j；2-l）切點(diǎn)弦ef的方程為6rx0x + py.y = 1由圖像可知直線do方程為尹=邑兀聯(lián)立可得

33、點(diǎn)g坐標(biāo)（亠，亠）qxox|+0x）y &兀西+0幾北可得直線ag方程y =。卅西+0兀0幾尹】一兀1x。/ 一西刃）gx話+0忑幾必一西聯(lián)立可得交點(diǎn)h的橫坐標(biāo)t二處話+ 0%幾卩+ 0x幾必一 0瓦拜一西2cx/3xqxy()y + ex xqx +0兀兀1設(shè)點(diǎn)b、c的橫坐標(biāo)為勺、xc , b、c的屮點(diǎn)橫坐標(biāo)為x中, 聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程： -(2a2/3x()xly()yl + 農(nóng)兀：彳 + apryy 一 a0y： 一 a2xf )x2 + 2(妙兀幾戸 一 apxqy + a/3xxyqy + g乂州 一 axx +妙燈;+ 0乂 j彳-20坯必 - ax + 1 = 0由韋達(dá)定理可得勺+藝2(ax話+0兀。幾必+0禹幾必一0%昇一 "j2.(x/3xxxyyx +cx xox, +0 y()yi 1兀b +兀？二西+0%幾” +0西