數(shù)學(xué)第三課——三元一次方程組

1、三元一次方程組解法和利用方程組解決實(shí)際問題知識歸納三元一次方程組的解法(1) 、三元一次方程的概念三元一次方程組就是含有三個未知數(shù)，并且含有的未知數(shù)的項(xiàng)都是1次的整式方程。(2) 、三元一次方程組的概念-般地，由三個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組。(3) 、三元一次方程組的解法(1) 三元一次方程組與二元一次方程組同屬于一次方程組，解二元一次方程組基木思想是 消元，通過代入法或加減法使二元化成一元，未知轉(zhuǎn)化為己知，受它的啟發(fā)，解三元一-次方 程組也通過代入或加減消元，使三元化為二元或一元，轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的問題。(2) 三元一次方程組解題的基本步驟： 利用代入法或

2、加減法，把方程組屮的一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組屮 的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組。 解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)的值； 將這兩個未知數(shù)的值代入原方程屮較簡單的一個方程，求出第三個未知數(shù)的值，把這三 個數(shù)寫在一起的就是所求的三元一次方程組的解。典例剖析：2x + 6y + 3z = 6 例 解方程組3x + 15y + 7z = 64x-9y+ 4z = 9 思路探索：此方程紐屮沒有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1,所以考慮丿ij加減消元法，選擇 消去系數(shù)較簡單的未知數(shù)x,由和，和兩次消元，得到關(guān)于y,z的二元一次方程組， 最后求x。解析：x3,得 6

3、x+18y + 9z二 18x2,得 6x + 30y+14z=12一，得 12y + 5z=-60)x2,得4x+12y + 6z=12一，得21y + 2z二3由和組成方程組12y + 5z = -621y + 2z - 3_解這個方程組，得p = 3z = 2把y=, z=2代入，得2x+6x +3x (2)二6, .i x=533x = 51規(guī)律總結(jié)：解:元-次方程組，除了要考慮好選擇哪種方法和決定消去哪-個未知數(shù)z外, 關(guān)鍵的步是由廠“元”化為：“元”，特別注意兩次消元過程中，方程組屮每個方稈金少 耍川到1次，并r(i), (2), (3)3個方程中先rh哪兩個方程消某一個未知數(shù)，再

4、由哪兩個方 程(個是川過的)仍然消這個未知數(shù)，防止第次消去y,第一次消去z或x,仍然得到二 元一次方程組，沒有達(dá)到消“元”的目的。課時訓(xùn)練試題: 解下列方程組y = 2x-j(1) < 5x + 3y+ 2z = 23x-4z = 44x + 9y = 12(2)(3)2z = l7x + 5z = 44(3)3x-y = -7< y+ 4z = 32x-2z = -54x-9z = 17(4) < 3x+y + 15z = 18x+2.y + 3z = 27x + 6y+ 7z = 1002x + 4y+ 3z = 9(5) <x-2y + z = 0(6) <

5、3x-2y + 5z = 113x+ y-2z = 05x + 6y + 8z = 03x-2y + z = 34x + 3y+ 2z = -102x + 6y+ 3z = 6(8) <3x 12y + 7z = 34兀一3y + 4z = 11龍:2:32x+ y - 3z = 15（三）實(shí)際問題與二元一次方程:1.利用二元一次方程組解決問題的基本過程:實(shí)際問題實(shí)際問題 的答案列方程檢驗(yàn)<數(shù)學(xué)問題（二元一次方程組）數(shù)學(xué)問題的解x = ay = b審.設(shè)，找，列，解，驗(yàn).答2 實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化:實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)列方程數(shù)學(xué)問題4 了解實(shí)際問題的背景2 找到“比班，是”等關(guān)鍵詞

6、3. 設(shè)未知數(shù)有兩種設(shè)元方法直接設(shè)元、間接設(shè)元.當(dāng)直接設(shè)元不易列出方程時，用間接設(shè)元在列方程（組）的過程中，關(guān)鍵尋找出“等最關(guān)系”,根據(jù)等量關(guān)系，決定直接設(shè)元，還是間接設(shè)元4. 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟:設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)； 列：列出方程組（、分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值； 驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形； 答：寫出答案.5. 常見題型有以下幾種情形：（1）和、差、倍、分問題。此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語iiii體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時要抓住關(guān)鍵詞，確定標(biāo)準(zhǔn)量與比校量

7、，并注意每個詞的纟 微差別。仮!i 1 有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運(yùn)貨15. 5噸，5 輛大車與6輛小車一次可以運(yùn)貨35噸。3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn) 貨多少噸？分析：等量關(guān)系一次運(yùn)貨的總噸數(shù)。一輛小車每解：謨一輛大車每次運(yùn)貨x噸,次運(yùn)貨尹噸。2兀+ 3尹= 15.55兀 + 6尹=35基本關(guān)系：路程二速度x時間。）相遇問題（相向而行）,這類問題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程 或同時走時兩人所走的時間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程二全路程追及問題（同向而行）,這類問題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的 路程或以追及時間為等量關(guān)系。 同時不同地：甲的時間二乙的時

8、間甲走的路程乙走的路程二原來甲、乙相距的路程 同地不同時；甲的時間二乙的時間時間差甲的路程二乙的路程環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和 等于一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路 程。船（飛機(jī)）航行問題：相對運(yùn)動的合速度關(guān)系是: 順?biāo)L(fēng)）速度二靜水（無風(fēng)）中速度+水（風(fēng)）流速度； 逆水（風(fēng)）速度二靜水（無風(fēng)）中速度水（風(fēng)）流速度。車上（離）橋問題：車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程,所走路程為一個車長。車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程。所走的路程為一個成長 車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程，所走路成為一個車長+橋

9、 車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程，所行路成為橋長-車長 行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運(yùn)動時 出發(fā)的時間和地點(diǎn)。仮！i 2、張強(qiáng)與李毅二人分別從相距20千米的兩地出發(fā)，相向而行。如 果張強(qiáng)比李毅早出發(fā)30分鐘，那么在李毅出發(fā)后2小時，他們和遇；如果他們同時出發(fā)，那么1小時后兩人還相距11千米。求張強(qiáng)、李毅每小時各走多 少千米？。x千米千米y千米 a*屮 b仮!| 3.甲，乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由兩地相 向而行，1小時20分鐘相遇。相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前行，汽車在相遇處 停留1小時后掉傳車頭原速返回，且半小時后追上拖拉機(jī)。這時，汽車

10、, 拖拉機(jī)各走了多少千米？汽車是y,拖拉機(jī)是x4/3x+4/3y二1601. 5x=0. 5yy二30, x=10仮!j 4；甲乙兩人分別從相距30千米的ab兩地同吋相向而行，經(jīng)歷3小吋相距3千米再經(jīng)過2小吋，甲到b地所剩的路程是乙到a地所剩路程的2 倍,求甲乙兩人的速度.分析：等量關(guān)系:1.兩人相遇路程和二總路程2.所剩路程的倍數(shù)關(guān)系甲走3小時廠八a$相距3千米:入乙走2小時乙走3小時甲走2小時甲走3小時丄沁j乙走2小時乙走3小時(3)工程問題工作總量二工作時間x工作效率;工作時間=工作總量*工作效率;工作效率二工作總量今工作時間甲的工作量+乙的工作量二甲乙合作的工作總量,其基本數(shù)關(guān)系：工作

11、總量二工作效率x工作時間；合做的效率二各單獨(dú)做的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時，常設(shè)總工作量為,分析時可采 用列表或畫圖來幫助理解題意。仮!j 5某城市為緩解缺水狀況，實(shí)施了一項(xiàng)引水工程，就是把2oo千米以 外的一條大河的水引到城市屮來，把這個工程交給了甲乙兩個施工隊(duì)，工期50 天完成，甲乙兩隊(duì)合作了 30天后，乙隊(duì)因另外有任務(wù)需要離開10天，于是甲隊(duì) 加快速度，每天多修了 0.6千米，10天后乙隊(duì)回來，為了保證工期，甲隊(duì)速度 不變，乙隊(duì)每天也比原來多修0. 4千米，結(jié)果如期完成。問：卬，乙兩隊(duì)原計劃 每天各修多少千米？工作量二工作效率x工作時間(相對應(yīng)的)分析：等量關(guān)系：1兩施工隊(duì)原來

12、的速度和2 總工程量解：設(shè)甲隊(duì)原計劃每天修x千米，乙隊(duì)每天修y千米。x-f y =5030(x + y) + 20(x + 0.6) +10(y + 0.4) = 200仮!j 6（遵義07）某中學(xué)準(zhǔn)備改造面積為1°80口2的舊操場，現(xiàn)有甲、乙兩個工 程隊(duì)都想承建這項(xiàng)工程.經(jīng)協(xié)商后得知，甲工程隊(duì)單獨(dú)改造這操場比乙工程隊(duì)多用9天； 乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多改造10m2；甲t程隊(duì)每天所需費(fèi)用160元，乙工程隊(duì)每天所需 費(fèi)用200元.（1）求甲乙兩個工程隊(duì)每天各改造操場多少平方米？（2）在改造操場的過程屮，學(xué)校要委派一名管理人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每犬25元的生活補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有以下三

13、種方案供選擇.第一種方案：由甲單獨(dú)改造；第二種方案：由乙單獨(dú)改造；笫三種方案：由甲、乙-起同時進(jìn)行改造；你認(rèn)為哪一種方案既省時又省錢？試比較說明.仮！j 7某工廠為牛產(chǎn)-種零件，購買了一臺昂貴的特殊的機(jī)床，有兩名工人輪流牛產(chǎn)， 每天只能工作8小時。如果一天中，甲工作5小時，乙工作3小時，則一天可生產(chǎn)67只零 件；如果一天中甲工作3小時，乙丄作5小時，則一天可生產(chǎn)69只零件，問：甲乙兩工人 每小時各生產(chǎn)多少只零件？（4）、經(jīng)濟(jì)問題仮!j 8.某人用24000元買進(jìn)甲，乙兩種股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌 10%時賣出，共獲利1350元，試問此人買的甲乙兩股票各是多少元？分析:利潤=成本x利

14、潤率總利潤=各分利潤之和等量關(guān)系:1.股票的成本2.獲得利潤解:設(shè)買進(jìn)甲x元,買進(jìn)乙y元則甲股票獲利為0. 15x元，乙股票獲利為-0ly元.x+y二240000.15x-0. ly=1350（5）、分配問題仮!j 9初一某班45名同學(xué)被平均分配到甲，乙，丙三處打掃環(huán)境衛(wèi)生. 甲處的同學(xué)最先完成打掃任務(wù),班衛(wèi)生委員根據(jù)實(shí)際情況及時把甲處的同 學(xué)全部調(diào)到乙，丙兩處支援，調(diào)動后乙處的人數(shù)恰好為丙處人數(shù)的1. 5倍. 問從卬處調(diào)到乙，丙各多少人？分析：1甲處人數(shù)二調(diào)出人數(shù)2.重新分配后的乙丙人數(shù)之比解:設(shè)從甲調(diào)到乙處x人，調(diào)到丙處y人.三處原有45三3=15（人）x + y = 151.5（尹 +1

15、5） = x + 15中考題薈萃1. （06年山東濟(jì)南）某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經(jīng)過測試同吋開放1個大餐廳、 2個小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學(xué)生 就餐。（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請說明理由。2. （江西07） 23. 2008年北京奧運(yùn)會的比賽門票開始接受公眾預(yù)訂下表為北京奧運(yùn)會官 方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價格，某球迷準(zhǔn)備用80（）0元預(yù)訂10張下表中比 賽項(xiàng)目的門票.（1）若全部資金用來預(yù)訂男籃門票和乒乓球門票，問他可以訂男籃門票和乒乓

16、球門票各多 少張？（2）若在現(xiàn)冇資金8000元允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下，他想預(yù)訂下表中三種球類 門票，其屮男籃門票數(shù)與足球門票數(shù)相同，且乒乓球門票的費(fèi)川不超過男籃門票的費(fèi)川，求 他能預(yù)訂三種球類門票各多少張？比賽項(xiàng)目票價（元/場）男籃1000足球800乒乓球5003. （湘潭07）星期犬，七年級1、2兩班部分同學(xué)相約去某公園玩碰碰車或劃船.己知玩碰 碰車的同學(xué)每人租用一輛車，劃船的同學(xué)每4人合租一條船，兩班各花了 115元活動人數(shù) 如下表：班級玩碰碰車的同學(xué)劃船的同學(xué)111人16人28人20人試求碰碰車每輛車租金多少元；游船每條船租金多少元.4. （07海南省）“海z南”水果種植場今年收獲的“妃子笑”和“無核i號”兩種荔枝共3200t克，全部售出后收入30400元。已知“妃了笑”荔枝每t克售價8元，“無核i號”荔枝 每千克售價