高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：10.7　空間角及其求法_20210103224800

1、10.7空間角及其求法典例精析題型一求異面直線所成的角【例1】(2012天津模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)求證：AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值.【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0).易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為.(2)證明：易知(1,2,1)， (1，4)，(1，0)，

2、于是·0，·0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)設(shè)平面EFD的法向量u(x，y，z)，不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，為平面A1ED的一個(gè)法向量.于是cosu，從而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值為.方法二：(1)設(shè)AB1，可得AD2，AA14，CF1，CE.來(lái)源:連接B1C，BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M，易知A1DB1C.由，可知EFBC1，故BMC是異面直線EF與A1D所成的角.易知BMCMB1C，所以cosBMC.所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為.(2)證明：連接AC，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)N，因

3、為，所以RtDCERtCBA.從而CDEBCA.又由于CDECED90°，所以BCACED90°.故ACDE.又因?yàn)镃C1DE且CC1ACC，所以DE平面ACF.從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF.從而AFB1C，所以AFA1D.來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)因?yàn)镈EA1DD，所以AF平面A1ED.(3)連接A1N，F(xiàn)N.由(2)可知DE平面ACF.又NF平面ACF，A1N平面ACF，所以DENF，DEA1N.故A1NF為二面角A1EDF的平面角.易知RtCNERtCBA，所以.又AC，所以CN.在RtCNF中，NF.在RtA1AN中，A1N.連接A1C1，A1F，在RtA1

4、C1F中，A1F.在A1NF中，cosA1NF.所以sinA1NF. 所以二面角A1EDF的正弦值為.【點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力.【變式訓(xùn)練1】已知二面角a的大小為()，直線AB，CD，且ABa，CDa，若AB與CD所成的角為，則()A.0B.C.D.【解析】選D.題型二求二面角【例2】(2013北京模擬)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面角A

5、BED的大小. 【解析】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG.因?yàn)镋FAG，且EF1，AGAC1.所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AFEG.因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，來(lái)源:所以AF平面BDE.(2)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(，1).所以(，1)，(0，1)，(，0,1).所以0110，1010.所以CFBE，CFDE.所以CF平面BDE.(3)由(2)知，(，1)是平面BDE的一個(gè)法向量.

6、設(shè)平面ABE的法向量n(x，y，z)，則n0，n0.所以x0，且zy.令y1，則z.所以n(0,1，).從而cosn，.因?yàn)槎娼茿BED為銳角，所以二面角ABED的大小為.【點(diǎn)撥】(1)本小題主要考查直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象力推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.(2)空間的平行與垂直以及空間角是立體幾何中重點(diǎn)考查的內(nèi)容；利用平面的法向量的夾角求二面角的平面角是向量知識(shí)在立體幾何中的應(yīng)用，是求二面角常用方法.【變式訓(xùn)練2】在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，則二面角ABCD的大小為()A. B.C. D

7、.【解析】選B.題型三求直線與平面所成的角【例3】已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn).(1)求證：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0).設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，則D(0，m,0)，E(，0)，來(lái)源:可得(，n)，(m，1,0)，因?yàn)?#183;00，所以PEBC.(2)由已知條件得m，n1，故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0,0,1).設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量，因此可以取n(1，0).由(1,0，1)，可得|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.【點(diǎn)撥】利用空間向量法求解問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)建立空間坐標(biāo)系是關(guān)鍵，建立坐標(biāo)系時(shí)要抓住三條互相垂直且相交于一點(diǎn)的直線.【變式訓(xùn)練3】過(guò)正三棱錐SABC的側(cè)棱SB與底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，則側(cè)面與底面所成角