R語言 非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析

1、整理ppt第五講 非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析整理ppt本講內(nèi)容整理ppt本講內(nèi)容整理pptCramer分解定理（1961）任何一個時間序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即txtttx確定性影響隨機(jī)性影響taB)(djjjt0整理ppt差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)Cramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息 diitiditdtdxCxBx0) 1()1 (整理ppt差分方式的選擇原序列時序圖差分后序列時序圖 序列蘊(yùn)含著顯

2、著的線性趨勢，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢平穩(wěn) 整理ppt序列蘊(yùn)含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響 整理ppt差分后序列時序圖一階差分二階差分整理ppt例：差分運(yùn)算提取1995年1月2000年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息 對于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長為周期長度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息 整理ppt12步差分1階12步差分整理ppt過差分 足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費(fèi) 整理ppt例:假設(shè)序列如下 考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差 ttatx10整理ppt比較一階

3、差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar整理ppt二、ARIMA模型（一）ARIMA模型介紹（二）疏系數(shù)模型（三）季節(jié)模型整理pptARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場合：差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)tsExtsEVarEBxBtsstttttd, 0, 0)(,)(0)()()(2，整理pptARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)p=0ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)d=1,

4、P=q=0ARIMA(p,d,q)=random walk model整理ppt隨機(jī)游走模型( random walk)模型結(jié)構(gòu)模型產(chǎn)生典故Karl Pearson(1905)在自然雜志上提問：假如有個醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsExtsEVarExxtsstttttt, 0, 0)(,)(0)(21，整理pptARIMA模型的性質(zhì) ARIMA(0,1,0)時序圖整理pptARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)差分運(yùn)算YN白噪聲檢驗(yàn)Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型整理ppt例:對1952-1988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際

5、國民收入指數(shù)序列建模 整理ppt一階差分序列時序圖整理ppt一階差分序列自相關(guān)圖整理ppt一階差分后序列白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442整理ppt擬合ARMA模型偏自相關(guān)圖整理ppt建模 整理ppt課后問題用R擬合以下三個模型的區(qū)別，三個模型的表達(dá)式分別是什么形式？arima(x,order=c(1,1,0)arima(diff(x),order=c(1,0,0)arima(x,order=c(1,1,0),xreg=1:length(x)整理pptARIMA模型預(yù)測原則最小均方誤差預(yù)測原理 Green函數(shù)遞推公式j(luò)d

6、pjdpjj1122112111整理ppt預(yù)測值)()(111111tltltlltltltx)(let)( lxt22121)1 ()(0)(lttleVarleE整理ppt例：已知ARIMA(1,1,1)模型為 且求 的95的置信區(qū)間 ttBxBB)6 . 01 ()1)(8 . 01 (5 . 41tx3 . 5tx8 . 0t123tx整理ppt預(yù)測值等價形式計算預(yù)測值69. 5) 1 (8 . 0)2(8 . 1) 3(59. 58 . 0) 1 (8 . 1)2(46. 56 . 08 . 08 . 1) 1 (1ttttttttttxxxxxxxxx12126 . 08 . 08

7、 . 1)6 . 01 ()8 . 08 . 11 (tttttttxxxBxBB整理ppt計算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95置信區(qū)間36. 18 . 08 . 12 . 16 . 08 . 11212896. 4)1 ()3(22221eVar)75. 9 ,63. 1 ()3(96. 1) 3(,)3(96. 1) 3(eVarxeVarxtt整理ppt例續(xù)：對中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測 整理ppt（二）疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個獨(dú)立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù) 或

8、部分移動平滑系數(shù) 為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。qp,11pjj1 ,qkk1 ,整理ppt疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零移動平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為),),(1qdppARIMAm),( ,(1nqqdpARIMA),( ,),(11nmqqdppARIMAmpp,1nqq,1整理ppt例：對1917年1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模 整理ppt自相關(guān)圖整理ppt偏自相關(guān)圖整理ppt建模

9、整理ppt（三）季節(jié)模型1、簡單季節(jié)模型2、乘積季節(jié)模型 整理ppt1、簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加法關(guān)系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下 ttttITSxttdDBBx)()(整理ppt例：擬合19621991年德國工人季度失業(yè)率序列 整理ppt差分平穩(wěn)對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時序圖如下 整理ppt白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值643.840.00011251.710.00011854.480.00012整理ppt差分后序列自相關(guān)圖差分后序列仍有一定季節(jié)效應(yīng)，

10、延遲4階后，自相關(guān)系數(shù)有一個反彈。延遲1階到3階，延遲4階到7階衰減非常迅速，故該序列具有短期相關(guān)性。整理ppt差分后序列自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖除了1階和4階偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其他階數(shù)基本都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)波動。所以嘗試擬合疏系數(shù)模型AR(1,4)整理ppt模型擬合 整理ppt預(yù)測整理ppt2、乘積季節(jié)模型整理ppt2、乘積季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢效應(yīng)和隨機(jī)波動之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系。 整理ppt例:擬合1948-1981年美國女性月度失業(yè)率序列 1、檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性整理ppt差分平穩(wěn)一階、12步差分：x.dif=dif

11、f(diff(x),12)plot(x.dif)整理ppt差分后序列自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖延遲12階（偏）自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，差分后序列蘊(yùn)含顯著季節(jié)效應(yīng)。延遲1、2階（偏）自相關(guān)系數(shù)大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差。整理ppt簡單季節(jié)模型擬合結(jié)果嘗試擬合：ARIMA(1,12),(1,12),0)模型x.fit=arima(x,order=c(12,1,0),seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12),transform.par=F,fixed=c(NA,0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0,NA)ARIMA(0,(1,12),(1,12)模型x.fit=a

12、rima(x,order=c(0,1,12),seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12),transform.par=F,fixed=c(NA,0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0,NA)ARIMA(1,(1,12),1)模型x.fit=arima(x,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀行哉韕pt構(gòu)造乘積季節(jié)模型構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型

13、結(jié)構(gòu)如下：簡記為：ARIMA(p,d,q)ARIMA(P,D,Q)s tSStDSdBBBBx)()()()(整理ppt續(xù)前例：乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12參數(shù)估計：x.fit=arima(x,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12)ttBBBx)7923.01(7837.016695.011212整理ppt模型檢驗(yàn)整理ppt乘積季節(jié)模型擬合效果圖整理ppt本講內(nèi)容整理pptARIMA模型的缺陷：差分方法，難以對模型進(jìn)行直觀解釋。整理ppt第二部分 殘差自回歸（ Auto-Regressi

14、ve ）模型構(gòu)造思想首先通過確定性因素分解方法提取序列中主要的確定性信息然后對殘差序列擬合自回歸模型（殘差自相關(guān)），以便充分提取相關(guān)信息 ttttSTxtptptta11整理pptAuto-Regressive模型結(jié)構(gòu)1, 0),(,)(, 0)(211iaaCovaVaraEaSTxitttttptptttttt整理ppt1、對趨勢效應(yīng)的常用擬合方法自變量為時間t的冪函數(shù)自變量為歷史觀察值tkktttT10tktkttxxT110整理ppt2、對季節(jié)效應(yīng)的常用擬合方法給定季節(jié)指數(shù)建立季節(jié)自回歸模型ttSSlmtlmttxxT10整理ppt續(xù)前例使用Auto-Regressive模型分析195

15、21988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列。時序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢，但沒有季節(jié)效應(yīng)，所以考慮建立如下結(jié)構(gòu)的Auto-Regressive模型 1, 0),(,)(, 0)(, 3 , 2 , 1,211iaaCovaVaraEatTxitttttptpttttt整理ppt趨勢擬合（qr）方法一：變量為時間t的冪函數(shù)t=c(1:37)x.fit1=lm(xt)summary(x.fit1), 3 , 2 , 1,5158. 41491.66ttTt整理ppt趨勢擬合（qr）方法二：變量為一階延遲序列值xlag=x1:36x2=x2:37x.fit3=lm(x2xlag-1) #刪除截

16、距（-1）summary(x.fit3)1tx, 3 , 2 , 1,0365. 11txxtt整理ppt趨勢擬合效果圖殘差白噪聲檢驗(yàn)整理ppt3、殘差自相關(guān)檢驗(yàn)檢驗(yàn)原理回歸模型擬合充分，殘差的性質(zhì)回歸模型擬合得不充分，殘差的性質(zhì)1,0),(jEjtt1,0),(jEjtt整理pptDurbin-Waston檢驗(yàn)（DW檢驗(yàn)） 假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列不存在一階自相關(guān)性 備擇假設(shè)：殘差序列存在一階自相關(guān)性 0:0),(:010HEHtt0:0),(:010HEHtt整理pptDW統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量DW統(tǒng)計量和自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系nttntttDW12221)(12DW整理pptDW統(tǒng)計量的判定結(jié)果正相

17、關(guān)相關(guān)性待定不相關(guān)相關(guān)性待定負(fù)相關(guān)04LdUd2Ld4Ud4整理ppt續(xù)前例：1952-1988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列檢驗(yàn)第一個確定性趨勢模型 殘差序列的自相關(guān)性。, 3 , 2 , 1,5158. 41491.66ttxtt整理pptDW檢驗(yàn)結(jié)果library(lmtest)dwtest(x.fit1)檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)論檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。整理pptDurbin h檢驗(yàn) DW統(tǒng)計量的缺陷當(dāng)回歸因子包含延遲因變量時，殘差序列的DW統(tǒng)計量是一個有偏統(tǒng)計量。在這種場合下使用DW統(tǒng)計量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關(guān)性不顯著的誤判 Durbin h檢驗(yàn)21nnDWDh整理ppt續(xù)前例：1

18、952-1988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列檢驗(yàn)第二個確定性趨勢模型 殘差序列的自相關(guān)性。, 3 , 2 , 1,0365. 11txxttt整理pptDh檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)論檢驗(yàn)結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。Dh統(tǒng)計量的值P值2.80380.0025整理ppt4、殘差序列擬合確定自回歸模型的階數(shù)參數(shù)估計模型檢驗(yàn)整理ppt續(xù)前例：1952-1988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列對第一個確定性趨勢模型的殘差序列 進(jìn)行擬合, 2 , 1,5158. 41491.66ttxTxtttt整理ppt確定自回歸模型階數(shù)整理ppt模型擬合定階：AR(2)參數(shù)估計方法極大似然估計最終擬合模型口徑模型檢驗(yàn)

19、參數(shù)檢驗(yàn)ttttttatx215848. 04859. 15158. 41491.69整理ppt三個擬合模型的比較嘗試不同模型比較ARIMA（0,1,1）x.fit4=arima(x,order=c(0,1,1),xreg=1:length(x)整理ppt本講內(nèi)容整理ppt-.004-.0020.002.004dlnusd02004006008001000d-.004-.0020.002.004dlnusd500600700800900d整理ppt一、異方差的性質(zhì))()(thVart整理ppt1、異方差直觀診斷殘差圖殘差平方圖整理ppt殘差圖方差齊性殘差圖遞增型異方差殘差圖整理ppt殘差平方圖

20、原理殘差序列的方差實(shí)際上就是它平方的期望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn) )()(2ttEVar整理ppt例直觀考察美國1963年4月1971年7月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。 整理ppt一階差分后殘差圖整理ppt一階差分后殘差平方圖整理ppt2、異方差處理方法假如已知異方差函數(shù)具體形式，進(jìn)行方差齊性變化假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型 整理ppt二、方差齊性變換使用場合序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系 其中： 是某個已知函數(shù)處理思路嘗試尋找一個轉(zhuǎn)換函數(shù) ，使得經(jīng)轉(zhuǎn)換后的變量滿足方差齊性)(2tth)(h)(g2

21、)(txgVar整理ppt轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理轉(zhuǎn)換函數(shù) 在 附近作一階泰勒展開求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定)(txgt)()()()(tttttgxgxg)()()()()()(2ttttttthggxgVarxgVar)(1)(tthg整理ppt常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定假定轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定2)(tttth)log()(1)(1)(tttttghg整理ppt例續(xù)對美國1963年4月1971年7月短期國庫券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進(jìn)行分析 假定函數(shù)變換ttx)log(ttxy 整理ppt對數(shù)序列時序圖整理ppt一階差分后序列圖整理ppt白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值63.580.73371

22、210.820.54411821.710.2452整理ppt擬合模型口徑及擬合效果圖ttx)log(整理ppt三、條件異方差模型整理ppt1、ARCH模型將歷史波動信息作為條件，并采用某種自回歸形式來刻畫波動的變化假定原理通過構(gòu)造殘差平方序列的自回歸模型來擬合異方差函數(shù) ARCH(q)模型結(jié)構(gòu)qjjtjtttttttthehxxtfx1221),() 1 , 0( Nhtt整理pptARCH檢驗(yàn)：異方差自相關(guān)檢驗(yàn)Portmantea Q檢驗(yàn)拉格朗日乘子（LM）檢驗(yàn) 整理pptPortmantea Q檢驗(yàn)假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計量檢驗(yàn)結(jié)果拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)不全為零qqHH,:0:211210) 1()2()(212qinnnqQqii) 1()(21qqQ) 1()(21qqQ整理p