高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習總教案：2.7　冪函數(shù)與函數(shù)的圖象_20210103224753

1、2.7冪函數(shù)與函數(shù)的圖象典例精析題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例1】點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上.(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)問當x為何值時，有：g(x)f(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x).【解析】(1)設(shè)f(x)xa，因為點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(，2)代入f(x)xa中，得2()a，解得a2，即f(x)x2.設(shè)g(x)xb，因為點(2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(2，)代入g(x)xb中，得(2)b，解得b2，即g(x)x2.(2)在同一坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知：當x1或x1時

2、，g(x)f(x)；當x±1時，f(x)g(x)；當1x1且x0時，f(x)g(x).【點撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟：設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)xa(a為常數(shù))；根據(jù)已知條件求出a的值；寫出冪函數(shù)的解析式.本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想，即在同一坐標系下畫出兩函數(shù)的圖象，借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2，即x41，x±1，以x1，1為分界點分x1，1x1，x1，x±1五種情況進行討論，也能得到同樣的結(jié)果.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)(m2m1) 是冪函數(shù)，且當x(0，)時是減函數(shù)，求實數(shù)m.【解析】因為f(x)為冪函數(shù)，所以m2m

3、11，解得m2或m1.當m2時，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)；當m1時，f(x)x0在(0，)上不是減函數(shù).所以m2.題型二作函數(shù)圖象【例2】作下列函數(shù)圖象：(1)y1log2x；(2)y2|x|1；(3)y|x24|.【解析】(1)y1log2x的圖象是：(2)y2|x|1的圖象是：(3)y|x24|的圖象是：【變式訓(xùn)練2】在下列圖象中，二次函數(shù)yax2bx與指數(shù)函數(shù)y()x的圖象只可能是()【解析】A.題型三用數(shù)形結(jié)合思想解題來源:來源:【例3】已知f(x)|x24x3|.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求m的取值范圍，使方程f(x)mx有4個不同實根.【解析】遞增區(qū)間為1,2，3，

4、)；遞減區(qū)間為(，1)，(2,3).(2)設(shè)ymx與yf(x)有四個公共點，過原點的直線l與yf(x)有三個公共點，如圖所示.令它的斜率為k，則0mk.由x2(k4)x30.令(k4)2120k4±2.當k42時，方程的根x1x2(1,3)，舍去；當k42時，方程的根x1x2(1,3)，符合題意.故0m42.來源:【點撥】(1)作出f(x)的圖象；(2)利用(1)的圖象，研究函數(shù)ymx與yf(x)的交點情況.【變式訓(xùn)練3】若不等式x2logax0對x(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.0a1 B.a1C.a1 D.0a【解析】原不等式為x2logax，設(shè)f(x)x2，g(x)

5、logax，因為0x1，而logaxx20，所以0a1，作出f(x)在x(0，)內(nèi)的圖象，如圖所示.因為f()，所以A(，)，當g(x)圖象經(jīng)過點A時，logaa，因為當x(0，)時，logaxx2，g(x)圖象按如圖虛線位置變化，所以a1，故答案為B.題型四有關(guān)圖象的對稱問題【例4】設(shè)函數(shù)f(x)x，x(，0)(0，)的圖象為C1，C1關(guān)于點A(2,1)對稱的圖象為C2，C2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1)求函數(shù)yg(x)的解析式，并確定其定義域；來源:(2)若直線yb與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點的坐標.【解析】(1)設(shè)P(u，v)是yx上任意一點，所以vu.設(shè)P關(guān)于A(2,1)對稱

6、的點為Q(x，y)，所以代入得2y4xyx2.所以g(x)x2，其定義域為(，4)(4，).(2)聯(lián)立方程得x2(b6)x4b90，所以(b6)24×(4b9)b24b0b0或b4.所以，當b0時，交點為(3,0)；當b4時，交點為(5,4).【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x1)是奇函數(shù).若f(0.5)9，則f(8.5)等于()來源:A.9B.9 C.3 D.0【解析】因為f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，所以f(2x)f(x)f(x)，則f(4x)f(x2)f(x)，即4是函數(shù)f(x)的一個周期，所以f(8.5)f(0.5)9，故應(yīng)選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題，合理進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.總結(jié)提高掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法，用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和