有限元及其分析---第1章緒論ppt課件

1、第一章 緒論 交通學院車輛工程系 李紅艷 聯(lián)絡方式：64432652 交通實驗樓北樓449房間n1.1有限元法國內(nèi)外開展概略n 1.2 有限元法的根本實際 n1.3有限元法的特點n1.4有限元法的運用1.1有限元法國內(nèi)外開展概略 n有限元法的定義FEMn 有限元法是一種基于變分法或變分里茲法而開展起來的求解微分方程的數(shù)值計算方法，該方法以計算機為手段，采用分片近似，進而整體逼近的研討思想求解物理問題。 有限元法的根本思想有限元法的根本思想1 離離 散散 化化 將物體或解域離散為有限個互不重疊僅經(jīng)過節(jié)點相將物體或解域離散為有限個互不重疊僅經(jīng)過節(jié)點相互銜接的子域

2、即單元，原始邊境條件也被轉化為節(jié)點上的邊互銜接的子域即單元，原始邊境條件也被轉化為節(jié)點上的邊境條件境條件 。2分片近似分片近似 在單元內(nèi)，選擇簡單近似函數(shù)來分片逼近未知的在單元內(nèi)，選擇簡單近似函數(shù)來分片逼近未知的求解函數(shù)。求解函數(shù)。3求解方程?；谂c原問題數(shù)學模型根本方程和邊境條件等效的變分原理或加權殘值法，建立有限元方程即剛度方程，從而將微分方程轉化為一組以變量或其導數(shù)的節(jié)點為未知量的代數(shù)方程組，進而借助矩陣和計算機求解代數(shù)方程組得到原問題的近似解。 有限元法的歷史20世紀40年代，1943年R.Courant求解改動問題 1956年波音公司的Turner Clough等人分析飛機構造196

3、0年Clough題為“平面應力分析的有限元法中運用有限元法the Finite Element Method1963年，J.F.Bessling，Melosh和Jones等人證明了有限元是基于變分原理的里茲法的另一種方式，它可以處置很復雜的延續(xù)介質(zhì)問題，是一種普遍方法。60年代后期，J.T.Oden等學者進一步研討了加權殘值法與有限元法之間的關系，建立有限元法的計算格式，并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加權殘值法，它可以用于即使泛函無法構造或泛函根本不存在的問題，從而進一步擴展了有限元法的運用領域。 1972年，J.T.Oden出版了第一本處置非線性延續(xù)介質(zhì)問題的專著。 n在此期間

4、，O.C.Zienkiewicz、卞學璜、董平等人進一步推進有限元的開展，分別提出了等參單元、雜交單元的概念。1967年，O.C.Zienkiewice和Y.K.Cheung(張佑啟)出版了第一本有關有限元分析的專著，此書是有限元法的名著，后更名為。n近幾十年來，有限元法得到了迅速開展，已出現(xiàn)多種新型單元先后有等參元、高次元、不協(xié)調(diào)元、擬協(xié)調(diào)元、雜交元、樣條元、邊境元、罰單元，還有半解析的有限條等不同單元和求解方法如半帶寬與變帶寬消去法、超矩陣法、波前法、子構造法、子空間迭代法等。自動網(wǎng)格劃分和自順應分析技術的采用也大大加強了有限元法的解題才干。 n有限元法的通用性及其在科學研討和工程分析中的

5、作用和重要位置，眾多著名公司更是投入巨資有限元分析軟件，推導了有限元分析軟件的宏大開展。n目前在市場上得到認可的國際知名的有限元分析通用軟件有ANSYS、MSC/NATRAN、MSC/MARC、ADINA、ABAQUS、ALGOR、COSMOS等，還有一些適用特殊行業(yè)的公用軟件，如DEFORM、AUTOFORM、LS-DYNA、VPG、ROMAX等。 1.2 有限元法的根本實際 n有限元法來源于彈性力學問題的求解，本節(jié)將經(jīng)過彈性力學問題來引見有限元法的根本實際。彈性力學是研討彈性體在約束和外載荷或溫度作用下應力和變形分布規(guī)律的一門學科。其詳細描畫就是從靜力學、幾何學和物理學三方面進展分析，建立

6、描畫彈性體變外形狀、應力形狀的彈性力學的根本方程。根本方程主要由平衡微分方程、幾何方程和物理方程。 n1.2.1 變分法n范函：函數(shù)的函數(shù)n變分：函數(shù)的求導( , , )dVF x x xV 2()()()0FFFtxtxx 12( , ,)d( , ,)d( )( )VyF x y yVF x y yxyy yy設其臨近的函數(shù)y(x)+y(x)也滿足端點條件,因此端點變分滿足泛函的變分為引入簡寫符號可得根據(jù)微量計算規(guī)那么泛函的變分為：導數(shù)的變分等于函數(shù)y(x)的變分的導數(shù)，亦即導數(shù)和變分兩種運算可以互換運算順序：對等式右邊的第二部分進展分部積分有根據(jù)端點約束條件上式第二部分等于0，由此得進一

7、步簡化得展開得d0dyyFFx彈簧彈簧質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng)kmP對于一個彈簧振動系統(tǒng)，總能量或稱為拉格朗日算子L為動能V和勢能U之和，寫成：將拉格朗日算子L代入2211dd22VVLUVmxVkxV0mxkx可以看出，變分法可將能量的積分方程式轉換成系統(tǒng)的控制方程式,以微分方程的方式表示。 2()()()0LLLtxtxx 彈性梁彈性梁kmP在一個彈性梁靜力分析的系統(tǒng)中，拉格朗日算子L的動能為零，而勢能U為應變能S減去外力所做的功W，即： 21( )d2VUSWEI vpvV將勢能U替代 L得0EIvp這是彈性梁的微分方程式 2()()()0UUUxvxvvn1.2.2 Rayleigh-Ritz

8、方法方法n在在Rayleigh-Ritz方法中，首先假設一組符合于邊境條件的試方法中，首先假設一組符合于邊境條件的試探函數(shù)探函數(shù)Trial Solution Function,并將其函數(shù)代入能量方程并將其函數(shù)代入能量方程式，再試將探函數(shù)的各系數(shù)作微分并令為零，找出能量方程式，再試將探函數(shù)的各系數(shù)作微分并令為零，找出能量方程式的最小值，最后解出試探函數(shù)的各系數(shù)。式的最小值，最后解出試探函數(shù)的各系數(shù)。n影響要素:n1)邊境條件n2)參考坐標系的建立n以三角函數(shù)為試探函數(shù)以三角函數(shù)為試探函數(shù) 1 cos()2ii xfL 1,3,51 cos()2niii xvcL21( )2VUEI vpv dV

9、將其代入彈性梁的能量方程，最后再對勢能U取最小值，即可求得待定系數(shù)。 例例.受均布外載荷簡支梁的受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解法求解解：用瑞利里茨法。位移試函數(shù) 滿足梁的位移邊境條件在x=0，l處，w=0 總勢能 siniii xvcl22200d() dd2dlltEIvExqv xx44231,3,5,24itiiicEIqlEi cli根據(jù)那么 所以0tiEc443202iEIqli cli 45 54iqlcEI i 4551,3,5,41isiniqlv xxEIil故回代1、僅僅取1項試函數(shù)時，由此方法得到的結果與準確解的相對誤差為0.3861%。2、僅僅取2

10、項試函數(shù)時，由由此方法得到的結果與準確解得相對誤差為-0.027%。n以冪級數(shù)以冪級數(shù)Power Series為試探函數(shù)為試探函數(shù) iifx1niiivc x21( )2VUEI vpv dV將其代入彈性梁的能量方程，最后再對勢能U取最小值，即可求得待定系數(shù)。 例例.受均布外載荷簡支梁的受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解法求解解：用冪級數(shù)法求解,位移試函數(shù) 滿足梁的位移邊境條件在x=0，l處，w=0 總勢能 22200d() dd2dlltEIvExqv xxn以形函數(shù)以形函數(shù)Shape Function為試探函數(shù)為試探函數(shù) 322321232Lx)xL(; fLx)(Lx)

11、(Lf223422(Lx) x( Lx)xf; fLL 形函數(shù)f1代表左側節(jié)點的位移函數(shù)，f2代表右側節(jié)點的位移函數(shù)，f3代表左側節(jié)點的斜率函數(shù)，f4代表右側節(jié)點的斜率函數(shù)。1niiivc xn1.2.3 加權余量法n 通常加權余量法是采用控制微分方程式L(x)=0在其解的附近，可假設L(x)=R(x),此余量函數(shù)Rx是一個非零的函數(shù)，假設將余量函數(shù)乘以一個符合邊境條件的加權函數(shù)w(x),再對整個系統(tǒng)積分并令為零： n i VRwVi00dnGalerkin 方法方法n在在Galerkin方法中，選擇的加權函數(shù)方法中，選擇的加權函數(shù)wi為試函數(shù)如取為形函為試函數(shù)如取為形函數(shù)數(shù)N，wi=Ni p

12、EIvx )(LpEIvx )(Rni xp)(EIvwLi00d0n以三角函數(shù)為試探函數(shù)求ci n以冪級數(shù)為試探函數(shù)求ci n以形函數(shù)為試探函數(shù)求ci 例.受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權殘值法求解44d0dvREIpx代入控制方程得殘差 1sinxv xcl由Galerkin加權殘值方程分析可得 ，111( ,)d0wR c 414dsinsind0dlxcxlEIqxlx求解上式可得515sinsind0lxxc EIqxll414021 cosdcos2llxlxlc EIxqll 4154lcqEI 4154sinsinxlxv xcqlEIl例例.受均布外載荷簡支梁的受均布

13、外載荷簡支梁的Galerkin加權殘值法求解加權殘值法求解解：用冪級數(shù)法求解,位移試函數(shù) 44d0dvREIpx代入控制方程得殘差 1v xc x lx由Galerkin加權殘值方程分析可得 ，111( ,)d0wR c n最小二乘法最小二乘法 n在最下二乘法中，選擇的加權函數(shù)在最下二乘法中，選擇的加權函數(shù)wi為余量函數(shù)為余量函數(shù)R對試探函數(shù)的對試探函數(shù)的各項系數(shù)各項系數(shù)ci的偏微分，下式所示：的偏微分，下式所示： iiRwcn ixpvEIcpvEILi1 0d)()(0 0d1 0d)(0202 xcRnixcpvEILiLi因此也是對余量函數(shù)的平方取最小值。最小二乘法的稱號由此得來。 n

14、以三角函數(shù)為試探函數(shù)求ci n以冪級數(shù)為試探函數(shù)求ci n以形函數(shù)為試探函數(shù)求ci 受均布外載荷簡支梁的殘值最小二乘法求解 1sinxv xcl211()dErrR c ,將其代入到控制方程，那么一定存在殘差，取權函數(shù)為1，那么殘差平方的積分為由最小二乘法有10Errc由上式可以解出與用伽遼金加權殘值法一樣的結果。41054lcpEIn配點法配點法 n在配點法在配點法Collocation Method中，選擇的加權函數(shù)中，選擇的加權函數(shù)wi為脈沖為脈沖函數(shù)，其意義為當坐標函數(shù)，其意義為當坐標x落在指定的位置上時，加權函數(shù)值為落在指定的位置上時，加權函數(shù)值為1，在其他位置加權函數(shù)值為在其他位置

15、加權函數(shù)值為0。iixxwn1.2.4 函數(shù)降階與試探函數(shù)n在Galerkin方法的運用n在Galerkin方法運用時，假設試探函數(shù)為形函數(shù)，雖然程序是正確的，卻解不出答案。這是由于試探函數(shù)為三次方的函數(shù)，微分四次方之后當然無法解出答案。在本節(jié)中將引見如何以變分法的方法將控制方程降階，再結合形函數(shù)解出答案。從這個范例可以清楚知道，在運用Rayleigh-Ritz或Galerkin方法導證剛度矩陣時,盡量將方程降階,以便運用簡單的試探函數(shù)。 n與Rayleigh-Ritz方法的比較 nRayleigh-Ritz方法中，運用能量方程式 ，而如今那么運用降階的Galerkin方法，從比較可知，Ray

16、leigh-Ritz方法運用能量方程式，而Galerkin方法那么運用控制微分方程式，降階之后兩者實踐是一樣的。1.3 有限元的特點n有限元法經(jīng)過幾十年的開展，已成為一種通用的數(shù)值計算方法。它具有鮮明的特點，詳細表如今以下方面：n根本思想簡單樸素，概念明晰易了解n有限元法的根本思想就是集合離散和分片插值，思想樸素簡單，概念明晰容易了解。用離散單元的組合體來逼近原始構造，表達了幾何上的近似；而用近似函數(shù)逼近未知變量在單元內(nèi)的真實解，表達了數(shù)學上的近似；利用與原問題的等效的變分原理如最小勢能原理建立有限元根本方程剛度方程又表達了其明確的物理背景。n厚實的實際根底，數(shù)值計算穩(wěn)定、高效厚實的實際根底，

17、數(shù)值計算穩(wěn)定、高效n有限元法計算格式的建立既可基于物理概念推得，如剛度法、虛功原理，有限元法計算格式的建立既可基于物理概念推得，如剛度法、虛功原理，也可基于純數(shù)學原理推得，如泛函變分原理、加權殘值法。通常直接剛也可基于純數(shù)學原理推得，如泛函變分原理、加權殘值法。通常直接剛度法、虛功原理用于桿系構造或構造問題的方程建立；而變分原理設計度法、虛功原理用于桿系構造或構造問題的方程建立；而變分原理設計泛函極值，既適用于簡單的構造問題，也順應于更復雜的工程問題如泛函極值，既適用于簡單的構造問題，也順應于更復雜的工程問題如溫度場問題。當給定的問題存在經(jīng)典變分表達時，那么利用變分原理溫度場問題。當給定的問題

18、存在經(jīng)典變分表達時，那么利用變分原理很容易建立這類問題的有限元方程，如加權殘值法。加權殘值法由問題很容易建立這類問題的有限元方程，如加權殘值法。加權殘值法由問題的根本微分方程出發(fā)而不依賴于泛函，可用于處置普通問題的有限元方的根本微分方程出發(fā)而不依賴于泛函，可用于處置普通問題的有限元方程建立，如流固耦合問題。所以，有限元法不僅具有明確的物理背景，程建立，如流固耦合問題。所以，有限元法不僅具有明確的物理背景，更具有堅實的數(shù)學根底，且數(shù)值計算的收斂性、穩(wěn)定性均可從實際上得更具有堅實的數(shù)學根底，且數(shù)值計算的收斂性、穩(wěn)定性均可從實際上得到證明，有關這方面的內(nèi)容可參考相關資料。到證明，有關這方面的內(nèi)容可參

19、考相關資料。n邊境適用性強，精度可控邊境適用性強，精度可控n和早期的其他數(shù)值計算方法如差分法相比，有限元法具有更好的邊和早期的其他數(shù)值計算方法如差分法相比，有限元法具有更好的邊境適用性。由于有限元法的單元不限于均勻規(guī)那么單元，單元外形有一境適用性。由于有限元法的單元不限于均勻規(guī)那么單元，單元外形有一定的恣意性，單元大小可以不同，且單元邊境可以是曲線或曲面，不同定的恣意性，單元大小可以不同，且單元邊境可以是曲線或曲面，不同外形單元可以進展組合，所以，有限元法可以處置恣意復雜邊境的構造。外形單元可以進展組合，所以，有限元法可以處置恣意復雜邊境的構造。同時，由于有限元法的單元可以經(jīng)過添加插值函數(shù)的階

20、次來提高有限元同時，由于有限元法的單元可以經(jīng)過添加插值函數(shù)的階次來提高有限元解得精度，防止了里茲法在整個計算區(qū)域構造逼近函數(shù)，難以滿足部分解得精度，防止了里茲法在整個計算區(qū)域構造逼近函數(shù)，難以滿足部分區(qū)域的計算精度的問題。因此，實際上講，有限元法可經(jīng)過選擇單元插區(qū)域的計算精度的問題。因此，實際上講，有限元法可經(jīng)過選擇單元插值函數(shù)的階次和單元數(shù)目來控制計算精度。值函數(shù)的階次和單元數(shù)目來控制計算精度。n計算格式規(guī)范，易于程序化計算格式規(guī)范，易于程序化n有限元法計算格式規(guī)范，用矩陣表達，易于計算機程序化。有限元法計算格式規(guī)范，用矩陣表達，易于計算機程序化。n計算方法通用，運用范圍廣計算方法通用，運用

21、范圍廣n有限元法是一種通用的數(shù)值計算方法，運用范圍廣，不僅能分析有限元法是一種通用的數(shù)值計算方法，運用范圍廣，不僅能分析具有復雜邊境條件、線性和非線性、非均質(zhì)資料、動力學等構造具有復雜邊境條件、線性和非線性、非均質(zhì)資料、動力學等構造問題，還可以推行到解答數(shù)學中的其他邊值問題，如熱傳導、電問題，還可以推行到解答數(shù)學中的其他邊值問題，如熱傳導、電磁場、流膂力學等問題。實際上講，只需是用微分方程表示的物磁場、流膂力學等問題。實際上講，只需是用微分方程表示的物理問題，都可用有限元法進展求解。理問題，都可用有限元法進展求解。1.4 有限元法的運用 n1.4.1 有限元法的運用范圍n 桁架 ：n鳥巢，長3

22、33米，寬298米，用掉約11萬噸的鋼材，能提供9.1萬個座位，總投資約35億元。 n 鳥巢是一個大跨度的曲線構造，有大量的曲線箱形構造，內(nèi)部構造相當復雜，其三維扭曲像麻花一樣的加工，在建造后的沉降、變形、吊裝等問題逐漸處理，相關施工技術難題還被列為科技部重點攻關工程。 n 在桁架柱內(nèi)柱受力最大的部位，為了有效控制構件的最大壁厚，減小焊接任務量，使銜接構造比較合理，在設計中采用了高強度的Q460鋼材。這是國內(nèi)在建筑構造上初次運用Q460規(guī)格的鋼材；而這次運用的鋼板厚度到達110毫米，是以前絕無僅有的，在國家規(guī)范中，Q460的最大厚度也只是100毫米。 國家大劇院，主體鋼構造國家大劇院，主體鋼構

23、造 上部是空間網(wǎng)殼構造上部是空間網(wǎng)殼構造! 世界最大穹頂。世界最大穹頂。 國家大劇院整個殼體鋼構造重達國家大劇院整個殼體鋼構造重達6475噸，東西向長軸跨度噸，東西向長軸跨度212.2米，是目前世界上最大的穹頂。米，是目前世界上最大的穹頂。 北京最深建筑國家大劇院北京最深建筑國家大劇院地下最深處為地下最深處為-32.5米，相當于往地下挖了米，相當于往地下挖了10層樓的深度，成為北層樓的深度，成為北京最深的建筑。京最深的建筑。 每月電費就需求100萬元人民幣，可建16所希望小學。國家大劇院這一項建立投入比“希望工程15年的募資還多。國家大劇院總投資3.24億美圓,可以建5473210496所希望

24、小學。 塔科馬海峽橋 ( The Tacoma Narrows Bridge ) 1940年11月7日，美國華盛頓州；主跨853m，全長1524m，位居世界第三；剛建成四個月；在微風風速19m/s，聽說可抗60m/s作用下；經(jīng)過猛烈扭曲震蕩后，吊索崩斷，橋面構造解體損毀，半跨墜落水中塔科馬海峽橋在重力作用下的變形圖mm塔科馬海峽橋在重力作用下的應力Mpan板殼-手機有限元分析n n板殼-手機有限元分析n n板殼n輕卡車架有限元分析n 正常n 改動n 制動n 正常工況下輕卡車架等效應力圖Mpa正常工況下輕卡車架變形圖mm車架前輪懸空的Von Mises應力圖 Mpa車架后輪抬高時的Mises應力

25、圖Mpa 車架制動時的Mises應力圖Mpa 自卸車有限元分析正常動載時鋼板彈簧等效應力圖正常動載時鋼板彈簧變形圖mm緊急制動時鋼板彈簧等效應力圖急轉彎時鋼板彈簧等效應力圖組合工況時鋼板彈簧等效應力圖實體單元輪轂疲勞壽命有限元分析實體單元世貿(mào)大樓分析實體單元華晨金杯底盤強度分析實體單元電飯煲的熱分析實體單元發(fā)動機內(nèi)的熱固耦合分析實體單元輪間差速器有限元分析輪邊減速器有限元分析單倍載荷下驅(qū)動橋的變形圖mm單倍載荷下驅(qū)動橋的應力圖Mpan裝載機有限元分析鏟斗的等效應力圖Mpa前車架的等效應力圖Mpa大搖臂的等效應力圖Mpa連桿的等效應力圖Mpa聚升臂的等效應力圖Mpa后車架的等效應力圖Mpa副車架的等效應力圖Mpa裝載機的第一階振型裝載機的第二階振型裝載機的第三階振型駕駛室側推側撞撞假人飛機著陸火車碰撞兩火車相撞兩火車相撞轎車側碰轎車撞人碰撞時平安氣囊翻開C-NCAPn實驗評分工程總分值實驗評分工程總分值48分，每項分，每項16分分 n附加評分工程總分值附加評分工程總分值3分分n前排平安帶提示安裝前排平安帶提示安裝1.5分分n側氣囊和氣簾側氣囊和氣簾1分分nISOFIX安裝安裝0.5分分總分星級5