平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.2 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示問題提出問題提出t57301p2 1. 1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？法則？ 2. 2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算a？ （1 1）|a a|=|=|a a| |；（2 2）0 0時(shí)，時(shí)，a與與a方向相同；方向相同；0 0時(shí)，時(shí)，a與與a方向相反；方向相反；=0=0時(shí)，時(shí)，a=0.=0.3.3.平面向量共線定理是什么？平面向量共線定

2、理是什么？ 4.4.如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重力為力為G G，下滑力為，下滑力為F F1 1，木塊對斜面的壓，木塊對斜面的壓力為力為F F2 2，這三個(gè)力的方向分別如何？，這三個(gè)力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？三者有何相互關(guān)系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a與向量與向量b共線共線 存在唯存在唯一實(shí)數(shù)一實(shí)數(shù)，使，使ba. . 5.5.在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算就是向量的加法運(yùn)算. .力也可以分解，力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩

3、個(gè)不同方向的分力之和成兩個(gè)不同方向的分力之和. .將這種力將這種力的分解拓展到向量中來，就會(huì)形成一個(gè)的分解拓展到向量中來，就會(huì)形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論新的數(shù)學(xué)理論. .探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2思考思考2 2：如圖，設(shè)如圖，設(shè)OAOA，OBOB，OCOC為三條共為三條共點(diǎn)射線

4、，點(diǎn)射線，P P為為OCOC上一點(diǎn)，能否在上一點(diǎn)，能否在OAOA、OBOB上分別找一點(diǎn)上分別找一點(diǎn)M M、N N，使四邊形，使四邊形OMPNOMPN為平為平行四邊形？行四邊形？M MN NO OA AB BC CP P思考思考7 7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量量a都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量向量e1 1，e2 2表示出來，從而可形成一個(gè)表示出來，從而可形成一個(gè)定理定理. .你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容嗎？嗎？若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面

5、內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對實(shí)數(shù)一對實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.思考思考8 8：上述定理稱為上述定理稱為平面向量基本定理平面向量基本定理，不共線向量不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組有向量的一組基底基底. . 那么同一平面內(nèi)可那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對以作基底的向量有多少組？不同基底對應(yīng)向量應(yīng)向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且

6、只有一對實(shí)數(shù)一對實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 00，180180 思考思考1 1：不共線的向量有不同的方向，對不共線的向量有不同的方向，對于兩個(gè)非零向量于兩個(gè)非零向量a和和b，作，作 a， b，如圖如圖. .為了反映這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，為了反映這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，稱稱AOBAOB為向量為向量a與與b的的夾角夾角. .你認(rèn)為向量你認(rèn)為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？OAOB baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量a與與b的夾角是的夾角是909

7、0，則，則稱稱向量向量a與與b垂直垂直，記作，記作ab. . 互相垂直互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？一組基底？ba思考思考3 3：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如圖，向如圖，向量量i、j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與與i的夾角是的夾角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j為基底，向量為基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P2 32aij思考思考4 4：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取

8、與在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個(gè)單位向量軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我們把我們把有序數(shù)對（有序數(shù)對（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐標(biāo)，記作的坐標(biāo)，記作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x軸上軸上的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，y y叫做叫做a在在y y軸軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量上的坐標(biāo)，上式叫做向量的的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示. .那么那么x x、y y的的幾

9、何意義如何？幾何意義如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量量 a，則，則 (x(x，y)y)，此時(shí)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A A是坐是坐標(biāo)是什么？標(biāo)是什么？OA OA A Aaix xy yO OjA(x,yA(x,y) )理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，已知向量如圖，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2. .e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2例例2 2 如圖，寫出向量如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標(biāo)的坐標(biāo). .2452abcd4 252xyOa=(

10、2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn)一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn). .2.2.向量的夾角是反映兩個(gè)向量相對位置向量的夾角是反映兩個(gè)向量相對位置關(guān)系的一個(gè)幾何量，平行向量的夾角是關(guān)系的一個(gè)幾何量，平行向量的夾角是0 0或或180180，垂直向量的夾角是，垂直向量的夾角是9090.

11、 . 3. 3.向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義義. .將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo). .2.3.3 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示問題提出問題提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量則

12、對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對實(shí)數(shù)一對實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？設(shè)設(shè)i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個(gè)單位向軸同向的兩個(gè)單位向量，若量，若axiyj，則，則a( (x x，y y).).3.3.用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新的途徑的途徑. .我們需要研究的問題是，我們需要研究的問題是，向量向量的和、差、數(shù)乘運(yùn)

13、算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反運(yùn)算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反映等映等. .探究（一）：探究（一）：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 思考思考1 1：設(shè)設(shè)i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個(gè)軸同向的兩個(gè)單位向量，若單位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),則則ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，思考思考2 2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ab，ab，a的坐標(biāo)分別如何？的坐標(biāo)分別如何？ab(x1x2，y1y2); ab

14、(x1x2，y1y2); a(x1，y1).思考思考3 3：如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算？的坐標(biāo)運(yùn)算？ 兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). .ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).o ox xy yB BA AAB AB 思考思考4 4：如圖如圖, ,已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y

15、2 2) )，那么向量那么向量 的坐標(biāo)如何？一般地，一個(gè)的坐標(biāo)如何？一般地，一個(gè)任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？ (x2x1，y2y1). 任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo). .思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，則，則| |a| |如何計(jì)如何計(jì)算？若點(diǎn)算？若點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，則，則 如何計(jì)算？如何計(jì)算？ AB 222121AB(xx )(yy ) A Aax xy yO O22xya 探究（二）：探究

16、（二）：平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共線（其中共線（其中b0），），那么那么a，b滿足什么關(guān)系？滿足什么關(guān)系？思考思考2 2：設(shè)設(shè)a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向若向量量a，b共線（其中共線（其中b0），則這兩個(gè)向量），則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？ ab.向量向量a，b（b0）共線共線 1221x yx yax xy yO ObA AB BC CD DA BC Dkk=思考思考3 3：如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)論？論？向量向量a，b（b0）共線共線 1221x yx y理論遷移理論遷移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐標(biāo)的坐標(biāo). . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例例2 2 如圖，已知如圖，已知 ABCDABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是A A（-2-2，1 1）、）、