期權(quán)定價模型分類及其實際應(yīng)用

1、摘要隨著社會的進步，金融市場的發(fā)展逐步完善，越來越多的金融衍生品走進了人們的視野。期權(quán)作為重要的金融衍生品之一，受到許多投資者與研究者的關(guān)注。本文就是對期權(quán)的產(chǎn)生與發(fā)展和期權(quán)相關(guān)的定價模型進行了討論。本文先簡要介紹了期權(quán)的發(fā)展史以及現(xiàn)階段的概況，隨后對期權(quán)進行分類詳解，接著以B-S模型和二叉樹模型這兩種經(jīng)典定價模型為例進行了深入討論并舉例說明他們的實際應(yīng)用，最后又分析了幾種新型期權(quán)和他們的定價模型，并簡要介紹了他們的實際用途。關(guān)鍵詞：期權(quán)發(fā)展歷程；期權(quán)的分類；B-S定價模型；二叉樹模型AbstractWith the development of the

2、 society, finance market has been improving gradually, more and more financial derivative instruments have come to the eyesight of people. Option, as the important tool o

3、f financial derivative instrument, has been cast more attention by the investor and the researcher. This essay would focus on the generation of option and Capital Asset&#

4、160;Pricing Model of the option. First, this dissertation introduces the history and nowadays state of the option development. Then, it focuses its attention on classifying and

5、0;description of the option. This paper raises the Black-Scholes Model and Binary Tree Model as typical example to talk deeply about their appliance. Finally, this paper analysis&#

6、160;some kinds of new options and their asset pricing model, and introduce the practical use of the new option to all readers.Keywords: history of option development Option

7、60;classifying Black-Scholes Model Binary Tree Model目錄摘要.1Abstract.2目錄.3第一章 緒論.41.1 期權(quán)的含義41.2 期權(quán)定價理論的發(fā)展歷程.4第二章 期權(quán)定價的基本理論6 2.1 期權(quán)的分類62.1.1 按期權(quán)的交割時間劃分62.1.2 按期權(quán)的權(quán)利劃分62.1.3 按期權(quán)合約的內(nèi)在價值劃分.7 2.2 期權(quán)定價的概念72.2.1 平價、盈價與虧價72.2.2 期權(quán)價格的組成部分.7第三章 各種期權(quán)定價模型.9 3.1 Black-Scholes模型（簡稱B-S模型）93.2 二叉樹

8、模型.103.2.1 單期二叉樹模型103.2.2 多期二叉樹模型11第四章 期權(quán)定價模型的應(yīng)用實例及評價.124.1 B-S模型的應(yīng)用及評價124.2 二叉樹模型的應(yīng)用及評價.12第五章 幾種變異期權(quán)模型及其應(yīng)用.145.1 特殊標(biāo)的物的期權(quán)145.2 特殊標(biāo)準(zhǔn)期限的期權(quán).155.2.1 百慕大期權(quán)155.2.2 二進制期權(quán)155.2.3 冪期權(quán)165.3 其他特殊期權(quán)175.3.1 平均利率期權(quán)（亞式期權(quán)）175.3.2 平均執(zhí)行價格期權(quán).17參考文獻.18第一章 緒論1.1 期權(quán)的含義期權(quán)有很多用途。從投機層面講，期權(quán)為投資者的投資行為提供了一種承擔(dān)有限風(fēng)險的保險。而且，由于需要付出的權(quán)

9、利費的成本幾乎僅僅占了它所代表的資產(chǎn)潛在價值百分比中很小的一部分，所以作為一種用來交易的投機衍生品，也就是期權(quán)，一個投資者能用此博弈比期權(quán)的權(quán)利費的面值高出很多的資產(chǎn)。這就是人們常說的杠桿效應(yīng)，與其他投資方式相比，期權(quán)有機會獲得更多的利潤。如果我們拋開投機的因素不說，期權(quán)交易的主要目的和事實上期權(quán)存在的主要原因，是因為它特別適合于企業(yè)。完善的金融市場能使得期權(quán)擁有作為保險的功能和滿足這一領(lǐng)域商業(yè)和服務(wù)業(yè)的需要。就保險功能而言，用來交易的期權(quán)能通過買入或者賣出滿足需要。舉一個例子說明，出口制造商需要用一個特定的合同來確保有一個穩(wěn)定的匯率。制造商在接受訂單（已經(jīng)按外匯市場上一個給定的匯率定好價格）

10、和回收貸款期間，希望能確保價格不要在外匯市場上出現(xiàn)不利于自己的波動。為了做到這一點，他選擇購買了涵蓋整個生產(chǎn)、交割和支付期的外匯期權(quán)。在這個案例中，通過簡單的保險和投機手段，我們可以發(fā)現(xiàn)期權(quán)所具有的靈活性，因為它使制造商和持續(xù)經(jīng)營企業(yè)都受益卻不需要支付過多額外的成本。制造商可以通過購買一個一致的外匯匯率或者商品匯率的期權(quán)，并支付期權(quán)費以獲得保險。當(dāng)然，隨著時間的推移，若外匯匯率或商品匯率變得有利于期權(quán)支付者時，期權(quán)將被執(zhí)行，投機的選擇也變得可行。當(dāng)外匯匯率或商品匯率不利于期權(quán)支付者時，期權(quán)可以選擇不被執(zhí)行。換句話說，當(dāng)公開市場上購買所需要的資產(chǎn)比執(zhí)行期權(quán)能獲得更多利益時，期權(quán)擁有者將放棄執(zhí)行期

11、權(quán)。期權(quán)交易是金融市場少有的一種非常有效的金融工具，它能讓交易者擁有兩種選擇，并作出更有利的方案。1.2 期權(quán)定價理論的發(fā)展歷程期權(quán)及相似的交易方式有著悠久的歷史，期權(quán)思想的提出可以追溯到公元前1800年的漢穆拉比法典，而期權(quán)交易的迅速發(fā)展到20世紀(jì)50年代以后才開始，真正的標(biāo)準(zhǔn)化的場內(nèi)期權(quán)交易也不夠30年左右的時間。公認(rèn)的期權(quán)定價理論的創(chuàng)始人和提出者是法國數(shù)學(xué)家巴舍利耶(Bachelier)，1900年他在博士論文投機交易理論中嘗試將數(shù)學(xué)知識運用于股票、期權(quán)、期貨等投機性很強的證券交易，研究其價格波動規(guī)律。巴舍利耶給出了描述期權(quán)價格變動的第一個科學(xué)模型，而且將數(shù)學(xué)中很多有效的方法帶入金融經(jīng)濟

12、學(xué)，巴舍利耶模型假設(shè)股票價格過程是絕對的布朗運動，單位時間方差為，期權(quán)的預(yù)期價格為: 其中，S為股票價格，K為執(zhí)行價格，t為離到期日的時間，K為買權(quán)的價格，(·)和（·）分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù)和正態(tài)密度函數(shù)。巴舍利耶在研究有關(guān)期權(quán)定價理論問題時，推導(dǎo)出了很多重要的數(shù)學(xué)關(guān)系式，他的研究對后人來說起到了一個開創(chuàng)性的作用。Macaulay在1938年建立了債券價格關(guān)于利率的敏感性數(shù)學(xué)模型。很久之后Paul Samuelson才通過著名的統(tǒng)計學(xué)家La J. Savage重新發(fā)現(xiàn)了巴舍利耶的結(jié)論，這標(biāo)志著現(xiàn)代金融學(xué)的開始。不過從現(xiàn)在的角度來看，他的假設(shè)前提是不符合實際的，即零利率

13、和允許股票價格為負(fù)值，這在實際生活中是不能實現(xiàn)的，但是這些仍能充分奠定了巴舍利耶研究的開創(chuàng)性地位。隨著世界金融市場的迅猛發(fā)展，金融機構(gòu)在投融資過程中將面臨許多金融風(fēng)險，比如匯率風(fēng)險，信用風(fēng)險等。為了解決這一問題，人們發(fā)展出了許多金融衍生產(chǎn)品，它們的價格或投資回報最終取決于標(biāo)的資產(chǎn)的價格。期權(quán)就是一種基本的金融衍生產(chǎn)品，期權(quán)費反映出買賣雙方對某一權(quán)利做出的公共的價值判斷，但是期權(quán)的價格很難從市場中直接反映。近30年來，數(shù)理金融學(xué)界研究的熱點之一便是期權(quán)定價的問題，眾多學(xué)者們近年進行了深入的研究，并取得了豐碩的成果。1973年，美國芝加哥大學(xué)的Black教授和Scholes教授在美國政治經(jīng)濟學(xué)雜志

14、上發(fā)表了一篇名為期權(quán)定價與公司負(fù)債的論文，與此同時，哈佛大學(xué)的Merton教授則在另一刊物貝爾經(jīng)濟與管理科學(xué)雜志上發(fā)表了另一篇名為期權(quán)的理性定價理論的論文。這兩篇論文奠定了期權(quán)定價的理論上基礎(chǔ)，為了表彰他們在評估衍生金融工具價值方面的杰出貢獻，Scholes教授和Merton教授共同獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。然而沒有哪一種理論是絕對完美的，B-S理論同樣不例外，它對歐式期權(quán)定價是擁有很強的準(zhǔn)確性，但是對美式期權(quán)卻毫無辦法，其中原因?qū)诤竺嬲f明，為了彌補這一缺陷，1979年，羅斯、考科斯和馬克·魯賓斯坦等在金融經(jīng)濟學(xué)雜志上發(fā)表了一篇題為期權(quán)定價：一種簡化的方法，該文提出了一種

15、簡單的對離散時間的期權(quán)的定價方法，被稱為Cox-Ross-Rubinstein二項式期權(quán)（也稱二叉樹法）定價模型。它與B-S定價模型可以看作是兩種互補的方法，前者更傾向于解決離散型問題，而后者主要用以解決連續(xù)型問題，前者多用于美式期權(quán)定價應(yīng)用，這也是B-S定價模型所不具備的能力。具體模型將在后面討論。從期權(quán)定價理論的發(fā)展歷程我們可以看出，期權(quán)定價理論是以鞍分析理論為主要工具而發(fā)展起來的。鞍的本來原意是指馬籠套或者船索具。鞍的概念首先由P. Levy在研究隨機變量和中引人概率論的知識。在1979年和1981年，Harrison分別和Kreps 、Pliska合作，寫了兩篇對期權(quán)定價理論以后的發(fā)展

16、有著巨大影響的論文。這一成果為鞍分析理論在期權(quán)定價理論中的應(yīng)用開辟了道路，同時也為期權(quán)定價理論的進一步發(fā)展提供了一個強有力的工具，他們的工作開啟了現(xiàn)代金融研究的新時代。隨后，數(shù)學(xué)家和金融學(xué)家的共同研究，建立了資產(chǎn)定價基本定理，當(dāng)且僅當(dāng)金融市場上不存在套利機會時，所有金融資產(chǎn)的貼現(xiàn)價格都是一個鞍，金融衍生品的價格等于未來現(xiàn)金流數(shù)學(xué)期望值的貼現(xiàn)值。這一基本定理是現(xiàn)代金融理論的核心工具，期權(quán)定價理論和鞍分析理論這兩個完全不同的學(xué)科從此緊緊地聯(lián)系在一起。因此，鞍理論在期權(quán)定價理論中起著重要的作用，鞍方法作為近代金融數(shù)學(xué)研究的基本數(shù)學(xué)方法，相對于其它的期權(quán)定價方法有著它獨特的優(yōu)勢。一般而言，對金融衍生品

17、定價主要有四種方法，分別是偏微分方程定價方法、二叉樹期權(quán)定價法、蒙特卡羅模擬定價方法和等價鞍測度定價方法。由于求解偏微分方程的過程過于麻煩且困難，因此，使用偏微分方程方法具有一定的局限性。二叉樹期權(quán)定價方法也是期權(quán)定價的常用方法之一，因為用二叉樹模型定價歐式期權(quán)時，往往只能給出一個真實值附近的結(jié)果，是金融衍生產(chǎn)品定價的近似方法。蒙特卡羅模擬定價方法的一個局限是它只能用來對歐式衍生品進行定價，還涉及到計算精度和計算時間的問題。第二章 期權(quán)定價的基本理論2.1 期權(quán)的分類根據(jù)期權(quán)交易方式、方向、標(biāo)的物等方面，可將期權(quán)劃分為不同的類型。 2.1.1 按期權(quán)的交割時間劃分美式期權(quán)是指在期權(quán)合約規(guī)定的有

18、效期內(nèi)任何時候都可以行使權(quán)利的期權(quán)；歐式期權(quán)是指在期權(quán)合約規(guī)定的到期日方可行使權(quán)利的期權(quán)，如果期權(quán)的買方在合同到期日之前不行使權(quán)利，過了期限，合約則自動作廢。目前我國國內(nèi)的外匯期權(quán)交易多采用歐式期權(quán)的合同方式。相比而言，美式期權(quán)的選擇方案比歐式期權(quán)多，相應(yīng)的價值也就比歐式期權(quán)略高，這就意味著美式期權(quán)擁有相對較高的權(quán)利金。2.1.2 按期權(quán)的權(quán)利劃分 看漲期權(quán)（Call Options）：指期權(quán)的買方向期權(quán)的賣方支付一定數(shù)額的權(quán)利費后，即擁有在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，按事先敲定的價格向期權(quán)賣方買入一定數(shù)量的期權(quán)合約規(guī)定的特定商品的權(quán)利，但沒有必須買進的義務(wù)。而期權(quán)賣方有義務(wù)在期權(quán)規(guī)定的有效期內(nèi)，如果

19、期權(quán)買方要求，必須以期權(quán)合約事先敲定的價格賣出期權(quán)合約規(guī)定的特定商品。 看跌期權(quán)（Put Options）：指期權(quán)的買方向期權(quán)的賣方支付一定數(shù)額的權(quán)利費后，即擁有在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，按事先敲定的價格向期權(quán)賣方賣出一定數(shù)量的期權(quán)合約規(guī)定的特定商品的權(quán)利，但沒有必須賣出的義務(wù)。而期權(quán)賣方有義務(wù)在期權(quán)規(guī)定的有效期內(nèi)，如果期權(quán)買方要求，必須以期權(quán)合約事先敲定的價格買入期權(quán)合約規(guī)定的特定商品。 百慕大期權(quán)（Bermuda option）：一種可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權(quán)的期權(quán)。界定百慕大期權(quán)、美式期權(quán)和歐式期權(quán)的主要區(qū)別在于行權(quán)時間的不同，從一定程度上來看，百慕大期權(quán)可以被視為美式期權(quán)與歐式期

20、權(quán)的混合體，就如同百慕大群島混合了美國文化和英國文化一樣。比較常見的是前兩種，看漲與看跌期權(quán)，這里進一步敘述兩者之間，的關(guān)系與區(qū)別?？礉q期權(quán)是授予期權(quán)者以一個特定的價格買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，這種特定的價格也稱作敲定價格?？吹跈?quán)是授予持有者以一個敲定價格賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。（這里我們先要明確“標(biāo)的”這個詞的意思，它是期權(quán)用來交易的資產(chǎn)。期權(quán)交易實際運用的金融工具的標(biāo)的是多種多樣的。理論上說，任何種類的資產(chǎn)都可用來作為期權(quán)的標(biāo)的物，包括股票、貨幣、利率。黃金、商品和其它許多市場品種。當(dāng)然，不管標(biāo)的物是什么，相應(yīng)的期權(quán)交易的基本原理是相同的）不管買入看漲期權(quán)或者看跌期權(quán)中的哪一種，期權(quán)買方必須支付期

21、權(quán)費給期權(quán)賣方（無論是即時支付還是稍后支付，在某些市場，期權(quán)費在期權(quán)到期日才支付）。這里用一個例子以便于更好的理解看漲期權(quán)與看跌期權(quán)。假如有一個市場，那里的大豆遠(yuǎn)期交易合同是每公斤10元，大豆期貨的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的敲定價格都是8元。那么擁有8元看漲期權(quán)的人如果行使他的買方權(quán)利將會有現(xiàn)金流入，因為他能以8元的價格買入并以10元的價格賣出標(biāo)的期權(quán)，這樣會有每公斤2元的收入。如果一個人手里擁有8元的看跌期權(quán)，他將不會選擇執(zhí)行他的賣出權(quán)利，因為這樣他將會面對每公斤2元的虧損。這時他只能等待大豆的市場價格下跌到8元以下時，才能通過手中這份期權(quán)獲得利潤。 2.1.3 按期權(quán)合約的內(nèi)在價值劃分 實值期權(quán)

22、（In the Money）：指內(nèi)在價值為正的期權(quán)。 虛值期權(quán)（Out of the Money）：指內(nèi)在價值為負(fù)的期權(quán)。 平價期權(quán)（At the Money）：指內(nèi)在價值為零的期權(quán)。 內(nèi)在價值是指期權(quán)買方行使期權(quán)時可以獲得的收益現(xiàn)值，有關(guān)價值的理論將在下一部分說明。2.2 期權(quán)定價的概念 2.2.1 平價、盈價與虧價這里以某一只股票為例，不妨設(shè)為股票A。當(dāng)市場股票的交易價格與股票的敲定價格一致時，期權(quán)被稱作處于平價。加入你此時擁有一份15元的股票A看漲期權(quán)，而現(xiàn)行的市場價格也是15元，期權(quán)就是平價看漲期權(quán)。如果期權(quán)持有人在標(biāo)的資產(chǎn)市場上以某一敲定價格進行了交易之后產(chǎn)生了現(xiàn)金流入，那么這種期權(quán)

23、稱為處于盈價。例如股票A的現(xiàn)行市場價是每股20.5元，如果以每一份15元買入了看漲期權(quán)，將有現(xiàn)金流入。因而15元看漲期權(quán)被稱為盈價看漲期權(quán)，股票A的價格和這個期權(quán)的盈價虧價關(guān)系如下圖所示： 股票價格 22.5 20.5 盈價 17.5 15.0 平價 13.5 10.0 虧價 9.5當(dāng)以期權(quán)交易價格進行交易時，相應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)會產(chǎn)生資金流出，這種期權(quán)被稱為處于虧價?？紤]每股股票的敲定價格為15元的股票A看跌期權(quán)，當(dāng)股票價格為20.5元時，執(zhí)行這一看跌期權(quán)將產(chǎn)生資金流出，這時這個期權(quán)就是虧價看跌期權(quán)，此時股票A的價格和這個期權(quán)的盈價虧價關(guān)系如下圖所示： 股票價格 22.5 20.5 虧價 17.5

24、 15.0 平價 13.5 10.0 盈價 9.52.2.2 期權(quán)價格的組成部分 期權(quán)價格的主要組成部分是兩個：內(nèi)在價值與時間價值。其中內(nèi)在價值與標(biāo)的價格、敲定價格、空頭條款和利率等相關(guān)，時間價值與到期日波動率等有關(guān)?？梢詤⒄展剑簝?nèi)在價值+時間價值=期權(quán)費。 內(nèi)在價值簡單來說就是盈價數(shù)值，即執(zhí)行期權(quán)合約之后現(xiàn)金流入的多少。由于處于虧價時不會選擇執(zhí)行期權(quán)，所以內(nèi)在價值一定不會為負(fù)。這里依舊以股票A為例，假如手里有一份以65元買入股票A的權(quán)利，而此時股票A的市價是65.5元，那我們此時手里的期權(quán)如果執(zhí)行，將會有0.5元現(xiàn)金流入，這也就意味著此時這份期權(quán)的內(nèi)在價值是0.5元。同理，如果此時股票A的

25、市價為65元，那么這個期權(quán)的內(nèi)在價值就為0。下面用一個表格來顯示市場價格與一份確定期權(quán)內(nèi)在價值的關(guān)系。股票A的價格65元看漲期權(quán)的內(nèi)在價值65元看漲期權(quán)的內(nèi)在價值62.000.003.0064.500.000.5065.000.000.0065.500.500.0068.003.000.00由上面的等式可以看出，時間價值的確定可以用期權(quán)的價格減去內(nèi)在價值。還是利用上面的例子，假如股票A的市價為65元，你能以買入每股60元的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。如果60美元看漲期權(quán)的價格為5.75元，60美元看跌期權(quán)的價格為0.75元。而此時看漲期權(quán)的盈價數(shù)值為5元，所以內(nèi)在價值是5元，此時的看漲期權(quán)時間價值就是

26、5.75-5=0.75元。而看跌期權(quán)此時處于虧價，因此它的內(nèi)在價值是0元，所以此時看跌期權(quán)的時間價值就是0.75-0=0.75元，意味著這個期權(quán)的整個價值是由時間價值組成的。第三章 各種期權(quán)定價模型3.1 Black-Scholes模型（簡稱B-S模型） 隨著人們逐步對期權(quán)價值的明確，接下來科學(xué)家們開始考慮具體的期權(quán)定價模型，以便得出較為精確的結(jié)論。20世紀(jì)70年代，芝加哥的兩位教授布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）先是解釋了時間價值，然后又給出了幾個假設(shè)，最終得出了一個很重要的模型，這就是后來被大家接受和認(rèn)可的B-S期權(quán)定價模型。該模型是建立在對市場的七條假設(shè)之上的：（1） 基

27、礎(chǔ)資產(chǎn)不支付紅利，且其價格服從幾何布朗運動。以下均假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票。（2） 市場是完全的，即對所有未定權(quán)益都是可復(fù)制的。（3） 市場是無套利的。（4） 無風(fēng)險利率是一個常數(shù)，且任何期限的借貸利率都相等。（5） 可以無限制的賣空。（6） 市場無摩擦。即無稅收成本，無交易成本。（7） 基礎(chǔ)資產(chǎn)可以以任何數(shù)量在任何連續(xù)的時間交易。B-S模型的推導(dǎo)可以利用微分方程或者利用鞅方法推導(dǎo)，后者更為簡便。以股票的看漲期權(quán)為例，一份看漲期權(quán)的買入方實際上買入的是兩種價值，一部分是當(dāng)股票價格高于期權(quán)敲定（執(zhí)行）價格時，它具有的無限的潛在獲利，另一部分是當(dāng)股票價格低于期權(quán)敲定價格時，它具有的有限的潛在損失。通過評

28、估未來股票價格運動的可能性，我們可以得出這個期權(quán)應(yīng)具有的價值，因此布萊克和斯科爾斯假設(shè)了這是一個正態(tài)分布過程，于是寫出了一個方程式 在這里：C是歐式期權(quán)價格； E是期權(quán)的敲定價格； ST是在到期T時刻的股票價格； St是在今天t時刻的股票現(xiàn)行價格； P是股票價格大于敲定價格的概率； e-rT是時間T的持續(xù)折現(xiàn)因子； EV是期望值。我們主要想解決的問題是EV的確定，利用鞅方法，布萊克和斯科爾斯最終確定出關(guān)于EV的公式：然后假定p=N(d2)，代入上式并化簡，最終得出了B-S模型的定價公式其中 其中 S是股票價格； E是期權(quán)敲定價格； t是1年內(nèi)距到期時間的百分比； R是時間t內(nèi)無風(fēng)險利率； 是波

29、動率，也就是方差的平方根； 是回報率方差。3.2 二叉樹模型盡管B-S模型有很多優(yōu)點，但是仍有許多局限性，而且它的一些假設(shè)并不被所有人認(rèn)可，到了1979年，羅斯、考克斯、魯賓斯坦和夏普等人提出了一種新的更為簡單的期權(quán)定價模型，稱為二叉樹模型，或者二項式模型。盡管方法簡單，但是卻包含了衍生品定價的基本原理和思想，主要用于解決美式期權(quán)定價問題和離散過程的相關(guān)問題。二叉樹定價模型假設(shè)股價波動只有向上和向下兩個方向，而且在整個考慮的時間內(nèi)股價波動的概率和幅度不變。于是將考慮的時間分為若干階段，根據(jù)歷史波動率計算每個階段結(jié)算的期權(quán)價格，這一特點是B-S模型無法做到的，而且非常適用于計算可以在任何有效期內(nèi)

30、行使期權(quán)的美式期權(quán)價格。3.2.1 單期二叉樹模型這里我們僅考慮單期二叉樹模型，只有兩個基礎(chǔ)資產(chǎn)：無風(fēng)險資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)。1時刻的狀態(tài)為u,d，u和d分別表示1時刻基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的價格上升或者下降的比例，并且u>1,d<1。u=1.1的含義就是如果1時刻基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)價格上升，則價格變?yōu)?.1S0。假設(shè)無風(fēng)險收益率r滿足d<er<u，顯然當(dāng)二叉樹模型無套利時該式一定成立。 我們考慮基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程。假定基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)是股票，其0、1時刻價格如下： uS0 S0 dS0 0時刻 1時刻 假設(shè)市場上還有一個在0時刻簽訂的價格為C0、1時刻價格到期的未定權(quán)益（也就是衍生品）

31、，它的價值依賴于股票價格的變化。在1時刻，當(dāng)股票的價格上升時其價格為Cu,股票價格下降的時候其價格為Cd，價格變化過程可以用下圖來表示。 Cu C0 Cd 0時刻 1時刻如果確定了衍生品的含義，我們就可以知道衍生品1時刻的支付。如果若未定權(quán)益為執(zhí)行價格為K的看漲期權(quán)，則1時刻的支付為Cu=max(uS0-K,0)和Cd=max(dS0-K,0)3.2.2 多期二叉樹模型在多期二叉樹模型中衍生品的定價原理與單期原理相似，也是采用復(fù)制的方法。在求解復(fù)制資產(chǎn)組合時，我們將用逆推的方法。因為基礎(chǔ)資產(chǎn)在n時刻的2n個可能值是已知的，所以我們可以寫出衍生品在n時刻的2n種可能值。在第n期一共有2n-1個單

32、期二叉樹，我們可以用單期模型的公式計算n-1時刻2n-1個節(jié)點處衍生品的價格。以此類推到0時刻，就可以得出衍生品的期初價格。每一次逆推都是前一個時刻價格的復(fù)制，在整個過程中，每個節(jié)點處都沒有資金的注入和撤出。這樣，我們實際上得到了一個復(fù)制策略的隨機過程，該隨機過程保證了在每個節(jié)點處復(fù)制策略資產(chǎn)組合的價格與衍生品在同一節(jié)點處的價格相等。由此我們可以得到一個關(guān)于資產(chǎn)組合的方程，解方程之后推導(dǎo)出在i-1時刻的j節(jié)點處，風(fēng)險中性概率測度下股價上升的概率為則衍生品在該節(jié)點的價格為第四章 期權(quán)定價模型的應(yīng)用實例及評價4.1 B-S模型的應(yīng)用及評價考慮一個歐式看漲期權(quán)，期權(quán)的股票在2個月以及5個月后將各有一

33、個除權(quán)日。每個除權(quán)日的紅利的期望值為40元，股票價格波動率設(shè)為每年30%，無風(fēng)險利率為每年9%，到期日還有6個月，求這個歐式看漲期權(quán)價格。 解：先計算紅利的現(xiàn)值為0.5e-0.1567*0.09+0.5e-0.4167*0.09=0.9741。根據(jù)題中條件可知 S=40-0.9741=39.0259，x=40，r=0.09，=0.3，T-t=0.5.將這些數(shù)據(jù)代入B-S公式可以計算出近似得到N(d1)=0.5800, N(d2)=0.4959.再由公式計算的看漲期權(quán)價格為39.0259*0.5800-40*0.4959*e-0.009*0.54=3.67，即這個歐式看漲期權(quán)的價格為3.67元。

34、從這個例子我們可以看出，B-S模型具有很強的應(yīng)用性，隨著近年來研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)它在許多情況下具有非常好的準(zhǔn)確性。但是，從它的七條假設(shè)可以看出，它的應(yīng)用范圍同時也具有一定的局限性。一方面假設(shè)市場是完全的且是無套利的，另一方面又假設(shè)市場是理想化的，甚至布萊克本人在后續(xù)的研究中也發(fā)現(xiàn)了自己模型假設(shè)中的不足?，F(xiàn)在人們對B-S模型的幾個普遍的看法為：(1) 模型對平值期權(quán)估價較為準(zhǔn)確，尤其是有效期較長切不支付紅利的期權(quán)；(2) 對于高度增值或者高度減值的期權(quán)估計偏差較大；(3) 對臨近到期日的期權(quán)估價偏差較大?？偟膩碚f，B-S模型還是一個相當(dāng)準(zhǔn)確且具有很大使用價值的期權(quán)定價模型。4.2 二叉樹模

35、型的應(yīng)用及評價已知某支股票價格過程滿足下列二叉樹模型。每個時間區(qū)間上的連續(xù)復(fù)利率均為5%，試計算執(zhí)行價格為45的歐式看漲期權(quán)0時刻的價格。 80 60 50 40 40 30 25 0時刻 1時刻 2時刻解：這是一個兩期的二叉樹模型問題。根據(jù)題中的條件，我們可以列出衍生品的價格過程，如下圖所示： 35 V(1) 5 V(0) 0 V(2) 0 0時刻 1時刻 2時刻首先考慮1時刻到2時刻的時間區(qū)間，先計算V(1)。在該節(jié)點上風(fēng)險中性概率測度下股價上升的概率為.于是，顯然有V(2)=0.其次考慮時刻0到時刻1的時間區(qū)間。在風(fēng)險中性概率測度下，股價上升的概率為.因此0時刻時該標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價格

36、為.對于二叉樹方法的評價有以下幾點：(1) 從這個例子可以看出，二叉樹模型的原理比B-S模型簡單許多，更容易理解；(2) 它可以解決美式期權(quán)中提前執(zhí)行期權(quán)的定價問題，彌補了B-S模型在這個問題上的不足，所以說這兩種模型有著互補的特點；(3) 二叉樹模型的計算較為簡便，但是對于維數(shù)較多、因素較多的問題，計算量會過大；(4) 二叉樹模型不能解決連續(xù)性問題，模擬隨機變量分布的局限性比較大。第五章 幾種變異期權(quán)模型及其應(yīng)用隨著近年來經(jīng)濟的發(fā)展，科學(xué)水平的不斷進步，金融市場也變得越來越完善，金融衍生品的種類逐漸多樣，一系列的新型期權(quán)和更精確的定價模型出現(xiàn)在人們面前，他們被稱為“變異期權(quán)”，這一章主要討論

37、這些變異期權(quán)及相關(guān)知識。5.1 特殊標(biāo)的物的期權(quán)在第二章提到過標(biāo)的物的概念，理論上大部分資產(chǎn)都可以作為期權(quán)的標(biāo)的物，那么就有一個新問題，如果標(biāo)的物就是一個期權(quán)呢？顯然這個問題與之前所說的期權(quán)不太一樣，這樣的期權(quán)通常被稱為復(fù)合期權(quán)。比如，你買入了一個看漲期權(quán)，這個看漲期權(quán)允許持有人有權(quán)購買另一個有效期更長的看漲期權(quán)，在下面例子中的復(fù)合期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)就是一個簡單期權(quán)。復(fù)合期權(quán)的種類如下： 標(biāo)的期權(quán)市場 看漲期權(quán) 看跌期權(quán)看漲期權(quán)的看漲期權(quán)看跌期權(quán)的看漲期權(quán)看漲期權(quán)的看跌期權(quán)看跌期權(quán)的看跌期權(quán)看漲期權(quán)看跌期權(quán)以上圖右上角為例，這個看跌期權(quán)即允許持有人有權(quán)利（但是不包括義務(wù)）買入另一個看漲期權(quán)。其他種

38、類的期權(quán)含義以此類推。在實際交易或者可能發(fā)生套現(xiàn)的場合，人們或許需要的不是期權(quán)，而是一個能買入某個期權(quán)的期權(quán)，所以這樣的復(fù)合型期權(quán)是很有實際意義的，下面用一個真實的案例來說明這一點。美國芝加哥的西北運輸公司有一筆用于融資的兩年期8億美元的貸款，他們想要規(guī)避掉美元上升帶來的損失。公司擔(dān)心利率將要上升，但相反，如果利率下降的話，公司又會錯過節(jié)省利息的機會。因此紐約化學(xué)銀行專門為他們定制合成了一個上限復(fù)合期權(quán)（購買上限的權(quán)益）。在1989年9月，芝加哥西北運輸公司與紐約化學(xué)銀行達成了兩年借款期間一系列歐式期權(quán)。執(zhí)行水平和6個月美元LIBOR相比設(shè)在10%和11%，并且從1990年9月開始的每六個月，

39、公司可以選擇是否執(zhí)行上限協(xié)議。上限復(fù)合期權(quán)的結(jié)構(gòu)包括兩部分，以當(dāng)前價格在未來購買上限協(xié)議的前期費用和如果公司選擇執(zhí)行期權(quán)時的執(zhí)行價格。上限復(fù)合期權(quán)的期權(quán)費大致為標(biāo)的上限協(xié)議價值的35%-40%。既然我們合成了復(fù)合期權(quán)，那么我們自然要考慮復(fù)合期權(quán)的定價問題，這個問題其實并沒有想象的那樣困難，羅伯特·格思科以股票復(fù)合期權(quán)為例，運用一個類似于B-S模型的公式對復(fù)合型期權(quán)定價進行了驗證，并得出了下列的結(jié)果：其中 V是標(biāo)的資產(chǎn)價格 A是標(biāo)的期權(quán)執(zhí)行價格E是復(fù)合期權(quán)執(zhí)行價格 M是雙變量正態(tài)分布T是復(fù)合期權(quán)到期日 T是標(biāo)的期權(quán)到期日t是當(dāng)前日期 r是無風(fēng)險利率是標(biāo)的市場波動率 T是股票價格事實上，

40、從一定程度上看，格思科的模型其實是先估計了股票的價格，然后才計算期權(quán)執(zhí)行價格，若將這個模型稍加改動，就能評估出一個具有提前執(zhí)行特征的復(fù)合期權(quán)的價值理論。5.2 特殊標(biāo)準(zhǔn)期限的期權(quán)5.2.1 百慕大期權(quán)百慕大期權(quán)一般多出現(xiàn)在固定收益市場，這個市場的債券在到期前的不同時間可以被贖回或者轉(zhuǎn)換。如果有投資者想要消除看漲期權(quán)或者看跌期權(quán)的影響時，可以利用百慕大期權(quán)，因為它允許持有人在有效期內(nèi)特定的幾個時間執(zhí)行期權(quán)。有關(guān)百慕大期權(quán)的定價理論基本上和美式期權(quán)定價模型一致，即利用二叉樹模型劃分節(jié)點進行計算，在這里不再贅述。5.2.2 二進制期權(quán)這個期權(quán)的內(nèi)容十分簡單，如果到期時標(biāo)的市場價格高于執(zhí)行價格則盈，低于則虧。這類期權(quán)的應(yīng)用在于“超股票”概念的提出?！俺善薄敝傅氖且环N特殊證券，如果到期日基金資產(chǎn)的價值在某個較低價值和較高價值之間，則“超股票”在到期日將給持有人相當(dāng)于資產(chǎn)一定比例的價值，反之則價值為0。這種期權(quán)的特點在于它為投資者提供了客戶化定制的組合損益。對于二進制期權(quán)的定價有很多種，由于二進制期權(quán)本身就有很多變種，不同的觸發(fā)條件還會產(chǎn)生不同的期權(quán)種類，在這里我們談?wù)撟詈唵蔚摹坝谢驘o”二進制期權(quán)的定價模型，它可以看作是B-S模型的調(diào)整股利后修改版或者延伸。其中 其中 S是股票價格； d是期間T內(nèi)的股票股利收入； E是期權(quán)敲定價格； T是1