數(shù)學建模的實驗報告

1、 一、 問題路燈照明問題。在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為5m和6m。在漆黑的夜晚，當兩只路燈開啟時，兩只路燈連線的路面上最暗的點和最亮的點在哪里？如果3kw的路燈的高度可以在3m到9m之間變化，如何路面上最暗點的亮度最大？如果兩只路燈的高度均可以在3m到9m之間變化，結(jié)果又如何？二、 數(shù)學模型已知P1為2kw的路燈，P2為3kw的路燈，以地面為X軸，路燈P1為Y軸，建立平面直角坐標系。其中，P1、P2高度分別為h1、h2，水平距離為S=20m。設(shè)有一點Q(x，0)，P1、P2分別與其相距R1、R2。如下圖示。R1R2P2h2P1h11Q

2、2xSxyO經(jīng)查閱資料得，光照強度公式為：，設(shè)光照強度k=1。則，兩個路燈在Q點的光照強度分別為： 其中：R12=h12+x2 R22=h22+(S-x)2則Q點的光照強度Ix=I1+I2分別按照題目中的不同要求，帶入不同數(shù)值，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為零，求得極值，進一步分析對比，求得最值。三、 算法與編程1. 當h1=5m，h2=6m時:symptoms x yx=0:0.1:20;y=10./sqrt(25.+x.2)3)+18./sqrt(36.+(20-x).2).3);plot(x,y)grid on; 在圖中的0-20米范圍內(nèi)可得到路燈在路面照明的最亮點和最暗點 對Ix求導(dǎo)：syms xf=

3、10./sqrt(25.+x.2)3)+18./sqrt(36.+(20-x).2).3) 運用MATLAB求出極值點s=solve('(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2)');s1=vpa(s,8) s1 = .28489970e-1 8.5383043+11.615790*i 19.976696 9.3382991 8.5383043-11.615790*i根據(jù)實際要求，x應(yīng)為正實數(shù)，選擇19.9767、9.3383、0.02849三個數(shù)值，通過MATLAB計算出相應(yīng)的I值：syms xI=10/(25+x2)(

4、3/2)+18/(36+(20-x)2)(3/2);subs(I,x,19.9767)subs(I,x,9.3383)subs(I,x,0.02849) ans = 0.0845ans = 0.0182ans =0.820 x0.028499.3382919.9766I0.0820 0.01820.0845綜上，在19.3米時有最亮點；在9.33米時有最暗點2.當h1=5m，3m<h2<9m時： 對h2求偏導(dǎo)，并令其為0：運用MATLAB求出極值點solve('3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0') an

5、s = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 對x求偏導(dǎo)，并令其為0： 通過MATLAB，將步驟中計算出的關(guān)于h2的表達式帶入上式，并求出h2的值；solve('-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0') ans = 7.4223928896768612557104509932965通過MATLAB，利用已求得的h2，計算得到x，并進一步計算得到Ih=7.42239;x=20-2(1/2)*hI=10/(25+x2)(

6、3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) x = 9.5032I =0.0186 3當h1，h2均在3m-9m之間時:同上，通過MATLAB求解下面的方程組：solve('p1/(h12+x2)(3/2)-3*p1*h12/(h12+x2)(5/2)')solve('3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0')ans = 2(1/2)*h1 -2(1/2)*h1ans = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 根據(jù)實際，選擇x=h1，x=20-h2，帶入第三個式中，得：利用MATL

7、AB，求得x值：s=solve('1/(20-x)3)=2/(3*(x3)');s1=vpa(s,6)s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i 按照實際需求，選擇x=9.32525 帶入求解I，并比較得到亮度最大的最暗點h1=(1/sqrt(2)*9.32525h2=(1/sqrt(2)*(20-9.32525) h1 = 6.5939h2 = 7.5482 四、 計算結(jié)果1.當h1=5m，h2=6m時:x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.0

8、18243930.084476550.08447468x=9.33m時，為最暗點，I=0.01824393；x=19.97m時，為最亮點，I=0.08447655。2.當h1=5m，3m<h2<9m時：x=9.5032,h2=7.42239時，路面上最暗點的亮度最大，I=0.0186w。3.當h1，h2均在3m-9m之間時:h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525時，路面上最暗點的亮度最大。2 火箭問題 小型火箭初始重量為1400kg，其中包括1080kg燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時燃料的燃燒率為18kg/s，由此產(chǎn)生32 000N的推力，火箭引擎在燃料用盡時關(guān)閉。設(shè)

9、火箭上升時的空氣阻力正比于速度的平方，比例系數(shù)為0.4kg/m。求引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度、速度、加速度，及火箭到達最高點時的高度和加速度，并畫出高度、速度、加速度隨時間變化的圖形。解析：火箭上總共攜帶燃料1080kg，燃料燃燒率為18kg/s，火箭上升時間t=60s時，燃料全部燒盡。阻力正比于速度的平方，比例系數(shù)0.4kg/m，可知阻力表達式為f=0.4v2。由于燃料燃燒，火箭的質(zhì)量是時間的函數(shù)，m(t)=11400-18t火箭升空速度和加速度變化可分為兩個階段；第一階段：燃料燃燒產(chǎn)生的推力恒定，隨著燃料的不斷消耗，火箭的質(zhì)量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是變化的，由牛頓第二定律，根據(jù)

10、速度與時間關(guān)系，建立微分方程組。第二階段，燃料耗盡，此時火箭的質(zhì)量m恒定。引擎關(guān)閉的瞬間，火箭剩余質(zhì)量：m=1400-1080=320kg，由于火箭運動受到阻力的作用，火箭先加速，后減速?；鸺龑⑦_到最高速度。五、 算法與編程由題目已知條件可設(shè)置變量：加速度a 質(zhì)量m 時間t 速度v 合力f求出有關(guān)于v的微分方程第一階段clearsyms a m t v fm=1400-18*tf=32000-0.4*v2-9.8*ma=f/mm = 1400-18*t f = 18280+882/5*t-2/5*v2 a = (18280+882/5*t-2/5*v2)/(1400-18*t)odefun=(

11、t,v)(18280+882/5*t-2/5*v2)/(1400-18*t); s = cumsum(v).*0.1; subplot(2,2,1) plot(t,s); grid on xlabel('時間');ylabel('高度')title('1.h/t') t,v=ode45(odefun,0:0.1:60,0); subplot(2,2,2) plot(t,v); grid on xlabel('時間');ylabel('速度')title('2.v/t') a=diff(v)/0.1;

12、 t2 = 0:0.1:59.9; subplot(2,2,3) plot(t2,a); grid on xlabel('時間');ylabel('加速度')title('3.a/t') 第二階段火箭由重力作用上升，燃料耗盡后火箭質(zhì)量為320kg。由牛頓第二定律可再次列出微分方程，t>60s.記y =(h, v)Tfunction dy = Rocket(t,y)dy=v;-9.8-0.4*v.2/320;ts=0:60x0=0,0;t,x=ode45(Rocket,ts,x0);t,xfor n=1:2000T=100-0.01*n;ts

13、s=60:0.02:T;y0=x(61,1),x(61,2);option=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);t2,y=ode45(Rocket,tss,y0,option);t2,y;if y(:,2)>=0breakendendplot(t,x(:,1),'b',t2,y(:,1),'r'),grid,title('圖1.高度-時間')xlabel('t/s')ylabel('h/m')pause plot(t,x(:,2),'b',t2,y(:,2),'r'),grid, title('圖2.速度-時間') xlabel('t/s') ylabel('v/(m/s)')pausea=(32000-0.4*x(:,2).2)./(1400-18*t)-9.8;a2=-9.8-0.4*y(:,2).2/320;plot(t,a,'b',t2,a2,'r'),grid,title('圖3.加速度-