歸類探究三角函數(shù)中的求最值（或值域）問(wèn)題

1、    歸類探究三角函數(shù)中的求最值（或值域）問(wèn)題    劉洪峰【摘要】三角函數(shù)最值問(wèn)題屢屢受到命題者青睞，求函數(shù)的最大值與最小值是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考中的常見(jiàn)題型，求三角函數(shù)的最值（值域）是近幾年高考的熱點(diǎn)之一.本文對(duì)三角函數(shù)的求最值問(wèn)題進(jìn)行粗淺研究，望共同探討.【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；歸類；求最值；值域問(wèn)題前言三角函數(shù)的最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考中的常見(jiàn)題型，加強(qiáng)這一內(nèi)容的教學(xué)有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握三角知識(shí)，溝通三角、代數(shù)、幾何之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.三角函數(shù)求最值問(wèn)題主要有以下幾種類型，掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)

2、最值問(wèn)題都可以解決.本文對(duì)三角函數(shù)的求最值問(wèn)題進(jìn)行歸類研究，供同學(xué)們借鑒.一、化成y=asinx+b（a0）或y=acosx+b（a0）型1.y=asinx+b（a0）的最大值和最小值.（1）當(dāng)a>0時(shí)，若sinx=1，ymax=a+b；若sinx=-1，ymin=b-a.（2）當(dāng)a<0時(shí)，若sinx=-1，ymax=b-a；若sinx=1，ymin=a+b.2.y=acosx+b（a0）的最大值和最小值.（1）當(dāng)a>0時(shí)，若cosx=1，ymax=a+b；若cosx=-1，ymin=b-a.（2）當(dāng)a<0時(shí)，若cosx=-1，ymax=b-a；若cosx=1，ymin

3、=a+b.例1已知函數(shù)f（x）=sin（-x）cosx+cos2x（>0）的最小正周期為.（）求的值.（）將函數(shù)y=f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，求函數(shù)g（x）在區(qū)間0，16上的最小值.分析（）f（x）=sin（-x）cosx+cos2x（>0），f（x）=sinxcosx+1+cos2x2=12sin2x+12cos2x+12=22sin（2x+4）+12由于>0，依題意得22=，所以=1.（）由（）知f（x）=22sin（2x+4）+12，所以g（x）=f（2x）=22sin（4x+4）+12.當(dāng)0x6時(shí)，可得44x

4、+42，所以22sin（4x+4）1.因此1g（x）1+22，故g（x）在區(qū)間0，16內(nèi)的最小值為1.變式1已知函數(shù)f（x）=（1+cotx）sin2x-2sinx+4sinx-4.（1）若tan=2，求f（）；（2）若x12，2，求f（x）的取值范圍.變式2已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin2x.（）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的集合.二、化成y=asin2x+bsinx+c（a0）或y=acos2x+bcosx+c（a0）型例2已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.（）求f3的值；（）求f（x）的最大值和最小值.分析（）

5、f3=2cos23+sin23-4cos3=-1+34=-94（）f（x）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3cosx-232-73，xr.因?yàn)閏osx-1，1，所以，當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）取最大值6；當(dāng)cosx=23時(shí)，f（x）取最小值-73.點(diǎn)評(píng)此題主要是化為某個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式，結(jié)合換元法、配方法.變式3當(dāng)0<x< p>a.14b.12c.2d.4變式4函數(shù)f（x）=cosx-12cos2x（xr）的最大值等于.三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型方法：形如y=asinx+bcosx

6、的可引進(jìn)輔助角化成a2+b2sin（x+），再利用有界性.例3設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+23+2cos2x2，xr，求f（x）的值域.分析f（x）=cosxcos23-sinxsin23+cosx+1=-12cosx-32sinx+cosx+1=12cosx-32sinx+1=sinx+56+1，因此f（x）的值域?yàn)?，2.點(diǎn)評(píng)注意熟練掌握sinx+cosx=2sinx+4=2cosx-4sinx-cosx=2sinx-4=-2cosx+4cosx-sinx=2sin4-x=2cosx+4變式5已知函數(shù)f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（xr），求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間

7、0，2上的最大值和最小值.四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型例4求函數(shù)y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.分析法一（分離常數(shù)法） </xy=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2（sinx-2）+1sinx-2=-1sinx-2-2.由-1sinx1，得-3sinx-2-1，-11sinx-2-13，13-1sinx-21，即-53-1sinx-2-2-1，ymax=-1，ymin=-53.法二（逆求法）由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3，-1sinx1，-1y+22y+31，解得-5

8、3y-1，ymax=-1，ymin=-53.點(diǎn)評(píng)此題是利用了分離常數(shù)的方法和逆求法求解的.變式6設(shè)a>0，對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx+asinx（0<x< p>a.有最大值無(wú)最小值b.有最小值無(wú)最大值c.有最大值且有最小值d.既無(wú)最大值又無(wú)最小值五、化成y=csinx+dacosx+b型例5求函數(shù)y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.分析由已知得ycosx-2y=sinx-1，sinx-ycosx=1-2y，即y2+1sin（x+）=1-2y，sin（x+）=1-2yy2+1，|sin（x+）|1，1-2yy2+11，即3y2-4y0，解得0y43，故ymax=

9、43，ymin=0.點(diǎn)評(píng)上述利用正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式，是解決這類問(wèn)題的最佳方法.雖然本題可以使用萬(wàn)能公式，也可以利用圓的參數(shù)方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡(jiǎn)單.變式7當(dāng)0<x< p>a.2b.23c.4d.43六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型例6求函數(shù)y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.分析設(shè)t=sinx-cosx=2sinx-4，則-2t2，且sinx·cosx=1-t22.由于y=t+1-t22=-12（t-1）2+1，故當(dāng)t=1時(shí)，ymax=1；當(dāng)t=-2時(shí)

10、，ymin=-2-12.點(diǎn)評(píng)sin+cos，sin-cos，sin·cos這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯(lián)系.sin·cos是紐帶，三者之間知其一，可求其二.令t=sinx-cosx換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值.應(yīng)該注意的是求三角函數(shù)的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，這里不再贅述，有興趣的同學(xué)不妨自己探討一下.七、化成y=sin（x+）·cos（x-）或y=sin（x+）+sin（x-）型例7已知函數(shù)f（x）=sinx+6+sinx-6-2cos2x2，xr（其中>0），求函數(shù)f（x）的值域.分析f

11、（x）=sinx+6+sinx-6-2cos2x2=32sinx+12cosx+32sinx-12cosx-（x+1）=232sinx-12cosx-1=2sinx-6-1由-1sinx-61，得-32sinx-6-11，可知函數(shù)f（x）的值域?yàn)?3，1.八、化成y=sinx+asinx型例8求y=sinx+2sinx（0<x< p>分析設(shè)u=sinx，則y=u+2u（0< p>當(dāng)u=1時(shí)，ymin=1+21=3.點(diǎn)評(píng)若由sinx+2sinx2sinx·2sinx=22，可得最小值22是錯(cuò)誤的.這是因?yàn)楫?dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，sinx=2sinx，即sinx=2&

12、gt;1是不可能的.若把此題改為y=sinx+2sinx（0<x< p>變式習(xí)題答案：1.解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx+cos2x=1-cos2x2+12sin2x+cos2x=12（sin2x+cos2x）+12由tan=2得sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=45，cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35，所以f（）=35.（2）由（1）得f（x）=12（sin2x+cos2x）+12=22sin2x+4+12，由x12，2得2x+4512，54，所以sin2x+4-22，1.從而f（x）=22sin2x+4+120，1+22.2.解：（）因?yàn)閒（x）=sin2x-（1-cos2x）=2sin（2x+4）-1，所以函數(shù)f（x）的最小正周期t=22=.（）由（）知，當(dāng)2x+4=2k+2，即x=k+8（kz）時(shí)，f（x）取最大值2-1.因此函數(shù)f（x）取最大值時(shí)x的集合為x|x=k+8，kz.3.d4.345.解：由f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1