第11章反比例函數(shù)培優(yōu)主備陳飛

1、 初二數(shù)學 反比例函數(shù) 主備：陳飛第一課時·反比例函數(shù)的基本知識【學習目標】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質； 【重點難點】1、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；2、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質；【生活鏈接】學校課外生物小組的同學準備自己動手，用圍欄建一個面積為24m2的矩形飼養(yǎng)場（如右圖所示），設它的一邊長為x(m)，求另一邊長y(m)與x(m)之間的函數(shù)關系式.【問題探究】這個函數(shù)有什么特點?自變量的取值有什么限制?知識點1 反比例函數(shù)的定義一般地,形如(k為常數(shù),k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),

2、其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù),y的取值范圍也是不等于0的一切實數(shù),k叫做比例系數(shù),另外,反比例函數(shù)的關系式也可寫成y=kx-1的形式.y是x的反比例函數(shù)(k0) xy=k(k0) 變量y與x成反比例,比例系數(shù)為k.拓展 (1)在反比例函數(shù)(k0)的左邊是函數(shù)y,右邊是分母為自變量x的分式,也就是說,分母不能是多項式,只能是x的一次單項式,如,等都是反比例函數(shù),但就不是關于x的反比例函數(shù).(2)反比例函數(shù)可以理解為兩個變量的乘積是一個不為0的常數(shù),因此可以寫成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函數(shù)中,兩個變量成反比例關系.知識點2 用待定系數(shù)法確定反比

3、例函數(shù)的表達式由于反比例函數(shù)中只有一個待定系數(shù),因此只要有一對對應的x,y值,或已知其圖象上一點坐標,即可求出k,從而確定反比例函數(shù)的表達式.其一般步驟:(1) 設反比例函數(shù)關系式(k0).(2) 把已知條件(自變量和函數(shù)的對應值)代入關系式,得出關于k的方程.(3) 解方程,求出待定系數(shù)k的值.(4) 將待定系數(shù)k的值代回所設的關系式,即得所求的反比例函數(shù)關系式.知識點3 反比例函數(shù)圖象的畫法反比例函數(shù)圖象的畫法是描點法,其步驟如下:(1)列表:自變量的限值應以0為中心點,沿0的兩邊取三對(或三對以上)相反數(shù),分別計算y的值.(2)描點:先描出一側,另一側可根據(jù)中心對稱的性質去找.(3)連線

4、:按從左到右的順序用平滑的曲線連接各點,雙曲線的兩個分支是斷開的,延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢,但永遠不能與坐標軸相交.說明:在圖象上注明函數(shù)的關系式.拓展 (1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它有兩個分支,它的兩個分支是斷開的.(2)當k0時,兩個分支位于第一、三象限；當k0時，兩個分支位于第二、四象限.(3)反比例函數(shù)(k0)的圖象的兩個分支關于原點對稱.(4)反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交，這是因為x0，y0.知識點4 反比例函數(shù)(k0)的性質(1)如圖所示，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，反比例函數(shù)的圖象是由兩支曲線組成的.當k0

5、時，兩支曲線分別位于第一、三象限內；當k0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內。它們關于原點對稱，限圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形. (2)由反比例函數(shù)的圖象可知，當k0時，在每一象限內，y值隨x的增大而減小；當k0時，在每一象限內，y值隨x的增大而增大. (3)因為x0，所以圖象與y軸不可能有交點，國此，不論x取值何值時，y的值永不為0，同理，圖象與x軸也不可能有交點. 拓展 (1)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在的位置或函數(shù)的增減性，也可以判斷出k的符號. (2)反比例函數(shù)的增減性，只能在每個象限內討論，當k0時，在每一象限(第一

6、、三象限)y隨著x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說：當k0，y隨著x的增大而減小.同樣當k0時，也不能籠統(tǒng)地說：y隨x的增大而增大.（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)關系式y(tǒng)=kx(k0)(k0)圖象過原點的直線與坐標軸沒有交點的雙曲線自變量的取值范圍全體實數(shù)x0的全體實數(shù)圖象位置當k0時，圖象經過第一、三象限當k0時，圖象經過第二、四象限當k0時，圖象在第一、三象限當k0時，圖象在第二、四象限性質當k0時，y隨x的增大而增大當k0時，y隨x的增大而減小當k0時，在每一象限內，y隨x的增大而減小當k0時，在每一象限內，y隨x的增大而增大知識點5 反比例函數(shù)表達式中k

7、的幾何意義 如圖所示，過雙曲線上的任意一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，所得矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.因為，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為|k|.已知反比例函數(shù)可求矩形面積，反之，已知矩形面積可求反比例函數(shù).【解題方法小結】1）求反比例函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法.由于解析式中只有一個系數(shù)k，故只需給出一對x，y的對應值或一個點的坐標即可.（2）從函數(shù)(k0)的圖象上任意一點向x軸、y軸作垂線，與與兩坐標軸構成的矩形的面積均為|k|，一條垂線

8、段與坐標軸及該點與原點的連線構成的直角三角形的面積為第二課時·反比例函數(shù)的實際應用【學習目標】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質； 【重點難點】1.用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式；2.反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質；【生活鏈接】在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p（Pa）是受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如右圖所示.【問題探究】這個反比例函數(shù)應如何表示？【教材精析】（1）待定系數(shù)法：若題目提供的信息中明確此函數(shù)為反比例函數(shù)，則可設出反比例函數(shù)關系式為(k0)，然后求出k的值即可.（2）列方程

9、法：若題目信息中變量之間的函數(shù)關系不明確，在這種情況下，通常是列出關于函數(shù)（y）和自變量（x）的二元一次方程，進而解出函數(shù)，便得到函數(shù)關系式.生活中有許許多多成反比例關系的實例.如當路程s一定時，時間t與速度v成反比例關系，可以寫成（s是常數(shù)）；當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例關系，寫成（S的常數(shù)）；當面積是常數(shù)S時，三角形的底邊長y與這一底上的高x成反比例關系，寫成（S是常數(shù)）.練習：一、選擇題1. 反比例函數(shù)（為常數(shù))的圖像在 （ ）A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限2. 某物質的密度（kg/m3)關于其體積(m3)的函數(shù)圖像如圖所示，那么與之間的

10、函數(shù)表達式是 ( ) A. = B. = C. = D. =3 第2題 第4題 第5題 第7題 第8題3. 在同一平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像沒有交點，則實數(shù)的取值范圍在數(shù)軸上可表示為 ( ) A B C D 4. (2015·連云港)如圖，是坐標原點,菱形的頂點的坐標為(3,4)，頂點在軸的負半軸上，函數(shù)的圖像經過頂點,則的值為 ( )A.一12 B.一27 C.一32 D.一365. (2015·三明)如圖，是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點，連接并延長交另一分支于點，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，兩垂線交于點，隨著點的運動，點的位置也隨之變

11、化.設點的坐標為，則、滿足的表達式為( )A. B. C. D.6. (2015·龍巖)已知是反比例函數(shù)圖像上異于點(一1，1)的一個動點，則的值為 ( )A. 2 B. 1 C. D. 7. (2015·眉山) 如圖，、是雙曲線上的兩點，過點作軸，交于點，垂足為.若的面積為1,為的中點，則的值為 ( )A. B. C. 3 D. 4 8. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于、兩點,以為邊在第一象限作正方形，點在雙曲線上.將正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點恰好落在該雙曲線上，則的值是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空題9. 在的三個頂點、

12、中，可能在反比例函數(shù) 的圖像上的是點 .10. 已知函數(shù)，當0時，隨的增大減小，則的取值范圍是 .11. 已知直線與雙曲線的一個交點是，則點的坐標是 ，雙曲線 = .12. 在對物體做功一定的情況下，力(N)與此物體在力的方向上移動的距離(m)之間成反比例函數(shù)關系，其圖像如圖所示，且點在其圖像上，則當力達到10 N時，物體在力的方向上移動的距離是 m. 第12題 第13題 第14題13. (2015·濟南)如圖，等邊三角形的頂點的坐標為(4,0)，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，則= .14. 如圖， 是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點作，使點、在軸上，點在軸上，若的面積為8，則此反比例函數(shù)的

13、表達式為 .15. 如圖，一次函數(shù)的圖像經過點，與反比例函數(shù)的圖像交于點.當一次函數(shù)的值隨值的增大而增大時，的取值范圍是 . 第l5題 第17題 第18題16. (2015·泰州)點、在反比例函數(shù)的圖像上，若，則的取值范圍是 .17. 如圖， 是軸正半軸上的一點，過點作軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖像于點，交反比例函數(shù)的圖像于點.若,則的值是 .18. 如圖，直線分別與雙曲線在第一象限內交于點、,若，則= .三、解答題19.我們學過反比例函數(shù)，例如，當矩形面積一定時，長是寬的反比例函數(shù)，其函數(shù)表達式可以寫成 (為常數(shù)，).請你仿照上例另舉出一個在日常生活、生產或學習中具有反比例函數(shù)關系

14、的實例，并寫出它的函數(shù)表達式.20. (2015·甘孜改編)如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)在第一象限內的圖像交于和兩點. (1)求反比例函數(shù)的表達式; (2)在第一象限內，當一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時，寫出自變量的取值范圍. 第20題21.如圖，在方格紙中(小正方形的邊長為1 ), 反比例函數(shù)的圖像與直線的交點、均在格點上，根據(jù)所給的平面直角坐標系(是坐標原點).解答下面的問題:（1）分別寫出點、的坐標后，把直線向右平移5個單位長度。再向上平移5個單位長度，畫出平移后的直線；（2）若點在函數(shù)的圖像上，是以為底的等腰三角形，請直接寫出點 的坐標. 22. (2015·

15、吉林)如圖，點關于原點的對稱點為點，分別過點、作軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像交于點、，連接、，與軸交于點.(1)求的值;(2)直接寫出陰影部分面積之和. 第22題 23. (2015·蘭州)如圖，、是一次函數(shù)與反比例函數(shù) 圖像的兩個交點，軸于點,軸于點. (1)根據(jù)圖像直接回答:在第二象限內，當取何值時，?(2)求一次函數(shù)的表達式及的值. 第23題(3) 是線段上一點，連接、，若和面積相等，求點的坐標. 24. 如圖，小華設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗:在一根質地均勻的木桿中點的左側固定位置處懸掛重物，在中點的右側用一個彈簧秤向下拉，改變彈簧秤與點的距離 (cm)，觀察彈簧秤的示數(shù)（N）的變化情況.實驗數(shù)據(jù)記錄如下表: /cm1015202530/N3020151210 (1)把上表中、的各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中(如圖所示)描出相應的點，用平滑的曲線連接這些點并觀察所得到的圖像，猜測（N）與 (cm)之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)表達式. (2)當彈簧秤的示數(shù)為24N時，求彈簧秤與點的距離.隨著彈簧秤與點的距離不斷減小，彈簧秤上的示數(shù)將發(fā)生怎樣的變化? 參考答案一、題號12345678答案BACCBBBB二、 9. B10. 11. (2,4) 120.51314151316 11 17 186三