截長補(bǔ)短法例題4頁

1、截長補(bǔ)短法例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD +BCD=180°.分析：因?yàn)槠浇堑扔?80°，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2圖1-1BD平分ABC，DE=DF，圖1-2在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180

2、76;例2. 已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖3-2圖3-11=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(

3、SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°例3. 如圖2-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的.圖2-1證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，圖2-22+3=90°，1+4=90

4、°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.圖4-1例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補(bǔ)短法）圖4-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）圖4-3在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,AFDA