數(shù)字控制系統(tǒng)采樣過程與信號重構教學ppt課件

1、第第2 2章章 采樣過程與信號重構采樣過程與信號重構 由于數(shù)字計算機具有離散時間性質，因此采樣是數(shù)字由于數(shù)字計算機具有離散時間性質，因此采樣是數(shù)字控制系統(tǒng)的根本特征。本章將對采樣過程的機理進展深化控制系統(tǒng)的根本特征。本章將對采樣過程的機理進展深化地分析。采樣實際包含不同采樣類型：單速率采樣、多速地分析。采樣實際包含不同采樣類型：單速率采樣、多速率采樣。本書僅討論單速率采樣系統(tǒng)，即采樣周期率采樣。本書僅討論單速率采樣系統(tǒng)，即采樣周期T T 為常為常數(shù)的情況。數(shù)的情況。 根本概念：根本概念： 采樣過程采樣過程(Sample)：延續(xù)信號經(jīng)采樣開關轉換為離散時間：延續(xù)信號經(jīng)采樣開關轉換為離散時間信號的

2、過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是延續(xù)偏向信號信號的過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是延續(xù)偏向信號e(t) 經(jīng)采經(jīng)采樣開關轉換為離散時間信號樣開關轉換為離散時間信號e*(t) 的過程；的過程；信號重構信號重構(Signal reconstruction)：離散時間信號轉換為延：離散時間信號轉換為延續(xù)信號的過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是離散時間信號續(xù)信號的過程。在數(shù)控系統(tǒng)中，是離散時間信號u*(t)經(jīng)經(jīng)堅持器轉換為延續(xù)控制信號堅持器轉換為延續(xù)控制信號u(t)的過程。的過程。本章重點：本章重點：采樣過程、信號重構機理及其數(shù)學描畫。采樣過程、信號重構機理及其數(shù)學描畫。采樣定理及采樣周期采樣定理及采樣周期T 的選擇。的選擇。2.1

3、引言引言數(shù)控系統(tǒng)信號轉換表示圖及其簡化數(shù)控系統(tǒng)信號轉換表示圖及其簡化圖圖2-1-1 數(shù)控系統(tǒng)信號轉換表示圖數(shù)控系統(tǒng)信號轉換表示圖A/D數(shù)字數(shù)字控制器控制器堅持堅持器器對象對象或過程或過程r(t) e(t)u(t)y(t)e*(t)e(kT)u(kT)u*(t)2.2 采樣過程采樣過程延續(xù)信號延續(xù)信號f(t)經(jīng)過經(jīng)過采樣開關后，轉變?yōu)槊}沖序列采樣開關后，轉變?yōu)槊}沖序列f*(t)的過程。的過程。 1)(0, 0)(0,)(dtttttt 時時當當時時當當理想單位脈沖理想單位脈沖函數(shù)函數(shù)圖圖2-2-1 采樣過采樣過程程2.2.1 時域描畫時域描畫 采樣周期采樣周期T (單位單位s)閉合時間閉合時間

4、(s)采樣角頻率采樣角頻率采樣頻率采樣頻率)/(srads )(HzfssssfTTf 221 kttkTftf 0),()(*由圖由圖2-2-1可可得得)(tkTf 圖圖2-2-2 理想采樣過程理想采樣過程當當 T ，且，且T 遠小于系統(tǒng)延續(xù)部分慣性時間常數(shù)時，可遠小于系統(tǒng)延續(xù)部分慣性時間常數(shù)時，可將采樣開關視為理想的，將采樣開關視為理想的， 0。那么理想采樣過程的時域描。那么理想采樣過程的時域描畫為：畫為：理想采樣過程的時域描畫理想采樣過程的時域描畫 kkTtkTftf)()()(* kkTttf)()( 這個過程相當于模擬信號這個過程相當于模擬信號 f(t) 被被T(t)調制。調制。加權

5、函數(shù)加權函數(shù))()(ttfT 為理想采樣開關產生的脈沖序為理想采樣開關產生的脈沖序列。理想采樣開關相當于一個列。理想采樣開關相當于一個理想脈沖發(fā)生器。理想脈沖發(fā)生器。式中 kTkTtt)()( 2.2.2 采樣過程的頻域描畫采樣過程的頻域描畫求求f*(t) 的的Fourier變換變換F*(j)，也即，也即f*(t) 的頻譜。的頻譜。對于周期信號對于周期信號f(t)，當滿足狄里赫利，當滿足狄里赫利Dirichlet條件時，條件時，f(t)可以用一個可以用一個Fourier級數(shù)來表示，其頻譜級數(shù)來表示，其頻譜F(j)是離散的。是離散的。為為基基準準角角頻頻率率式式中中：級級數(shù)數(shù)的的復復系系數(shù)數(shù)表表

6、達達式式為為022,)(1)(Fourier00 dtetfTdedtftjkTTkktjkk kkjkjdjFFourier)(2)(0 變變換換為為對對應應的的例：例：)()()(2)(21)cos()(000000 jjjjjkjdjFeettfkktjtj t)(tf00 )( jF nssnsTTjnjjnjTtFj)()(2)()( 。的的頻頻譜譜求求脈脈沖沖序序列列)()()( jkTttTkT 例：例： ntjnTTTTjnTTtjnknsntjnnsssseTtTdtetTdtekTtTdTedtfFourier 1)(1)(1)(12,)(22)0(22級級數(shù)數(shù)為為：可可以

7、以展展開開成成其其是是周周期期函函數(shù)數(shù)，t1)(tT )( jTs TT 20ss 20 dejFtfdtetfjFtjtj )(21)(Fourier)()(Fourier反反變變換換的的公公式式為為：變變換換的的公公式式為為：對于非周期信號對于非周期信號f(t)，T，其頻譜，其頻譜F(j )在在 -，+ 上都是延續(xù)的，不存在上都是延續(xù)的，不存在Fourier級數(shù)，只能利級數(shù)，只能利用用Fourier變換求變換求F(j ) 。例：例： jadteejFttfaetftjatat 1)()00)(0,)(0時時，當，當0 )( jF0t)(tf dtgftgtfjGjFtgtfFFourier

8、 )()()()(*)(*)(21)()(代代表表卷卷積積：式式中中有有下下式式成成立立變變換換的的頻頻率率卷卷積積定定理理，根根據(jù)據(jù)采樣信號采樣信號f*(t) 的的Fourier變換變換F*(j)即采樣過程的頻域描畫即采樣過程的頻域描畫求法一：求法一：)()(21)()()(*)(* jjFttfFtfFjFTT ) )(1()(1)(2)(21)()(21)(* nsnsnsTjnjFTjnjFTjnjTjFjjFjF nsTjnjTj)(2)( 又又求法二：求法二： ntjnTntjnTTssetfTttftfeTtFouriert )(1)()()(*1)()(級級數(shù)數(shù)展展開開：的的)

9、()(00 jjFtfeFFouriertj 變變換換的的頻頻移移定定理理有有根根據(jù)據(jù)又又 nsjnjFTjF)(1)(* 采樣過程的頻域描畫表達式采樣過程的頻域描畫表達式)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( )2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(* jFssss 232102123 )(*tft圖圖2-2-3 理想采樣過程頻域分析理想采樣過程頻域分析假設：信號假設：信號f(t)的的頻譜頻譜F(j)為有限為有限帶寬，最高頻率帶寬，最高頻率為為mms 2)1( 此時，高低頻率此時，高低頻率之間不發(fā)生混頻之間

10、不發(fā)生混頻(混疊混疊)景象。景象。 mm )( jF)(tftms 2)2( 此時，高低此時，高低頻率之間發(fā)頻率之間發(fā)生了混頻景生了混頻景象。象。)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( mm )( jF)(tft)2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(*tft )(* jFssss 232102123 采樣過程中存在時域信息損失，采樣過程中存在時域信息損失，T越小，采樣信號越接近越小，采樣信號越接近延續(xù)信號。延續(xù)信號。F*(j)可分為主頻譜可分為主頻譜n=0和高頻和高頻n0兩部分，比兩部分，比原信號頻譜原信號

11、頻譜F( j )派生周期為派生周期為 s 倍數(shù)的無限個高頻頻譜倍數(shù)的無限個高頻頻譜分量。分量。當當 s 2 m 時，在時，在F*( j )頻譜中高低頻不發(fā)生混頻景頻譜中高低頻不發(fā)生混頻景象；否那么出現(xiàn)混頻景象。象；否那么出現(xiàn)混頻景象。分析：分析：)(1tP)(2tP0246810121416-1-0.500.51t時域上的兩信號及其采樣點時域上的兩信號及其采樣點例例的的頻頻譜譜。，及及其其采采樣樣信信號號，時時，分分析析當當采采樣樣頻頻率率同同為為已已知知兩兩信信號號)()()()(19 . 02coscos)(1 . 02coscos)(*2*12122221111tPtPtPtPHzfHz

12、ftfttpHzftfttPs NoImage各點的采樣值相同各點的采樣值相同)()(2 . 0cos)2 . 0cos()2 . 02cos(8 . 1cos8 . 1cos)2cos()(2 . 0cos)2cos()(212211kTPkTPkkkkkkkTfkTPkkTfkTP 時域分析時域分析 nnsssssnjjFjnjFTjFffTf)2()(1)(*22111 ，頻域分析頻域分析 8 . 12)()()(2 . 02)()()(2222211111 fjjjjjPfjjjjjP原信號原信號 8 . 1,)2()2()(2 . 0,)2()2()(222*2111*1 nnnjj

13、jnjjjjPnjjjnjjjjP采樣信號采樣信號 2 . 0 2 . 0 0 n 8 . 1 8 . 10 n 2 . 2 8 . 1 1 n 8 . 3 2 . 0 1 n 2 . 2 8 . 11 n 2 . 0 8 . 31 n 2 . 22 n 2 . 2 2 n0 )(*1 jP0 )(*2 jP0 0 2 . 0 8 . 1 8 . 1 2 . 0 )(1 jP)(2 jP不發(fā)生混頻景象不發(fā)生混頻景象發(fā)生混頻景象發(fā)生混頻景象ms 2 ms 2 2.3 采樣定理采樣定理 在信號不混疊情況下，也即在信號不混疊情況下，也即s 2m時，采用如下低通濾波器可無失時，采用如下低通濾波器可無失

14、真地再現(xiàn)原信號。真地再現(xiàn)原信號。)()()(*tftftf)()()(* jFjFjF)( jG)(tg mm )( jF )(* jFssss 232102123 T1)(2/, 02/),(*)()(*)()(* jFjTFjGjFtgtfss 濾濾波波后后的的頻頻譜譜為為通通過過 2/, 02/,)(ssTjG 理理想想低低通通濾濾波波器器2/2/sin)()(1ttjGLtgss 對對應應2)()(sin)()()(*)(sNkNNkTtkTtkTfdtgftf ，根根據(jù)據(jù)時時域域卷卷積積定定理理有有 )( jGssss 232102123 T香農香農Shanon采樣定理采樣定理: 假

15、設假設m是模擬信號是模擬信號f(t)上限頻率，上限頻率， s為采樣頻率，那為采樣頻率，那么當么當 s 2m時，經(jīng)采樣得到的信號能無失真地再現(xiàn)原時，經(jīng)采樣得到的信號能無失真地再現(xiàn)原信號。信號。采樣定理給出了采樣頻率下限，采樣定理給出了采樣頻率下限，N= s /2 稱為奈奎斯特稱為奈奎斯特Nyquist頻率。頻率。留意：理想的低通濾波器留意：理想的低通濾波器G(s)是不存在的。是不存在的。留意：信號經(jīng)過采樣后只取采樣點上的值。當留意：信號經(jīng)過采樣后只取采樣點上的值。當s 2m ，信號發(fā)生混頻，不同的延續(xù)信號可以得到一樣的采樣信號，信號發(fā)生混頻，不同的延續(xù)信號可以得到一樣的采樣信號， f(t)的高頻

16、信號有能夠混疊在低頻處，因此不再能不失真地的高頻信號有能夠混疊在低頻處，因此不再能不失真地恢復原信號。恢復原信號。2.4 信號重構信號重構采樣的逆過程采樣的逆過程)632(2/)(2/)(sin)()()()()(* ksskTtkTtkTftfjFjGjF 上式成立的條件：上式成立的條件：需求信號為有限帶寬；需求信號為有限帶寬；采樣周期滿足采樣定理；采樣周期滿足采樣定理；需求需求k=- +的數(shù)據(jù)過去和未來的數(shù)據(jù)，物理不可實的數(shù)據(jù)過去和未來的數(shù)據(jù)，物理不可實現(xiàn)，因此不能運用于實踐的數(shù)控系統(tǒng)。現(xiàn)，因此不能運用于實踐的數(shù)控系統(tǒng)。 2/, 02/,)(ssTjG 采采用用理理想想低低通通濾濾波波器器

17、兩類信號重構法：兩類信號重構法：2.4.1 2.4.1 香農重構法：信號完全重構的條件為香農重構法：信號完全重構的條件為2.4.2 信號堅持法信號堅持法Signal hold 僅由原來時辰的采樣值實現(xiàn)信號重構的僅由原來時辰的采樣值實現(xiàn)信號重構的方法，即因果重構，就是信號堅持方法，即因果重構，就是信號堅持signal hold法，在工程上用堅持器實現(xiàn)。從數(shù)學法，在工程上用堅持器實現(xiàn)。從數(shù)學上說，堅持器是處理各采樣點之間的插值問上說，堅持器是處理各采樣點之間的插值問題，用外推方法題，用外推方法由過去時辰輸入的采樣由過去時辰輸入的采樣值值f(kT)，kt/T 外推現(xiàn)時辰外推現(xiàn)時辰 f(t)。Ttta

18、tataatkTftfnn 0,)()(2210 假設假設 ，那么實現(xiàn)上式的堅持器稱，那么實現(xiàn)上式的堅持器稱為為n階堅持器。參數(shù)可由前階堅持器。參數(shù)可由前n+1個時辰的采樣值獨一確定。個時辰的采樣值獨一確定。), 2 , 1(0niai 1 零階堅持零階堅持Zero-order holdTtkTfatkTftf 0)()()(0時域描畫時域描畫)( 1)( 1)(0, 00, 1)(*0Tttthkkt 求求得得脈脈沖沖響響應應為為輸輸入入 圖圖2-4-1零階堅持器零階堅持器輸入、輸出特性輸入、輸出特性u*(t)u(t)tt0 T 2T 3T 4T0 T 2T 3T 4T堅持器堅持器)(*t

19、)(0tht0)(*t tT0)(0thseessthLsGTsTsh 111)()(00則則其其傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為2)(2)2sin()(00TjGTTTjGhh 相相頻頻特特性性幅幅頻頻特特性性 其缺乏是具有多個截止頻率，能經(jīng)過高頻分量，其相頻其缺乏是具有多個截止頻率，能經(jīng)過高頻分量，其相頻特性具有相位遲后。特性具有相位遲后。 22220002)2sin()(1)()00)(111)()(TjTjTjTjTjhTsTsheTTTjeeejejGttfjsseessthLsG 時時，當當條條件件頻頻率率特特性性零階堅持器的頻率特性：零階堅持器的頻率特性：)(0 jGhT理想濾波器理想濾波器

20、零階堅持器零階堅持器-180)(0 jGh 2 一階堅持器一階堅持器tTTkfkTfkTftfTaaTkfakTfTttaatkTftf )1()()()()1()(0)()(10010時時域域描描述述)21)(2( 1)22)( 1)( 12, 02,0,)(0)2(0)(1)0(0, 00, 1)(*1TTtTtTTtTtTtTttTTtTTtTTtTtTthTfTffkkt 代代入入上上式式可可得得求求脈脈沖沖響響應應為為輸輸入入 f(t)t圖圖2-4-4一階堅持器輸出特性一階堅持器輸出特性H1(t)12-1-T 0 T 2T t圖圖2-4-5一階堅持器脈沖呼應一階堅持器脈沖呼應零階與一

21、階堅持器比較如下圖：零階與一階堅持器比較如下圖：2111)1()()(sTesTTthLsGTsh 則則其其傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為)(22122sin)(1)(TarctgTjheTTTTjGjs 頻頻率率特特性性 )(max0tfTeh 對兩種堅持器來說，隨著采樣周期的減小，相對誤差對兩種堅持器來說，隨著采樣周期的減小，相對誤差隨之減小。用零階堅持器重構要獲得隨之減小。用零階堅持器重構要獲得1%的相對誤差，每的相對誤差，每周期需采樣周期需采樣300個點。當采樣點大于個點。當采樣點大于20之后，采用一階堅之后，采用一階堅持器優(yōu)于零階堅持器。持器優(yōu)于零階堅持器。在數(shù)字控制中，零階堅持器容易實現(xiàn)，是運用最廣泛的在數(shù)字控制中，零階堅持器容易實現(xiàn)，是運用最廣泛的一種信號重構法。一種信號重構法。對一階堅持器，假設對一階堅持器，假設 f(t) 具有平滑的二階導數(shù)具有平滑的二階導數(shù) f(t) ，采，采樣后重構誤差可