線性代數(shù)全集知識(shí)分享

1、課程課程(kchng)簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)(y )分支，主要處理線性關(guān)系分支，主要處理線性關(guān)系問(wèn)題問(wèn)題. 線性關(guān)系線性關(guān)系(gun x)是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系(gun x)是以一次形式是以一次形式來(lái)表達(dá)的來(lái)表達(dá)的. 最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題就是解線性方程組最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題就是解線性方程組.行列式和矩陣為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具，行列式和矩陣為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具，也推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展也推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空間的概念，而線性問(wèn)題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加量空間的概念，而線性問(wèn)題都可以用

2、向量空間的觀點(diǎn)加以討論以討論. 因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容.第一頁(yè)，共291頁(yè)。它的特點(diǎn)是研究它的特點(diǎn)是研究(ynji)的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁瑣和技巧性很強(qiáng)的數(shù)字計(jì)算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加瑣和技巧性很強(qiáng)的數(shù)字計(jì)算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練。強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練。 第二頁(yè)，共291頁(yè)。第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩陣矩陣

3、(j zhn)及其運(yùn)算及其運(yùn)算第三章第三章 矩陣矩陣(j zhn)的初等變換的初等變換 及線性方程組及線性方程組第四章第四章 向量向量(xingling)組的線性相關(guān)性組的線性相關(guān)性基礎(chǔ)基礎(chǔ)基本內(nèi)容基本內(nèi)容用向量的觀點(diǎn)討論基用向量的觀點(diǎn)討論基本問(wèn)題并介紹向量空本問(wèn)題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容間的有關(guān)內(nèi)容第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚摰谌?yè)，共291頁(yè)。一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )線性方程組線性方程組: :第一章第一章 行列式行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)

4、(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,兩式相減消去兩式相減消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;1.1 二階與三階二階與三階(sn ji)行列式行列式第四頁(yè)，共291頁(yè)。;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.2

5、11222112112112aaaaabbax 由方程組的四個(gè)系數(shù)由方程組的四個(gè)系數(shù)(xsh)確定確定.第五頁(yè)，共291頁(yè)。 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表表(sh bio)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 第六頁(yè)，共291頁(yè)。11a12a22a12a主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算(j

6、sun)若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對(duì)于對(duì)于(duy)二元線性方程組二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式第七頁(yè)，共291頁(yè)。 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 第八頁(yè)，共291頁(yè)。 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 第九頁(yè)，共291頁(yè)。 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabx

7、axa.2211112babaD 第十頁(yè)，共291頁(yè)。則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 第十一頁(yè)，共291頁(yè)。 . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 第十二頁(yè)，共291頁(yè)。二、三階(sn ji)行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成設(shè)有

8、設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定）所確定(qudng)(qudng)的三階行列式的三階行列式. .第十三頁(yè)，共291頁(yè)。323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階三階(sn ji)行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .

9、.列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 第十四頁(yè)，共291頁(yè)。333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意(zh y) 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)元素的乘積冠以負(fù)號(hào)說(shuō)明說(shuō)明1 對(duì)角線法則只適用對(duì)角線法則只適用(shyng)于二階與三階行列式于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 第十五頁(yè)，共291頁(yè)。 如果如果(rgu)三元線性方程組三元線性方程組 ;,3333232131232

10、32221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)的系數(shù)(xsh)行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解利用三階行列式求解(qi ji)三元線性方程組三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項(xiàng)項(xiàng), ,每一項(xiàng)都是位于不同行每一項(xiàng)都是位于不同行, ,不同列的三個(gè)元素的乘積不同列的三個(gè)元素的乘積, ,其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, ,三項(xiàng)為三項(xiàng)為負(fù)負(fù). .第十六頁(yè)，共291頁(yè)。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,33

11、32323222131211aabaabaabD 若記若記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb第十七頁(yè)，共291頁(yè)。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即第十八頁(yè)，共291頁(yè)。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第十九頁(yè)，共291頁(yè)。 ;,

12、333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第二十頁(yè)，共291頁(yè)。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxab

13、xaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 第二十一頁(yè)，共291頁(yè)。,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則三元?jiǎng)t三元(sn yun)線性方程組的解為線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 第二十二頁(yè)，共291頁(yè)。2-43-122-4-21D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線法則按對(duì)角線法則(fz)，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3

14、(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第二十三頁(yè)，共291頁(yè)。. 094321112 xx求解方程求解方程方程方程(fngchng)左端左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或第二十四頁(yè)，共291頁(yè)。例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于由于(yuy)方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 第二十五頁(yè)，共291頁(yè)。同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212

15、 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第二十六頁(yè)，共291頁(yè)。 二階和三階二階和三階(sn ji)行列式是由解二元和三元線性方行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對(duì)角線法則對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)(xioji)第二十七頁(yè)，共291頁(yè)。 使使

16、求一個(gè)二次多項(xiàng)式求一個(gè)二次多項(xiàng)式,xf .283, 32, 01 fff第二十八頁(yè)，共291頁(yè)。解解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為 ,2cbxaxxf 由題意由題意(t y)得得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一個(gè)關(guān)于未知數(shù)得一個(gè)關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組的線性方程組,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc第二十九頁(yè)，共291頁(yè)。故所求多項(xiàng)式為故所求多項(xiàng)式為 . 1322 xxxf第三十頁(yè)，共291頁(yè)。1.2 全排列全排列(pili)及其逆序數(shù)及其逆序數(shù) 引例引例: 用用1, 2,

17、 3三個(gè)數(shù)字三個(gè)數(shù)字, 可以可以(ky)組成多少個(gè)沒(méi)有重組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個(gè)這是一個(gè)(y )大家熟知的問(wèn)題大家熟知的問(wèn)題, 答案是答案是: 3! = 6. 將此問(wèn)題將此問(wèn)題推廣推廣: 把把n個(gè)不同的元素按先后次序排成個(gè)不同的元素按先后次序排成一列一列, 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. 定義定義: 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列, 叫做這叫做這 n 個(gè)元素的個(gè)元素的全排列全排列(或或排列排列). n 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用通常用 Pn 表示表示, 稱為稱為排列數(shù)排列數(shù). Pn = n

18、(n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列第三十一頁(yè)，共291頁(yè)。二、排列二、排列(pili)的逆序數(shù)的逆序數(shù) 定義定義: 在一個(gè)排列在一個(gè)排列(pili) i1 i2 is it in 中中, 若數(shù)若數(shù) isit,則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如例如(lr): 排列排列32514 中中, 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序. 以以 n 個(gè)不個(gè)不同的自然數(shù)為例同的自然數(shù)為例, 規(guī)定規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定義定義: 一個(gè)排列中所有一個(gè)排列中所有逆序逆序的總數(shù)稱為此的

19、總數(shù)稱為此排列的排列的逆逆序數(shù)序數(shù).前面的數(shù)比后前面的數(shù)比后面的數(shù)大面的數(shù)大第三十二頁(yè)，共291頁(yè)。3 2 5 1 4逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)為為31010故此故此(gc)排列的逆序數(shù)為排列的逆序數(shù)為: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如例如(lr): 排列排列32514 中中,計(jì)算排列逆序數(shù)的方法計(jì)算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. 方法方法1: 分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在1,2, , n 前面比它大的數(shù)碼前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和的個(gè)數(shù)并求和, 即先分別算出即先分別算

20、出 1,2, , n 這這 n 個(gè)元素的逆序個(gè)元素的逆序數(shù)數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).第三十三頁(yè)，共291頁(yè)。 方法方法(fngf)2: 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即算出排列中每個(gè)元素即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)的逆序數(shù). 方法方法3: 依次計(jì)算依次計(jì)算(j sun)出排列中每個(gè)元素后面比它小出排列中每個(gè)元素后面比它小的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和,

21、 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù), 則則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).第三十四頁(yè)，共291頁(yè)。例例1: 求排列求排列(pili)32514的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解: 在排列在排列(pili)32514中中,3排在首位排在首位(shu wi), 則則3的逆序?yàn)榈哪嫘驗(yàn)?;2的前面比的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)大的數(shù)只有一個(gè)3, 故故2的逆序?yàn)榈哪嫘驗(yàn)?;3 2 5 1 40 1 031沒(méi)有比沒(méi)有比5大的數(shù)大的數(shù), 故其逆序?yàn)楣势淠嫘驗(yàn)?;個(gè)個(gè), 故其逆序?yàn)楣势淠嫘驗(yàn)?;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個(gè)個(gè), 故逆序

22、為故逆序?yàn)?.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3即即于是排列于是排列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 t = 0+1+0+3+1 = 5.第三十五頁(yè)，共291頁(yè)。解解:此排列此排列(pili)為偶排列為偶排列(pili).例例2: 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)計(jì)算下列排列的逆序數(shù)(xsh), 并討論其奇偶性并討論其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 4010013445于是排列于是排列(pili)217986354的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解解:n (n1) (n2) 2

23、1012(n1)(n2) ,21 nnt = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:第三十六頁(yè)，共291頁(yè)。 此排列此排列(pili)當(dāng)當(dāng) n=4k, 4k+1 時(shí)為偶排列時(shí)為偶排列(pili); 當(dāng)當(dāng) n=4k+2, 4k+3 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列(pili).(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解解:0121233(k1)(k1)kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(pili

24、)(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為: .2122kkkk 此排列當(dāng)此排列當(dāng) k 為偶數(shù)為偶數(shù)(u sh)時(shí)為偶排列時(shí)為偶排列, 當(dāng)當(dāng) k為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)為奇排列為奇排列.第三十七頁(yè)，共291頁(yè)。1. n個(gè)不同的元素的所有排列個(gè)不同的元素的所有排列(pili)種數(shù)為種數(shù)為n!個(gè)個(gè);2. 排列排列(pili)具有奇偶性具有奇偶性;3. 計(jì)算排列計(jì)算排列(pili)逆序數(shù)常用的方法逆序數(shù)常用的方法.三、小結(jié)三、小結(jié)(xioji)第三十八頁(yè)，共291頁(yè)。1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義(dngy)333231232221131211aaaaaaaaa

25、D 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念一、概念(ginin)的引入的引入三階三階(sn ji)行列式行列式說(shuō)明說(shuō)明(1) 三階行列式共有三階行列式共有6項(xiàng)項(xiàng), 即即3!項(xiàng)項(xiàng). 說(shuō)明說(shuō)明(2) 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積. 說(shuō)明說(shuō)明(3) 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)的三個(gè)元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)(行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列).第三十九頁(yè)，共291頁(yè)。 例如例如(lr) a13a21a3

26、2, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列下標(biāo)排列列312的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat (312)=1+1=2, 偶排列偶排列(pili). a13a21a32 的前面取的前面取+號(hào)號(hào). 例如例如 a11a23a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列(pili), 列下標(biāo)列下標(biāo)排列排列(pili)132的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為t (132)=0+1=1, 奇排列奇排列. a11a23a32的前面取的前面取號(hào)號(hào).其中其中是對(duì)列下標(biāo)的所有排列求和是對(duì)列下標(biāo)的所有排列求和(3!項(xiàng)項(xiàng)), t 是列下標(biāo)排是列下標(biāo)

27、排列列 p1p2p3 的逆序數(shù)的逆序數(shù).第四十頁(yè)，共291頁(yè)。二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義(dngy)定義定義(dngy): 設(shè)由設(shè)由 n2 個(gè)數(shù)排成一個(gè)個(gè)數(shù)排成一個(gè) n 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 個(gè)數(shù)的乘積個(gè)數(shù)的乘積(chngj), 并并冠以符號(hào)冠以符號(hào)(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 為自然數(shù)為自然數(shù)1, 2, , n 的一個(gè)排列的一個(gè)排列, t為為排列排列p1p2 pn的逆序數(shù)的逆序數(shù). nnppptaaa2121)1( 的項(xiàng)的項(xiàng),nnnnnnaaaaaaaaa212222111211第四十一頁(yè)，

28、共291頁(yè)。所有所有(suyu)這這 n! 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和 nnppptaaa2121)1(稱為稱為(由上述數(shù)表由上述數(shù)表(sh bio)構(gòu)成的構(gòu)成的) n 階行列式階行列式.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 記作記作簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 det(aij). 數(shù)數(shù) aij 稱為稱為(chn wi)行列式行列式 det(aij) (第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素. nnppptaaaD2121)1(即即第四十二頁(yè)，共291頁(yè)。 說(shuō)明說(shuō)明1. 行列式是一種特定的算式行列式是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解方程它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定

29、義個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義(dngy)的的; 說(shuō)明說(shuō)明2. n 階行列式是階行列式是 n! 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和; 說(shuō)明說(shuō)明3. n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列不同列 n 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,nnpppaaa2121的符號(hào)為的符號(hào)為(1)t; 說(shuō)明說(shuō)明4. 一階行列式的符號(hào)一階行列式的符號(hào)(fho) | a | = a, 不要與絕不要與絕對(duì)值符號(hào)對(duì)值符號(hào)(fho)相混淆相混淆, 一般不使用此符號(hào)一般不使用此符號(hào)(fho).第四十三頁(yè)，共291頁(yè)。0004003002001000例例1: 計(jì)算計(jì)算(j sun)對(duì)角行列式對(duì)角行列式

30、.0004003002001000解解: 分析分析(fnx).展開(kāi)式中項(xiàng)的一般展開(kāi)式中項(xiàng)的一般(ybn)形式是形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零從而這個(gè)項(xiàng)為零,同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4, 則則 432114321 t.24 即行列式中非零的項(xiàng)為即行列式中非零的項(xiàng)為:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即即第四十四頁(yè)，共291頁(yè)。例例2: 計(jì)算計(jì)算(j sun)上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解: 分析分析(fnx) 展開(kāi)式中項(xiàng)的一般

31、展開(kāi)式中項(xiàng)的一般(ybn)形式是形式是.2121nnpppaaa所以非零的項(xiàng)只可能是所以非零的項(xiàng)只可能是: a11 a22 ann .從最后一行開(kāi)始討論非零項(xiàng)從最后一行開(kāi)始討論非零項(xiàng). 顯然顯然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即即第四十五頁(yè)，共291頁(yè)。8000650012404321 D顯然顯然(xinrn)= 1 4 5 8nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得下三角同理可得下三角(

32、snjio)行列式行列式第四十六頁(yè)，共291頁(yè)。對(duì)角對(duì)角(du jio)行列式行列式;21n n 21n 21( -1)321)121.n t n n(1 2(1)121nn .12121nnn 第四十七頁(yè)，共291頁(yè)。例例5: 設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明(zhngmng): D1=D2. 中中b的指數(shù)正好是的指數(shù)正好是a的行標(biāo)與列標(biāo)的差的行標(biāo)與列標(biāo)的差2D第四十八頁(yè)，共291頁(yè)。證證: 由行列式定義由行列式定義(dngy)有有 nnnpppnpppppptn

33、nnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111第四十九頁(yè)，共291頁(yè)。 nnnnppppnppnpppppptbaaa21212121()2()1211nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnppppppnnpppppptbaaa2121212121211第五十頁(yè)，共291頁(yè)。由于由于(yuy) p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以所以(suy) .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故故第五十一

34、頁(yè)，共291頁(yè)。 行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式. n 階行階行列式共有列式共有n!項(xiàng)項(xiàng), 每項(xiàng)都是位于不同行每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列的不同列的 n 個(gè)元素的個(gè)元素的乘積乘積(chngj), 正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)三、小結(jié)(xioji)第五十二頁(yè)，共291頁(yè)。 1211123111211xxxxxf 已知多項(xiàng)式已知多項(xiàng)式 1211123111211xxxxxf 求求 x3 的系數(shù)的系數(shù)(xsh).思考題解答思考題解答(jid)含含 x3 的項(xiàng)有僅兩項(xiàng)的項(xiàng)有僅兩項(xiàng), 即即對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)(duyng)于于=

35、 x3+ (2x3)故故 x3 的系數(shù)為的系數(shù)為(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43第五十三頁(yè)，共291頁(yè)。一、對(duì)換一、對(duì)換(du hun)的定義的定義1.4 對(duì)對(duì) 換換 定義定義: 在排列中在排列中, 將任意兩個(gè)元素將任意兩個(gè)元素(yun s)對(duì)調(diào)對(duì)調(diào), 其余元其余元素素(yun s)不動(dòng)不動(dòng), 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素將相鄰兩個(gè)元素(yun s)對(duì)調(diào)對(duì)調(diào), 叫做相鄰對(duì)換叫做相鄰對(duì)換.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1

36、 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如(lr)第五十四頁(yè)，共291頁(yè)。二、對(duì)換二、對(duì)換(du hun)與排列奇偶性的關(guān)系與排列奇偶性的關(guān)系 定理定理1: 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)一個(gè)排列中的任意兩個(gè)(lin )元素對(duì)換元素對(duì)換, 排列改變奇偶性排列改變奇偶性.對(duì)換對(duì)換 a與與b即除即除 a, b 外外, 其它元素其它元素(yun s)的逆序數(shù)不改變的逆序數(shù)不改變.證明證明: 先考慮相鄰對(duì)換的情形先考慮相鄰對(duì)換的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此, 相鄰對(duì)換排列改變奇偶性相鄰對(duì)換排列改變奇偶性.當(dāng)當(dāng)

37、ab 時(shí)時(shí), 對(duì)換后對(duì)換后 a 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變, b 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1;第五十五頁(yè)，共291頁(yè)。a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對(duì)一般對(duì)換對(duì)一般對(duì)換(du hun)的情形的情形, 例如例如對(duì)換對(duì)換 a與與b經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)m次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換(du hun), 排列排列a1a2alab1bmbc1cn對(duì)對(duì)換為換為a1a2alabb1bmc1cn,再經(jīng)過(guò)再經(jīng)過(guò)m+1次相鄰次相鄰(xin ln)對(duì)換對(duì)換, 對(duì)對(duì)換為換為a1a2albb1bmac1cn,共經(jīng)過(guò)了共經(jīng)過(guò)了2m+1次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換. 所以所以, 由相鄰對(duì)換的結(jié)果知由相鄰對(duì)換的結(jié)果知: 一

38、個(gè)排列中的任意兩一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換個(gè)元素對(duì)換, 排列改變奇偶性排列改變奇偶性.第五十六頁(yè)，共291頁(yè)。次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111111,lmnabaa bbcc次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換12 m111,lmnaa bbccbaabnmlccbbbaaa111abab對(duì)一般對(duì)換對(duì)一般對(duì)換(du hun)的情形的情形, 例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對(duì)換對(duì)換 a與與b第五十七頁(yè)，共291頁(yè)。 推論推論(tuln): 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次

39、數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明證明: 由定理由定理(dngl)1知知, 對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化變化(binhu)次數(shù)次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0), 論成立論成立.因此因此, 推推第五十八頁(yè)，共291頁(yè)。下面下面(xi mian)討論行列式的另一種定義形式討論行列式的另一種定義形式.對(duì)于行列式的任一項(xiàng)對(duì)于行列式的任一項(xiàng) ,12121njinpjpippptaaaaa 其中其中12ijn為自然排列為自然排列(pili), 其逆序數(shù)其逆序數(shù)0, t 為列為列標(biāo)排列標(biāo)排列(pi

40、li)p1p2pipjpn的逆序數(shù)的逆序數(shù), ,12121nijnpipjppptaaaaa 成成與與jijpipaa對(duì)換元素對(duì)換元素第五十九頁(yè)，共291頁(yè)。 ,12121nijnpipjppptaaaaa 此時(shí)此時(shí)(c sh), 行標(biāo)排列行標(biāo)排列12jin的逆序?yàn)槠鏀?shù)的逆序?yàn)槠鏀?shù), 而列標(biāo)排列而列標(biāo)排列p1p2pjpipn的逆序也改變了一次奇的逆序也改變了一次奇偶性偶性. 換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)與與t(p1pipjpn)具有具有(jyu)相同的奇偶性相同的奇偶性.因此因此(yn

41、c), 對(duì)對(duì) njinpjpippptaaaaa21211 故故第六十頁(yè)，共291頁(yè)。 一般地一般地, 經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng)乘積元經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng)乘積元素素(yun s)的位置后得到的符號(hào)仍為的位置后得到的符號(hào)仍為(1)t.因此因此, 總可以總可以(ky)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換若干次對(duì)換(du hun)行列式的任一項(xiàng)行列式的任一項(xiàng), 得得 ,1121212121nqqqsnppptnnaaaaaa 其中其中 s 為行下標(biāo)排列為行下標(biāo)排列 q1q2 qn 的逆序數(shù)的逆序數(shù).第六十一頁(yè)，共291頁(yè)。 nqqqsnaaaD21211 定理定理(dngl)2: n 階行列式也可定義為階

42、行列式也可定義為其中其中s為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列q1q2qn的逆序數(shù)的逆序數(shù)(xsh), 并按行標(biāo)排列求和并按行標(biāo)排列求和.定理定理(dngl)3: n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 t 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序數(shù)的逆序數(shù)之和之和. 并按行標(biāo)排列并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列或列標(biāo)排列)求和求和.因此因此, 我們可以得到行列式的另一種定義形式我們可以得到行列式的另一種定義形式:根據(jù)以上討論根據(jù)以上討論, 還可以如下定義還可以如下定義第六十二頁(yè)，共291頁(yè)。 例例1: 試判斷試判斷(pndun) a

43、14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項(xiàng)是否六階行列式中的項(xiàng). 解解: a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列的行標(biāo)為順序排列(pili), 列標(biāo)排列列標(biāo)排列(pili)的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù)偶數(shù)(u sh)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng). 將將a32a43a14a51a25a66的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 =

44、8 (偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).第六十三頁(yè)，共291頁(yè)。 解解: 將將a23a31a42a56a14a65的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列(pili), 則其列標(biāo)排列則其列標(biāo)排列(pili)的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前邊應(yīng)帶正號(hào)的前邊應(yīng)帶正號(hào).例例2: 在六階行列式中在六階行列式中, 下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么(shn me)符號(hào)符號(hào).(1) a23a31a42a56a14a65; (2)

45、 a32a43a14a51a66a25 .第六十四頁(yè)，共291頁(yè)。 項(xiàng)項(xiàng)a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的的行下標(biāo)與列下標(biāo)的(bio de)逆序數(shù)之和為逆序數(shù)之和為 t (341562)+t (234165) =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶數(shù)偶數(shù)(u sh)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號(hào)的前邊應(yīng)帶正號(hào).第六十五頁(yè)，共291頁(yè)。例例3: 用行列式的定義用行列式的定義(dngy)計(jì)算計(jì)算nnDn0000000010020001000 解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中僅有一個(gè)每行每列中僅有

46、一個(gè)(y )非零元素非零元素, 所以所以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1221nDnnn 所以所以(suy)第六十六頁(yè)，共291頁(yè)。三、小結(jié)三、小結(jié)(xioji)1. 對(duì)換排列對(duì)換排列(pili)中的任意兩個(gè)元素中的任意兩個(gè)元素, 排列排列(pili)改變奇偶性改變奇偶性.2. 行列式的三種定義方法行列式的三種定義方法: nqqqsnaaaD21211 nnqpqpqpraaaD221

47、11 nnppptaaaD21211其中其中 r 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序的逆序數(shù)數(shù)(xsh)之和之和. 并按行標(biāo)排列并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列或列標(biāo)排列)求和求和.第六十七頁(yè)，共291頁(yè)。思考題思考題證明證明(zhngmng)在全部在全部 n 階排列中階排列中(n2), 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考題解答思考題解答(jid) 證證: 設(shè)在全部設(shè)在全部(qunb) n階排列中有階排列中有s個(gè)奇排列個(gè)奇排列, t 個(gè)個(gè)偶排列偶排列,則則 s + t = n！現(xiàn)來(lái)證！現(xiàn)來(lái)證 s = t . 若若將所有將所有 s個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換個(gè)奇排

48、列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這則這 s 個(gè)奇排個(gè)奇排列全變成偶排列列全變成偶排列, 故必有故必有s = t = 若若將所有將所有 t 個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這則這 t 個(gè)個(gè)偶排列全變成奇排列偶排列全變成奇排列, 如此產(chǎn)生的如此產(chǎn)生的 s 個(gè)偶排列不會(huì)超個(gè)偶排列不會(huì)超過(guò)所有的過(guò)所有的 s 個(gè)奇排列個(gè)奇排列, 所以所以 t s .過(guò)所有的過(guò)所有的 t 個(gè)偶排列個(gè)偶排列, 所以所以 s t .如此產(chǎn)生的如此產(chǎn)生的 t 個(gè)奇排列不會(huì)超個(gè)奇排列不會(huì)超2!n第六十八頁(yè)，共291頁(yè)。1.5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh) 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)(xngzh)行列

49、式行列式DT稱為稱為(chn wi)行列式行列式D的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 記記將將D的行列互換就得到的行列互換就得到TD第六十九頁(yè)，共291頁(yè)。證明證明(zhngmng): 記行列式記行列式 D=det(aij) 的轉(zhuǎn)置行列式為的轉(zhuǎn)置行列式為:,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定義按定義(dngy) .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),第七十頁(yè)，共291頁(yè)。

50、.12121 nppptnaaaD又由行列式的另一種又由行列式的另一種(y zhn)表示得表示得,所以所以, DT = D, 結(jié)論結(jié)論(jiln)成立成立 說(shuō)明說(shuō)明: 性質(zhì)性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位(dwi), 因因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的結(jié)論此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的結(jié)論, 對(duì)列也同樣成立對(duì)列也同樣成立.第七十一頁(yè)，共291頁(yè)。,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaaaD11111111 第七十二頁(yè)，共291頁(yè)。nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD111

51、1111 是由行列式是由行列式互換互換 i, j (i j 時(shí)，時(shí)，0,ija 則稱則稱 A 為上三角為上三角(snjio)矩陣矩陣.若當(dāng)若當(dāng) ij 時(shí)時(shí)第二百零五頁(yè)，共291頁(yè)。1 12 2ijijijinnjca ba ba b11iikkjka b nikkjk ia b 0ika0kjb0.即即 C為上三角為上三角(snjio)矩陣矩陣.第二百零六頁(yè)，共291頁(yè)。定義定義(dngy)設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣階方陣(fn zhn)，k 個(gè)個(gè) A 的連乘積稱為的連乘積稱為 A 的的k 次冪，記作次冪，記作,kA即即 kkAAAA個(gè)當(dāng)當(dāng) m，k 為正整數(shù)時(shí)，有為正整數(shù)時(shí)，有mkm+kA A

52、A() mkmkAA當(dāng)當(dāng)AB不可交換時(shí)，一般不可交換時(shí)，一般() kkkABA B當(dāng)當(dāng)AB可交換時(shí)，可交換時(shí)，() kkkkkABA BB A第二百零七頁(yè)，共291頁(yè)。定義定義(dngy) 設(shè)設(shè)( )1110kkkkf xa xaxa xa是是 x 的的 k 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，A 是是 n 階方陣階方陣(fn zhn)，則稱，則稱( )1110kkkkf Aa AaAa Aa E為方陣為方陣(fn zhn) A 的的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式.第二百零八頁(yè)，共291頁(yè)。若若 f(x)，g(x) 為多項(xiàng)式，為多項(xiàng)式，A、B為為 n 階方陣階方陣(fn zhn)，則，則f(A) g(A) = g(A

53、) f(A)當(dāng)當(dāng) AB 不可不可(bk)交換時(shí)，一般交換時(shí)，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)第二百零九頁(yè)，共291頁(yè)。特別當(dāng)矩陣特別當(dāng)矩陣(j zhn)為對(duì)角陣為對(duì)角陣=diag(1, 2, n ) 時(shí)時(shí),則則f( )=a0E + a1 +ak k,120112111 nkkkknaaa 第二百一十頁(yè)，共291頁(yè)。12()().()nfff 第二百一十一頁(yè)，共291頁(yè)。 方陣方陣A的多項(xiàng)式可以類似一般多項(xiàng)式一樣的多項(xiàng)式可以類似一般多項(xiàng)式一樣(yyng)相相乘或分解因式乘或分解因式. 例如例如(lr)(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A

54、 + 3A2 A3.因?yàn)閱挝痪仃囈驗(yàn)閱挝痪仃?E 與任意與任意(rny)同階方陣可交換，所以有同階方陣可交換，所以有1122211()nnnnnnnnnnAkEAC kAC k ACkAk E 第二百一十二頁(yè)，共291頁(yè)。解解: 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求設(shè)設(shè) 例例4: 00100100201222223AAA 32323003033 第二百一十三頁(yè)，共291頁(yè)。由此歸納由此歸納(gun)出出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 第二百一十四頁(yè)，共291頁(yè)。用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明(zhngmng). 當(dāng)當(dāng)k=2時(shí)時(shí), 顯然

55、成立顯然成立.假設(shè)假設(shè), 當(dāng)當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論時(shí)結(jié)論(jiln)成立成立, 對(duì)對(duì) k=n+1時(shí)時(shí), 001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA第二百一十五頁(yè)，共291頁(yè)。 11110010211nnnnnnnnnn 所以對(duì)于所以對(duì)于(duy)任意的任意的 k 都有都有: .00021121 kkkkkkkkkkkA 也可利用也可利用(lyng)二項(xiàng)式二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算定理展開(kāi)計(jì)算.第二百一十六頁(yè)，共291頁(yè)。101000100101000100001000AEB 記記于是于是(ysh)()nnAEB 11222333nnnnnnnnnnECBCBCBC B注意注意(zh y)到：

56、到：2010010001001000000B 001000000 第二百一十七頁(yè)，共291頁(yè)。3010010010001001001000000000B 001010000001000000 000000000 即當(dāng)即當(dāng)3n 時(shí)，時(shí)，nBO 所以所以(suy)第二百一十八頁(yè)，共291頁(yè)。()nnAEB 11222nnnnnECBCB1122100010001010001000001000000nnnnnCC112211000nnnnnnnnnCCC 第二百一十九頁(yè)，共291頁(yè)。四、矩陣四、矩陣(j zhn)的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置 定義定義: 把矩陣把矩陣A 的行列的行列(hng li)互換互換, 所得到

57、的新所得到的新矩陣矩陣, 叫做矩陣叫做矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作記作AT.例如例如(lr):,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B第二百二十頁(yè)，共291頁(yè)。(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì)一般一般(ybn)地地1211()TTTTkkkA AAA AA 第二百二十一頁(yè)，共291頁(yè)。證明證明(zhngmng)（4）設(shè)設(shè) (),(),(),ijm sijs nijm nAaBbABCc()TTijn mB A

58、Dd 首先首先(shuxin)容易看到容易看到()TAB與與TTB A為同型矩陣為同型矩陣(j zhn).因?yàn)橐驗(yàn)?,sijikkjkca b 所以所以()TAB的第的第 i 行第行第 j 列列的元素為的元素為1,sjijkkikca b 第二百二十二頁(yè)，共291頁(yè)。又因?yàn)橛忠驗(yàn)?yn wi)TB中第中第 i 行的元素行的元素(yun s)為為 B 中第中第 i 列的元素列的元素(yun s)12,iisibbbTA中第中第 j 列的元素列的元素(yun s)為為 A 中第中第 j 行的元素行的元素(yun s)12,jjjsaaa于是于是TTB A的第的第 i 行第行第 j 列元素為列元素為

59、1122ijijsijsb ab ab a1sjkkika b 故故()TTTABB A 第二百二十三頁(yè)，共291頁(yè)。解法解法(ji f)1: 因?yàn)橐驗(yàn)?102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例例5: 已知已知,102324171,231102 BA求求(AB)T.所以所以(suy)解法解法(ji f)2: 213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT第二百二十四頁(yè)，共291頁(yè)。例例6：設(shè)設(shè)()ijn nAa（1）2A的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素(yun s)為為（2）TAA的第的第 i 行第行第

60、j 列的元素列的元素(yun s)為為（3）TA A的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素(yun s)為為1nikkjka a 1nikjkka a 1nkikjka a 第二百二十五頁(yè)，共291頁(yè)。 設(shè)設(shè)A = ( aij )為為 n 階方陣階方陣, 對(duì)任意對(duì)任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立(chngl), 則稱則稱A為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣; 如果如果aij = aji 都成都成立立(chngl), 則稱則稱A為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣; 顯然，若顯然，若 A 是反對(duì)稱矩陣，那么對(duì)任意是反對(duì)稱矩陣，那么對(duì)任意 i，有有0iia第二百二十六頁(yè)，共291頁(yè)。由矩陣由矩