極坐標(biāo)與參數(shù)方程整合

1、知識(shí)要點(diǎn)梳理:區(qū)知識(shí)點(diǎn)一：極坐標(biāo)愜：1. 極坐標(biāo)系醯平而內(nèi)的一條規(guī)定有單位長(zhǎng)度的射線6, °為極點(diǎn)，6為極軸，選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。2. 極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)p的極坐標(biāo)平面上一點(diǎn)p到極點(diǎn)°的距離1°卩1稱為極徑戸，op與°軸的夾角&稱為極角，有 序?qū)崝?shù)對(duì)弘就叫做點(diǎn)p的極處標(biāo)。（1）一般情況f，不特別加以說明時(shí)r表示非負(fù)數(shù)；當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn)；當(dāng)q"時(shí)，點(diǎn)心句的位置這樣確定：作射線。尸，使zxop",在op的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得opf¥p，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)心切與點(diǎn)s込詢（枕

2、2 ）所表示的是同-個(gè)點(diǎn)，即角&與血十6的 終邊是相同的。綜上所述，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)z間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)，即s切tz, （-ac2t+0* + «均表示同一個(gè)點(diǎn)3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化醯當(dāng)極處標(biāo)系與直角處標(biāo)系在特定條件卜（極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;極軸與x軸正半軸重合;長(zhǎng)度單位相同），平面上一個(gè)點(diǎn)p的極坐標(biāo)的和直角坐標(biāo)匕為有如下直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：嚴(yán)in日；極處標(biāo)化直角處標(biāo)：實(shí) 此即在兩個(gè)坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系.4. 直線的極坐標(biāo)方程：il減（1）過極點(diǎn)傾斜角為他的直線：或?qū)懗?少及-«+>（2）過“即垂直于極軸的總線：08

3、胡恥5. 圓的極坐標(biāo)方程：儷（1）以極點(diǎn)。為関心，為半徑的圓：p=fl.若朋叭 皿5（"叭以（m為豈徑的圓：p= 2ac«fl知識(shí)點(diǎn)二：柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系：闔1. 柱坐標(biāo)系的定義：窗-空間點(diǎn)玫2再與柱坐標(biāo)s3力之間的變換公式：i2. 球坐標(biāo)系的定義：x-raqcos -/ - /-anauitf 空間點(diǎn)nw）與球坐標(biāo)z間的變換公式：i" e嚇知識(shí)點(diǎn)三：參數(shù)方程咗1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)耳r都是某個(gè)變 數(shù)£的函數(shù)：誡），并h對(duì)于£的每一個(gè)允許值，方程所確定的點(diǎn)"°力都在這條曲線上，那么方

4、程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系耳y間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡(jiǎn)稱參數(shù)）. 相對(duì)于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出illi線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程陀3 = 0,叫做曲線的普通方程。知識(shí)點(diǎn)四：常見曲線的參數(shù)方程阪1. 直線的參數(shù)方程阪（1）經(jīng)過定點(diǎn)“山毛刁），傾斜角為少的肓線2的參數(shù)方程為：fx-ji-tcosa bf *血a為參數(shù)）；貝中參數(shù)弭勺幾何意義：有即1“表示直線上任一點(diǎn)m到定點(diǎn)城的距離。（當(dāng)m在"上方時(shí)，"0, m在処下方時(shí)，y（2）過定點(diǎn)"衛(wèi)2，幾其斜率為么的直線2的參數(shù)方程為：x=壬尸片（£為參數(shù)，“為為常數(shù)，x0）；貝中£的幾何意

5、義為：若“是直線上一點(diǎn)，則1見"対+1引。2. 圓的參數(shù)方程倔（1）已知圓心為（止），半徑為尸的圓盧的參數(shù)方程為:jr=, = a+«in （&是參數(shù)，九*）；jj=rcos0特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為卜=$*°刃（9是參數(shù)）。（2）參數(shù)£的兒何意義為：山*軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。01yf（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圜的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓 的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。3.橢圓的參數(shù)方程竝y=bff（0為參數(shù)）。（2）參數(shù)&的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心介。如圖中

6、，點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的角為fl=zggr （過卩作丄*軸，交大関即以勿為直徑的鬪于q）,切不可認(rèn)為是=zfl9xo（3）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。橢圓才上任意一點(diǎn)可設(shè)成勿，為解決冇關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。4. 雙曲線的參數(shù)方程闔?_/=lb=flfec<,雙iiii線？ 產(chǎn)-（«>0,*>0）的參數(shù)方程為（&為參數(shù)）。5. 拋物線的參數(shù)方程閩拋物線/=2（p>0）的參數(shù)方程為b=2蘆（&是參數(shù)）。參數(shù)（的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)。連線的斜率的倒數(shù)，即 j6. 圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程:jjc."

7、;cas 嚴(yán)儼in 碼（1）圓的漸開線的參數(shù)方程if心卩碼（卩是參數(shù)）;嚴(yán)*-gn神（2）擺線的參數(shù)方程1尸巾一°»網(wǎng)（卩是參數(shù)）。規(guī)律方法指導(dǎo)：圖1、把參數(shù)方程化為普通方程，盂要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見的消 參方法有：代入消法：加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；比值消參法；利用 恒等式消參法；混合消參法等.2、把曲線u的普通方程揮（耐力二?；癁閰?shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確 保互化前后方程的等價(jià)性，注意方程中的參數(shù)的變化范圍。經(jīng)典例題精析磁類型一：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程閩在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)心的關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是,關(guān)于極軸的對(duì)0 =稱

8、點(diǎn)的處標(biāo)是,關(guān)于直線 2的對(duì)稱點(diǎn)的處標(biāo)是, lii思路點(diǎn)撥:畫岀極坐標(biāo)系，結(jié)介圖形容易確定。解析：它們依次是或s更w"）； s-砂血）；s滋"-的（心）示意圖如下:總結(jié)升華：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，抓住對(duì)稱點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的極徑與極角的聯(lián)系,n0x同時(shí)應(yīng)注意點(diǎn)的極處標(biāo)的多值性。舉一反三:【變式】己知點(diǎn)"s切，則點(diǎn)mqwm（1）關(guān)于 3對(duì)稱點(diǎn)郵的坐標(biāo)是,（2）關(guān)于直線81$= °的對(duì)稱點(diǎn)"的坐標(biāo)為 o【答案】jt2zafod=zz»j=-（1）由圖知：3,3 ，所以24-jfejr直線即 2042fa!）所以 ags,- ®+ 2tor)

9、或 ”3(-卩.一0+2*時(shí)（*ey）.化下列極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線。li*5（1）b-5pu ；（2）° 3cm0+4m3;5 p = 2-3cm& p=tt思路點(diǎn)撥:依據(jù)關(guān)系式對(duì)已有方程進(jìn)行變形、配湊。 解析：方程變形為swt","1或q=4,即或*°十"=16故原方程表示圓心在原點(diǎn)半徑分別為1和4的兩個(gè)圓。變形得= 5 |j 3x+4jf- 5= 0故原方程表示肓線。變形為切_%8訶=5,即2yply-3x=5（£+£_/=!整理得45,(x訶幾i故原方程表示中心在焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線45

10、 (4)變形為sin. on*故原方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線=只?？偨Y(jié)升華：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是依據(jù)關(guān)系式exjeogybnqn 壬把極坐標(biāo)方程中的以£用x、y表示。舉一反三：【變式1】把下列極坐標(biāo)方程化為肓角坐標(biāo)方程，并說明它們是什么曲線.jt _ jt4=2苴中以汞.【答案】:()夕=2品0. /? = 2pdn0即” 只"4或"故原方程表示圓?"4和直線z+=2(3)由p l-co®,得a = 2£即 jd" 21,整理得護(hù)4(h!)護(hù)2卩故原方程表示是圓己十(y-曠叫jr jrkfp0-2ff

11、+-p=-(p- 2)0+-0>-2) = 0.42,.4s-則埠=04故原方程表示拋物線“ °.= 0cm0-psu10j+l =-22，即2故原方程表示圓【變式2】圓的直如坐標(biāo)方程盧十*°化為極坐標(biāo)方程為"夕8*円""血£ 代入方程得x?cos>0-kx?sma0-x7sui&-o3求適介下列條件的肓線的極坐標(biāo)方程：圍<（1）過極點(diǎn)，傾斜角是耳；（2）過點(diǎn),并口和極軸垂直。思路點(diǎn)撥：數(shù)形結(jié)合，利用圖形可知過極點(diǎn)傾斜也為圧的在線為&二過點(diǎn)«聞垂直于極軸的直線為"8或者先寫出直介坐

12、標(biāo)方程，然后再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程。解析:0 （/7g（1）由圖知，所求的極坐標(biāo)方程為 3（2）（方法”0 心4巫（方法二）由圖知，所求直線的方程為2 ,即2 .總結(jié)升華：抓住圖形的兒何性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)的極徑與極角所滿足的條件，從而可以得到 極坐標(biāo)方程.也可以先求出直角坐標(biāo)方程運(yùn)用所得的方程形式，可以更簡(jiǎn)捷地求解.舉一反三：psn（ 0+ 勺=【變式1已知直線的極坐標(biāo)方程為42 ,則極點(diǎn)到該直線的距離是【答案】：2。（方法一）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：x+y=1,“4返貝i原點(diǎn)（極點(diǎn)）到該直線的距離是農(nóng) 2 ;psin（ 0+ = psin fl =（方法二）直線42是將直線2繞極點(diǎn)順時(shí)針

13、旋轉(zhuǎn)4而得到,易知，極點(diǎn)到直線的距離為2 ?！咀兪?】解下列各題（1）在極坐標(biāo)系中，以 &為i員【心，半徑為1的鬪的方程為，平行于極軸的切線方程為；（2）極坐標(biāo)系中，兩圓"=81日和q =的圓心距為 ；p=2cm（0+）（3）極坐標(biāo)系屮圓3的圓心為【答案】（1）（方法一）設(shè)心切在圓上，則1"冃，i。卄，3",p（bg）4-8 = 0即«,為圓的極處標(biāo)方程。pan 0= pm0 =其平行于極軸的切線方程為2和2o（方法二）圓r時(shí)的直角坐標(biāo)為（鶉,則符合條件的圓方程為a-芋p-歹t圓的極坐標(biāo)方程:整理得介 一=0 即 “ -6pco<&

14、- )+8 = 0又圓=1的平行于a軸）極軸的切線方程為:2,(2)（方法一）的圓心為的圓心為、:兩圓圓心距為2（方法二）鬪q = 8s°即h+b"的鬪心為(3)圓p=2e即za+y=矽的圓心為g）,兩圓圓心距為2 .0+-=o £=-藝a-）（方法一）令 3 得 3,.圓心為 3。（方法二）圓gyp即八宀"易的圓心為類型二：參數(shù)方程與普通方程互化辺（1） 參數(shù)）；4.把參數(shù)方程化為普通方程庶ishg"8*劉（広氏，&為參數(shù)）;fx = su &4co«&7 =114-?1 a/=(4) ig為參數(shù)).1-zt

15、+7a(3)("j為參數(shù));思路點(diǎn)撥：（1）將第二個(gè)式了變形后，把第一個(gè)式了代入消參；（2）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把丄用*衣示，反解出"丿®后再代入另一表達(dá)式即可消參;（4）此題是（3）題的變式，僅僅是把£換成/而已，因而消參方法依ii，但需要注意解析：(1) v = h =(sin4-c<»1 = 14-2siil0c<m0 把y = m0cm&代入得 = l+yiz 性.所求方程為尸尹-和咋先）+coi2=> = 2+l-2fin

16、jtf = 3-2finj扌 x = mff 代入得20|1 |石芒 1i所求方程為:(2)（3）（法一）: 20+1)22乂 1+i14-i14-1所求方程為才十，_ = 0（君*_】，工2）.（法二）：由i 1-xjt=1+得一+1,代入21* =1+<2(1-x)212tx=i-e(4)由 * l+i1當(dāng)i時(shí),z = o：當(dāng)呎時(shí),x眇貂“法一:a?(ix中-即（7 "mi）,故所求方程為 h+h"（-1gm1）x=l-?e= n法二:1+r由x得_14才，代入1+?y1+jt再將代入得we',化簡(jiǎn)得宀宀1總結(jié)升華：1.消參的方法主要冇代入消參，加減消參，

17、比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。2.消參過程屮m注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范用，一般來說應(yīng)分別給岀a、尸的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法. 舉一反三：【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。2* =皿-雀)尸占(4%為參數(shù))；(2)* = 1+?2t1" (t為參數(shù)).【答案】：故所求方程為”=么+2(xml,八w)jjt= 2(2)兩個(gè)式子相除得況，代入得2 2?,即八2z(2)參數(shù)方程，=尹(0<0<2?0表示的曲線為()oa、雙曲線一支，且過點(diǎn)b.拋物線的一部分，且過點(diǎn)c、雙曲線一支，且過點(diǎn)d、拋物線的一部分，且過點(diǎn)=2

18、 >0-t+?,故所求方程為+ = 2»(»>0)x=3sui04-4c«【變式2】(1)圓廠4血43噠8的半徑為=psin+4c«ifi)3 +(4rin-3coftf)2= 9siqt 04-24 sin & cos+1604-16sin3 0-24sin0co«04-9cos1= 9 + 16 = 25其中 x = 5im(tf+fl)e(-5,5>r=5nd(tf-)e-習(xí).半徑為 5?！敬鸢浮?(1)a、(2) a為銳角,a、肓線b、kti6(rd、x= 1 十 £8t(r+號(hào)勸y= 2+im(a+

19、x2的傾斜角.y + l = -<iii2(rx-3=/cos20t ,相除得co(2)_2(r)o71cc2c、d、a+r,傾斜介為選x-l=£cof(a4-?0/- 2 sin(a+/q2?2 ，相除得"1-+a傾介為2 ，選c。5.已知曲線的參數(shù)方程bf8111日(環(huán)、兒為常數(shù))。區(qū)(1)當(dāng)為常數(shù)(z*°), &為參數(shù)(&代)時(shí)，說明曲線的類型;(2)當(dāng)&為常數(shù)且處吟u(0,分參數(shù)時(shí)，說明曲線的類型。思路點(diǎn)撥:通過消參，化為并通方程，再做判斷。(m 專ms" =14-2m cos = l-l-sii0 = 2yz =1

20、 cos4-« fe.022,因而選b。x = 31cm2xt【變式3】(1)直線/)o:b =-5n2ir(t為參數(shù))的傾斜角為(jt-辛 =£818解析：（1）方程可變形為"-片fin' （0為參數(shù)，'為常數(shù)） 取兩式的平方和，得（"b+o-片曲線是以乩“,為圓心，"i為半徑的圓。（2）方程變形為j-jfc=xsin5（£為參數(shù)，0為常數(shù)），兩式相除，可得"斗，即片=（"磚5刃,曲線是過點(diǎn)（斗必且斜率* =的百線?？偨Y(jié)升華：從木例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參 數(shù)，

21、則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí)，一般應(yīng)標(biāo)明選 定的字母參數(shù)。舉一反三：fj=s+5c«h-1【變式】己知圓錐曲線方程為b=-6 + 4miff-5（1）若丄為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。（2）若甲為參數(shù)，'為常數(shù)，求此曲線的離心率。x-5c<»1 = 31【答案】：（1）方程可化為3 = (y-4rio+5) 消去匚得：23曲線是拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即為（2）方程化為（*一生一。ph&十少 消去單，得25«類型三：其他應(yīng)用止j? x"存=16.橢圓a *內(nèi)接矩形而積的最大值為.園就可以用

22、來表示面積,思路點(diǎn)撥：由橢圓的對(duì)稱性知內(nèi)接矩形的各邊平行于兩軸，只需求出具中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)解析：設(shè)橢圓上第-濛限的點(diǎn)恥皿“品嗽則0=巴玫盤芻)當(dāng)且僅當(dāng)一硏時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn) 2* 2.總結(jié)升華：利用參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可以較簡(jiǎn)潔地解決問題。舉一反三：l-1【變式1】求橢圓4 3上的點(diǎn)到直線2-10 =。的最小距離及相應(yīng)的點(diǎn)p的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚涸O(shè)皿0g侖弘切到2的距離為"則|4fin(+5 - <®l6£n(&4-) = 1«=-(當(dāng)h.僅當(dāng)6 即 3時(shí)取等號(hào))。-jf/x2g蘭書金為點(diǎn)p到直線？的最小距離為審，此時(shí)點(diǎn)33 ,即 2【變式

23、21圓十2"令-3 = 0上到直線兀廿十1 = 0的距離為返的點(diǎn)共冇個(gè).【答案】：已知圓方程為(»+pj+(r+2)j =8,r=1+25設(shè)其參數(shù)方程為血& （處o.m） 則圓上的點(diǎn)代十皿口8廠2十2盪五詢到直線乃2利=0的距離5/p+p12(sin04-cm0)-2|=2 詁 2rin(tf+)-1|=1444,從而滿足要求的點(diǎn)一共有三個(gè).【變式3】實(shí)數(shù)*、丿滿足只2-2卄4x = o,求a）抵-護(hù)，入*的収值范圍.【答案】：（1）由已知“一?！?"。4"2",k = l+適8訶設(shè)圓的參數(shù)方程為1尸-2十&血& （&#

24、163;為參數(shù)） 2x-jr = 2+2coitf-(-2+5suid) =4+v5c2coid-aii6) = 4+5coi(d+#f): lscos(® 十耐 ml 1m2ijtm9j 2 = (l+-co« +(-2= 1+2045cm伽4一"云砂5訂&= 10+2(i0-2sin) = io+1ocm(04-)一1mcm佰+qmi0m分十hm20學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)11“基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：ii£p = co3（0）1. 極坐標(biāo)方程4 所表示的曲線是（）。a、雙曲線 b、橢圓 c、拋物線 d、圓pan（e-l- = 2. 已知總線：的極朋標(biāo)方程為42，則極

25、點(diǎn)到該直線的距離是3. 曲線的極坐標(biāo)方程為"=4曲!1&,化為宜角坐標(biāo)方程是（）。a、x2+（y+2）2=4 b、x2+（y-2）2=4 c、（x-2） 2+y2=4d、（x+2） 2+y2=4p=2«(e-*-4.圓b的圓心極坐標(biāo)和半徑是（)oof)宀 2a、b、6c、 3（梧心5. 直線和肓線hs-e二1的位置關(guān)系是（）d、無法確定a、垂直b、平行c、相交但不垂直能力提升：座6. 己知點(diǎn)p的極絕標(biāo)為（1,才），那么過點(diǎn)p且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為（）7.直線的參數(shù)方程是則過點(diǎn)（4, -1）且與2平行的直線在y軸上的a、夕“b、c、«»d

26、、截距是x = 2+4卜=3+甞£&直線的參數(shù)方程為i2,則直線的斜截式方程是9.曲線x2-y=0的參數(shù)方程是().x = tan./jeia、ilc、1co®2jd.x = tan<l 一 cosn jk =1+cqs2c綜合探究：£ /10.設(shè)橢圓w + 25 =1內(nèi)接四邊形abcd,其中a(4, 0), c(0, 5),求四邊形abcd面積的最大值.11.點(diǎn)p位于第一象限且在橢圓d*上，0為原點(diǎn)，a (a, 0),b(0, b),求四邊形oapb的面積的最大值，并求出此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：11*基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：11£1.答案：d.解析：

27、丿表示圓，日變到 7只是極角的旋轉(zhuǎn)，所以曲線形狀仍為圓。2.答案：2 o解析：(方法一)把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即nj求出;x4,pshe = (方法二)若能抓住4 2是將2繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)易知,3. 答案：b.4. 答案：c.3.答案：b.解析：將極處標(biāo)下的方程轉(zhuǎn)化為直角處標(biāo)系下的方程，再來求這兩條直線的關(guān)系。能力提升：每6.答案：c解析：如圖，在所求的直線2上任取(*),則0p二oacoszpoa,即1二處皿“),7.答案：-4&答案：=圧+(3-“)9.答案：d綜合探究：li£直線 ac 方程為5x+4y-20二0.設(shè)p到ac的距離為d.乂曲201閆施吟6則 d 二二五 s200+30* j二霍二面 、sabcd=2 |ac