流動(dòng)傳熱與燃燒的數(shù)值計(jì)算4控制容積法

1、1.3控制容積控制容積法法控制容積法可以看作是加權(quán)余量法的一個(gè)特別分支。控制容積法可以看作是加權(quán)余量法的一個(gè)特別分支。 令權(quán)函數(shù)令權(quán)函數(shù)W i=1，把整個(gè)求解域劃分成把整個(gè)求解域劃分成N 個(gè)互不重個(gè)互不重疊的子區(qū)域（控制容積），使每個(gè)控制容積內(nèi)有疊的子區(qū)域（控制容積），使每個(gè)控制容積內(nèi)有一個(gè)結(jié)點(diǎn)，將守恒型的微分方程在每個(gè)控制容積一個(gè)結(jié)點(diǎn)，將守恒型的微分方程在每個(gè)控制容積內(nèi)積分，結(jié)果就得到一組（內(nèi)積分，結(jié)果就得到一組（N個(gè)）包含結(jié)點(diǎn)個(gè)）包含結(jié)點(diǎn)值的值的離散方程。離散方程。控制容積法最吸引人的地方是其物理上的合理性，控制容積法最吸引人的地方是其物理上的合理性，即某些物理量（質(zhì)量、動(dòng)量、能量）在每個(gè)

2、控制即某些物理量（質(zhì)量、動(dòng)量、能量）在每個(gè)控制容積內(nèi)嚴(yán)格滿足積分平衡。容積內(nèi)嚴(yán)格滿足積分平衡。一、控制容積法解題步驟：一、控制容積法解題步驟：1.將守恒型的控制方程在任意控制容積及時(shí)間間將守恒型的控制方程在任意控制容積及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間積分。隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間積分。2.選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分局部分布曲線（型線）布曲線（型線），也就是確定如何從相鄰結(jié)點(diǎn)，也就是確定如何從相鄰結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值來表示控制容積界面上的函數(shù)值。的函數(shù)值來表示控制容積界面上的函數(shù)值。3.對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線作出積分，得到關(guān)于結(jié)對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線作出積分，得到關(guān)于結(jié)點(diǎn)上函

3、數(shù)值的代數(shù)方程組。點(diǎn)上函數(shù)值的代數(shù)方程組。4.求解代數(shù)方程組，得到結(jié)點(diǎn)上函數(shù)值。求解代數(shù)方程組，得到結(jié)點(diǎn)上函數(shù)值。： uStxxx 以以一一維維非非穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)對(duì)對(duì)流流擴(kuò)擴(kuò)散散方方程程為為例例：WPEwex(x)w(x)e： 12ettttewttwttettetwtwetttttewwtPudtdxdxdttxdxdtSdxdtxxdxuudt 1 14 44 44 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 44 44 44 4 3 31 14 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 42 24 44 44 44 44 44 44 44 44 44

4、44 4 3 31 1. .將將控控制制方方程程在在典典型型控控制制容容積積 中中對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間 t t和和空空間間 x x積積分分將將可可積積分分的的部部分分積積出出 43ttttettwewdtSdxdtxx 1 14 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 4 4 4 3 31 14 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 4 4 42 24 44 44 44 44 44 44 44 44 44 44 4 4 4 3 32.為了完成上述各項(xiàng)積分，需要對(duì)各項(xiàng)中變量為了完成上述各項(xiàng)積分，需要對(duì)各項(xiàng)中變量的型線作出選擇。的型線作出選擇。常用的型線有

5、兩種：常用的型線有兩種：（1）階梯式分布：每個(gè)控制容積內(nèi)函數(shù)值相）階梯式分布：每個(gè)控制容積內(nèi)函數(shù)值相等，等于結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。等，等于結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。（2）線性分布：每兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的函數(shù)呈線）線性分布：每兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的函數(shù)呈線性變化。性變化。 1PettttttPPwxdxx 本本例例題題中中：隨隨 的的變變化化取取為為階階梯梯式式分分布布，即即同同一一控控制制容容積積中中的的相相等等，等等于于，則則： 22222ewPEeEWWwtttttttewtttttttttPttuudtuutxuuuuutuuu 隨隨 的的變變化化取取為為階階梯梯顯顯式式分分布布，即即在在整整個(gè)個(gè) t t間間隔隔內(nèi)內(nèi)

6、取取t t時(shí)時(shí)刻刻的的值值，僅僅在在t t時(shí)時(shí)刻刻才才躍躍升升為為，則則進(jìn)進(jìn)一一步步， 隨隨 的的變變化化取取為為分分段段線線性性分分布布，則則： 323ewewewtttttewtttEPttteEPWtttPWwxtxxxdttxxxxxxxx 隨隨 的的變變化化也也取取為為階階梯梯顯顯式式分分布布，則則進(jìn)進(jìn)一一步步，取取 隨隨x x的的變變化化為為分分段段線線性性分分布布，則則: :tx 4ttttetwSSSSdxdtSx t 源源項(xiàng)項(xiàng) 對(duì)對(duì)t t和和x x的的變變化化均均取取為為階階梯梯式式分分布布，則則式式中中， 為為t t時(shí)時(shí)刻刻源源項(xiàng)項(xiàng) 在在控控制制容容積積中中的的平平均均值值

7、 23.1422()4.EWtttttttttEPWPPPPPPEEWtbWnbnuuStxxaaaababbSx V V將將（ ）（ ）代代入入后后可可控控制制容容積積法法離離散散方方程程的的一一般般得得可可寫寫為為形形或或中中解解式式：其其求求二、關(guān)于型線假設(shè)二、關(guān)于型線假設(shè)1.型線的選取僅僅是為了導(dǎo)出離散方程，是積分時(shí)必型線的選取僅僅是為了導(dǎo)出離散方程，是積分時(shí)必需的一種輔助關(guān)系式，一旦離散方程建立起來，型需的一種輔助關(guān)系式，一旦離散方程建立起來，型線的使命就完成了，不再具有任何意義。線的使命就完成了，不再具有任何意義。2.型線的選取不必追求一致性，只需考慮積分是否方型線的選取不必追求一

8、致性，只需考慮積分是否方便，以及得到的離散方程是否具有令人滿意的數(shù)值便，以及得到的離散方程是否具有令人滿意的數(shù)值特性。特性。同一控制方程中不同的物理量可以用不同的型線；同一控制方程中不同的物理量可以用不同的型線；同一物理量對(duì)不同的坐標(biāo)可以用不同的型線；同一物理量對(duì)不同的坐標(biāo)可以用不同的型線；同一物理量在不同的項(xiàng)中對(duì)同一坐標(biāo)也可以用不同的同一物理量在不同的項(xiàng)中對(duì)同一坐標(biāo)也可以用不同的型線。型線。3.型線對(duì)于離散方程的求解方法及結(jié)果有很大影響。型線對(duì)于離散方程的求解方法及結(jié)果有很大影響。在控制容積法中，所謂不同的差分格式，主要是在控制容積法中，所謂不同的差分格式，主要是由于型線的不同造成的。由于型

9、線的不同造成的。例如：非穩(wěn)態(tài)問題中，變量對(duì)時(shí)間的型線不同可導(dǎo)例如：非穩(wěn)態(tài)問題中，變量對(duì)時(shí)間的型線不同可導(dǎo)致不同的差分格式致不同的差分格式顯式、隱式顯式、隱式 對(duì)流問題中，界面上的對(duì)流問題中，界面上的型線不同可導(dǎo)致對(duì)流型線不同可導(dǎo)致對(duì)流項(xiàng)各種差分格式項(xiàng)各種差分格式中心差分、迎風(fēng)差分中心差分、迎風(fēng)差分三、控制容積法應(yīng)遵循的原則三、控制容積法應(yīng)遵循的原則1.控制容積界面上的相容性控制容積界面上的相容性當(dāng)一個(gè)界面由兩個(gè)相鄰的控制容積共有時(shí)，在這兩當(dāng)一個(gè)界面由兩個(gè)相鄰的控制容積共有時(shí)，在這兩個(gè)控制容積的離散化方程中，通過該面的物理量個(gè)控制容積的離散化方程中，通過該面的物理量的通量（質(zhì)量、動(dòng)量、能量等）必

10、須用相同的表的通量（質(zhì)量、動(dòng)量、能量等）必須用相同的表達(dá)式來表達(dá)，以滿足守恒的要求。達(dá)式來表達(dá)，以滿足守恒的要求。這就要求，同一界面上的物理量及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這就要求，同一界面上的物理量及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即，從界面兩側(cè)的兩個(gè)控制容積寫出的該界面上即，從界面兩側(cè)的兩個(gè)控制容積寫出的該界面上的值相等。的值相等。 2.1uvwTdivVdivgradSt L Lu r u r導(dǎo)導(dǎo)出出離離散散方方程程的的控控制制方方程程守守恒恒型型控控制制是是守守恒恒型型的的在在流流動(dòng)動(dòng)傳傳熱熱問問題題中中，所所需需求求解解的的主主要要變變量量（ 、 、 、）的的控控制制方方程程都都可可以以表表示示成成以以下下通通

11、用用形形式式：方方程程對(duì)對(duì)流流項(xiàng)項(xiàng)都都采采用用散散度度的的形形式式來來表表示示，散散度度符符號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)是是單單位位時(shí)時(shí)間間通通過過單單位位面面積積的的某某種種物物理理量量的的凈凈通通量量。： 23 :122TpTpTTTdivVTdivgradTStcutTvTwTTTdivgradTStxyzc u r u r能能量量方方程程（）的的守守恒恒形形式式與與非非守守恒恒形形式式將將代代入入（ ）, ,則則將將寫寫成成微微分分形形式式： 3TpuTTuTxxvTuxvywTvTyywTTwTzzTTTTuvwdivgradTStxyzcz 其其中中：將將連連續(xù)續(xù)性性方方程程代代入入得得：非非守守恒恒

12、在流動(dòng)傳熱數(shù)值計(jì)算中，希望計(jì)算結(jié)果能滿足守在流動(dòng)傳熱數(shù)值計(jì)算中，希望計(jì)算結(jié)果能滿足守恒定律，要保證這一點(diǎn)，應(yīng)采用守恒型的控制恒定律，要保證這一點(diǎn)，應(yīng)采用守恒型的控制方程。方程。只有守恒型的控制方程才能保證在有限大小的控只有守恒型的控制方程才能保證在有限大小的控制容積內(nèi)所研究物理量的守恒定律仍然成立。制容積內(nèi)所研究物理量的守恒定律仍然成立。: 21324psspTVppVVVpTVpVVGuassc VTn dsgradTn dsc SdVc T dVdivc VT dVdivgradT dVtc SdVc T dVt uu ruu ruruu ruu ruruu ruu r14444444 424444444 4 314444444 424444444 4 314444444 4244444444 314444444 4244444444 3144444244444 3144444244444 3以以能能量量方方程程為為例例，將將其其在在任任意意大大小小的的控控制制容容積積 內(nèi)內(nèi)積積分分：利利用用定定理理可可得得： 123 144444444444444444244444444444444444314444444444444444424444444444444444431444444444444444424444444444444444 3144444444