(完整word版)直線與方程、圓

1、1、直線與方程(1) 直線的傾斜角定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。當(dāng)直線與x 軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為 0 度。因此，傾斜角的取值范圍是 0a 180。(2) 直線的斜率1定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。即k =tan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)隈三0 ,90時(shí)，k_0;當(dāng)二三90 ,180時(shí)，k .0;當(dāng):=90時(shí)，k 不存在。y2- y1過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k-(Xi = X2)X2_ X1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)xx-時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90;(2)k 與 R、

2、P-的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。(3) 直線方程1點(diǎn)斜式：y-y1=k(x-x1)直線斜率 k，且過點(diǎn)x1, y,注意：當(dāng)直線的斜率為 0時(shí)，k=0,直線的方程是 y=y1。當(dāng)直線的斜率為 90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因I 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于 X1，所以它的方程是 X=X1。2斜截式：y =kx，直線斜率為 k，直線在 y 軸上的截距為 b3兩點(diǎn)式：(x1- x2, y- y2)直線兩點(diǎn)X|, y1，X-, y-y-% x-為4截矩式：xy=1a b其中直線 I 與x

3、軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即 I 與x軸、y軸的截距分別為a,b。5一般式：Ax By C 0(A，B 不全為 0)注意：O各式的適用范圍特殊的方程如：平行于 x 軸的直線：y = b (b 為常數(shù));平行于 y 軸的直線：x=a (a 為常數(shù))；(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線(一) 平行直線系平行于已知直線Ax By C。=0(A0,B0是不全為 0 的常數(shù))的直線系：fx By C = 0(C 為常數(shù))(二) 過定點(diǎn)的直線系(i)斜率為 k 的直線系：y - y= k X - X。，直線過定點(diǎn) 怡，y；2(ii)過兩條直線I1: A1X B1y C 0，I-:

4、 A-x B-y C 0的交點(diǎn)的直線系方程為3Aix B1y C: A.X B2y C2=0(-為參數(shù))，其中直線l2不在直線系中(6)兩直線平行與垂直當(dāng) h : y = k|X b , l2：y = k2x b2時(shí)，h12：=ki= k2,bi= b2;h _I2：=kik2 -1注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否(7)兩條直線的交點(diǎn)l1: A1x B1y G = 0l2: A2x B2y0相交Ai x + Bv+G = 0交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組廣 BiyC1 0的一組解。AeX + B2y+C2= 0(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)Agy)，(X2，y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)

5、點(diǎn),則|AB|=(X2-X1)2(y2-)2(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P x, V0到直線 l1: Ax By 0 的距離d兩條直線的位置關(guān)系：(1)平行(不重合)的條件:方程組無方程組有無數(shù)解=li與l2重合_|Ax。+By+Cl112=k廠k2,且b = b2；hl2二_B1C1-C2AA2B2(2)兩條直線垂直的條件:h -12 =11 -12 =AA?BB2二0.(3)點(diǎn)到直線的距離公式：dAxBy。C,A2B2(4)直線到直線的距離公式:JA2B2二、圓的方程1、圓的定義:2、圓的方程平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x a f

6、 +(y b f = r2，圓心(a,b )，半徑為r；(2) 一般方程x2y2Dx Ey F = 04當(dāng) D2E2-4F 0 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為 _2 _E，半徑為r，D2 E2-4F(2 2 丿25當(dāng)D2E2-4F =0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2E2-4F : 0時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出 a，b，r ;若利用一般方程，需要求出 D, E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、 直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三

7、種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線I：Ax By C = 0，圓C : x - a2 y - b2二r2，圓心 C a,b 到 I 的距離為Aa Bb C，則有d r二I 與 C 相離；d = r二I與C相切；JA2+ B2d r = I與C相交（2）設(shè)直線I : Ax - By V = 0，圓C : x一a2 y - b2= r2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為 厶，則有二：0 ：= I 與 C 相離；、=0=I 與 C 相切；j0= I 與 C 相交2注:如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式XX。yy二r去解直線與圓相切的問題，其中x,y表 示切點(diǎn)坐標(biāo)

8、，r 表示半徑。（3）過圓上一點(diǎn)的切線方程：1圓 X2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為（X。，y），則過此點(diǎn)的切線方程為 xx yy r2（課本命題）.2 2 2 22圓（x-a） +（y-b） =r，圓上一點(diǎn)為（x, y），則過此點(diǎn)的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y-b）（y-b）= r （課 本命題的推廣）.4、 圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。22222o設(shè)圓C1:a1y -匕；=r ，C2: x - a2y - b2二R兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)d R r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)d = R r時(shí)