橢圓焦半徑公式及應(yīng)用

1、橢圓焦半徑公式及應(yīng)用橢圓上的任意一點到焦點F的長稱為此曲線上該點的焦半徑，根據(jù)橢圓 的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點弦的一些問題 時，用焦半徑公式解題可以簡化運算過程。、公式的推導(dǎo)設(shè)P （-,門）是橢圓上的任意一點，-''分別是橢圓的左、覽2 y 3-7 H=l（a>b>0）|口口 1i-rj-ri I右焦點，橢圓，求證 一 一，：'_- - 1 ： I. 0證法1:|PFi|= + c)2 4-y =+ c)a + b：!= |a +a + 竺> a- c > 0因為，所以 “. |FF4芻又因為I町11 +疋比4加，

2、所以円十". IFFi 1=*，IPFs l=a 空0證法2:設(shè)P到左、右準(zhǔn)線的距離分別為且aI盟Q _ ）卜1掘Q亠=17日1，又|PJ |=2a-(a +ex0)=a-空。-，所以J 、，由橢圓的第二定義知IPK 1= d,-巳=（zn + ） = a.4 esc C，而.經(jīng)。，|PF? 4以空。0二、公式的應(yīng)用+= 14,例1 橢圓二 1上三個不同的點A（2匚）、B（ -）、C（©'廠）到焦點F （4，0）的距離成等差數(shù)列，求的值。解：在已知橢圓中，右準(zhǔn)線方程為，設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離«<.d, = z!d-j = 4 d 左=一盤？為，貝

3、U 斗 、'-、二 -0 I，而 |AF|、|BF|、|CF| 成等差數(shù)2巴7)=力哲街-L I. 一，即、評析：涉及橢圓上點到焦點的距離問題，一般采用焦半徑公式求解，即 利用焦半徑公式可求出A、B C三點到焦點的距離，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可 求出:W的值。蘭+疋=1例2 設(shè)二V為橢圓'的兩個焦點，點P在橢圓上。已知P、-、L是一個直角三角形的三個頂點，且- ，求丨的值。解：由橢圓方程可知a=3，b=2,并求得：，離心率-0由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P (，)(："：)是橢圓上的一 點，貝U由題意知 |PF】I應(yīng)為左焦半徑，IPFj應(yīng)為右焦半徑。(1)若 / - =-一

4、 為直角，貝 U' 1，即"二打-，解得''- ，故二-I(2)若/上二為直角，貝U “ 卜一，即3嘗唧+ (3-羋御尸，解得匸 故L評析：當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點與焦點的距離時，常利用焦半徑公式把 問題轉(zhuǎn)化，此例就利用焦半徑公式成功地求出 值。蘭亠I例3 已知橢圓C r -，-一 =為其兩個焦點，問能否在橢圓C 上找一點M使點M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是丨與'"丨的等比中項。若存在， 求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解:設(shè)存在點“)，使 -I，由已知得 a=2， 匚，c=1,+ 4 P= i：a+- esn) = 4-g左準(zhǔn)線為x= 4,則，即一 ' l12+ 48=0,解得_ ，或：'。