2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)導(dǎo)學(xué)案新人

1、241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直西問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義思考 1 如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？答案W|F|s|cos0.思考 2 力做功的大小與哪些量有關(guān)？答案 與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)梳理?xiàng)l件非零向量a與b,a與b的夾角為0結(jié)論數(shù)量|a|b|cos0叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）記法向量a與b的數(shù)量積記作ab,即ab= |a|b|cos

2、0規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0知識(shí)點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的幾何意義思考 1 什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影?答案 如圖所示，OA= a,SB=b,過(guò)B作BB垂直于直線OA垂足為B,貝U 0B=|b|cos0.|b|cos0叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos0叫做向量a在b方向上的投影思考 2 向量b在向量a上的投影與向量a在向量b上的投影相同嗎?答案由投影的定義知，二者不一定相同.梳理（1）條件：向量a與b的夾角為0.一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,如圖.他O A2投影:向量b在a方向上的投影|b|cos0向量a在b方向上的投影|a|cos0(3)ab

3、的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積. 知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考 1 向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？答案向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量思考 2 非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定? 答案由兩個(gè)非零向量的夾角決定.當(dāng) 00v90時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù).當(dāng)0= 90時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零.當(dāng) 90v 0 180時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù).梳理 設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為0,(1)a丄b?ab= 0.了a|b| ,a與b同向，(2) 當(dāng)a/b時(shí)，ab=-LI

4、a|b| ,a與b反向.(3)a- a= |a|2或 |a| =：Jaa.abcos0=面藥(5)|ab| 三|a|b|.題型探究-類型一求兩向量的數(shù)量積例 1 已知|a| = 4, |b| = 5,當(dāng)a/b；a丄b； (3)a與b的夾角為 30時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積.解(1)a/b,若a與b同向，貝U 0= 0,ab=|a|b|cos 0 =4x5=20；若a與b反向，則0= 180, ab=|a|b|cos 180 =4x5x(1)=20.當(dāng)a丄b時(shí)，0= 90,.ab= |a|b|cos 90 = 0.3當(dāng)a與b的夾角為 30時(shí)，ab= |a|b|cos 30 24反思與感悟 求平面向

5、量數(shù)量積的步驟是：(1)求a與b的夾角0,0分別求|a|和|b|； (3)求數(shù)量積，即ab= |a|b|cos0，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí) 實(shí)心圓點(diǎn)“”連接，而不能用“x”連接，也不能省去跟蹤訓(xùn)練 1 已知菱形ABC啲邊長(zhǎng)為a,/ABC=60U Eb&等于( BD- 6D= (BC+ CD- 6D=BC-詁CD232=a-a -cos 60 +a= 5a.類型二求向量的模 例 2 已知|a| = |b| = 5,向量a與b的夾角為解ab=|a|b|cos0=5x5x2=25 |a+b| = 7(a+b2=寸|a|2+2ab+1b|2|a-b| = (a-b2|a|2-2ab+1b|225-2X

6、25+25=5.引申探究若本例中條件不變，求|2a+b| , |a-2b|.=4X5X4 =10.3.C.3a24D.|a2答案 D解析如圖所示，由題意，得BC=a,CD= a,/BCD=120 .,180 ;a與b之間用)nt-3，求 |a+b| , |a-b|.A5解a-b=|a|b|cos0=5X5X-=岑, |2a+b| =7(2a+bj=4|a|2+ 4a-b+ |b|2|a 2b| =a 2b2=|a|2 4a-b+ 4|b|2254X25+4X25=5.跟蹤訓(xùn)練 2 已知|a| = |b| = 5,且|3a 2b| = 5,222解 |3a 2b| = 9|a| 12a-b+ 4

7、|b|=9X25-12ab+4X25=32512ab,/ |3a 2b| = 5 , 325 12ab= 25,ab= 25.2 2-13a+b|=(3a+b)2 2=9a+6a-b+b=9X25+6X25+25=400,故 |3a+b| = 20.類型三求向量的夾角解n| = |m| = 1 且m與n夾角是 60,1 1m-n=|m|n|cos 60 =1X1X =-.| a|=|2 n|= p(2m+ n j=寸 4X1+1+4rrrn14X1+1+4X2=7,|b|=|2n3m=. 2n3m2=4X1+9X112m-n4X1+9X112X A7,2 2a-b= (2n+n) (2n 3m

8、) = m-n 6m+ 2n=26X1+2X1= 2.設(shè)a與b的夾角為0,則 cos0 =|bT=-= 1Ia|b| 寸 7X72X25+4X25+25=5“例 3 設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60, 求向量a= 2nun與b= 2n- 3m的夾角.反思與感悟此類求解向量模的問(wèn)題就是要靈活應(yīng)用a2= |a|2,即|a| =a2,勿忘記開(kāi)方.求|3a+b|的值.a-b262n2nn ,0= -y,故 a 與 b 的夾角為-3-.反思與感悟求向量夾角時(shí)，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來(lái)再代入公式求角，注意 向量夾角的范圍是0，n.3已知ab=- 9,a在b方向上的投影為一 3,b在a方向上的

9、投影為一-,求a與b的夾角0.又 0w 0 w180,.0= 1201. 已知|a| = 8, |b| = 4, = 120,則向量b在a方向上的投影為()A.4 B. 4 C.2 D. 2答案 D解析 向量b在a方向上的投影為|b|cos=4xcos 120 =2.2. 設(shè)向量a,b滿足|a+b| =10, |ab| = 6，則a-b等于()A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 解析a+b| = (a+b) =a+ 2a-b+b= 10,|ab|= (ab)=a 2a-b+b= 6,由一得 4ab= 4,a-b= 1.3. 若a丄b,c與a及與b的夾角均為 60, |a| = 1,|b|

10、= 2,|c| = 3，則(a+ 2bc)=_ .答案 11 跟蹤訓(xùn)練 3Ia|cos|b|cos=-3,3-，a-b頁(yè)一3,a-b3百一2,=3,3=2,Ja| = 6,|b| = 3.二 cos0a-b9 Ia|b|6x3當(dāng)堂訓(xùn)練7解析(a+ 2bc) =a+ 4b+c+ 4a-b 2a-c 4b-c= 1 + 4X2+ 3 + 4xo2X1X3Xcos 60 4X2X3Xcos6011.84.在厶ABC中, |AB| = 13, |BC= 5, |CA= 12,則KB-希勺值是答案 -25解析易知 | 崩2=|BC2+ |6A2,C= 90.5cosB=又 cosABBo=cos(180

11、 -B), XB-BC= |AB|BCcos(180 -E)5.已知正三角形ABC勺邊長(zhǎng)為 1，求: (1)AB-AC(2) AB-SC;(3)E3C-AC解（1） ABWAO 的夾角為 60 ABWBC勺夾角為120, XE- d|AE| ECCOS120=1X1X-2 =-1/ BOWAC的夾角為 60,A AA A11BO- AO=|BO|AQcos 60 =1X1X=規(guī)律與方法1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正 0w 090時(shí)），也可以為負(fù)（當(dāng)az0,bz0, 9000,即a24|a|b|cos00,又 |a| = 2|b| , =4|b|28|b|2cos

12、0 0,1cos0 w2，又I0W 0 W n ,點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF- BCC勺值為（）答案 B解析如圖所示，XF=麗DFBC=XC-AB KF- BC=(2 畫(huà)|AC- (AC- AB1K21KKIKB.i，nD.Q ,n7.已知ABC是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，點(diǎn)D, E分別是邊AB BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到A8 B. 8C 4 D.11828.12=(AB：ABAO41AC111 I=產(chǎn)14X1X1X2+4=113故選 B.8.在四邊形ABCDLAB= DC且XC-D= 0, 則四邊形ABC是 ()A.矩形C.直角梯形答案 B二、填空題9._ 設(shè)ei,e2是兩個(gè)單位向量，

13、它們的夾角為 60,則(28 ej ( 38 + 2e =_ 答案一 I10. 若|a| = 1, |b| = 2,c=a+b,且ca,則向量a與b的夾角為_(kāi) .答案 120111. 已知單位向量e1與e2的夾角為a,且 cosa= 3，若向量a= 3e1 2e2與b= 3&e2的夾3角為3，貝Ucos3 =_.答案竽解析 /)a|= p(3e1-2e2(=I + 4 12x1x1x g=3,|b|=訃：3&e22=9+16x1x1x3= 2l2,22 a-b=(3e12e2)-(3e1e2)=9e19&-e2+21=99x1x1x3+2=8,cos3 =212.已知向

14、量a在向量b方向上的投影是 3, Ib| = 3,則a-b的值為答案 2解析a-b= |a|b|cosa,b= |b|a|cosa,b2=3X3=2.13.已知點(diǎn)A,B,C滿足 |AB= 3, |BC= 4, |A= 5,則XB-BC+BC-CA+CA- AB勺值是答案 -25 解析CA2= |AB2+ |BC2,B.菱形D.等腰梯形14./B=90,ABBC=0.43/ COSC=7,cosA=二，55.BC-CA=|BC|CAcos (180 -C)4=4X5X()= -16.5CA- XB=|CA|ABcos(180 -A3=5X3X(-)= -9.5 XB- BC+ BC-CACA-XB=-25.三、 解答題14. 已知|a| = 4, |b| = 8,a與b的夾角是 60,計(jì)算：(1)(2a+b) - (2a-b) ; (2)|4a-2b|.2 2解(1)(2a+b) - (2a-b) = (2a) -b2 2 2 2=4|a|-|b|=4X4 -8=0.2 2/14a-2b| = (4a-2b)2 2=16a- 16a-b+ 4b=16X4-16X4X8Xcos 60 +4X82=256. |4a- 2b| = 16.四、 探究與拓展15. 在厶ABC中，已知 |XB= 5, |BC| = 4, |AC= 3，求：(1)XB-