2020-2021學(xué)年北京市東城區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

1、2020-2021學(xué)年北京市東城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共io小題）.1. （4 分）已知集合從=如 -120, B=<0, 1, 2,則 AD5=（）A. 0B. 1C. 2D. 1, 22. （4分）已知為是公差為，/的等差數(shù)列，S,為其前項和.若S3=3r+3,則4=（）A 一2B. - 1C. 1D. 23. （4分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0, 1）上單調(diào)遞增的是（）A. y=2'xB. y=lnxC. y=D. y=sinv4. （4分）將正方體去掉一個四枝錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）視圖5. （4分）與圓/+（）一1）2=5相切

2、于點（2, 2）的直線的斜率為（）A. 一2B.C. iD. 2716. （4分）函數(shù)/（幻=2sin （o）.v+<p） （u）>0, l（pl<）的部分圖象如圖所示，則/同）7 . （4分）設(shè):，E是兩個不共線向量，則與吊的夾角為銳角”是（a-b） ”的A.充分而不必要條件8 .必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8. （4分）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、 豬.現(xiàn)有十二生百的吉祥物各一個，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個，甲沒有選擇馬, 乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（）9.A. 242 種B. 220

3、C. 200 種D. 110 種（4分）已知拋物線y2=2px （p>0）的焦點廠到準線的距離為2,過焦點廠的直線與拋物線交于A, B兩點、,且L4FI = 3I”I,則點A到y(tǒng)軸的距離為（A. 5B. 4C. 3D. 210. （4分）某公園門票單價30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：10人（含）以上團體購票9折優(yōu)惠：50人（含）以上團體購票8折優(yōu)惠：100人（含）以上團體購票7折優(yōu)惠：購票總額每滿500元減100元（單張票價不優(yōu)惠）.現(xiàn)購買47張門票，合理地設(shè)計購票方案，則門票費用最少為（）A. 1090 元B. 1171 元C. 1200 元D. 1210 元二、填空題（共5小題）11.復(fù)數(shù)

4、怨1112 .函數(shù)/G） =J7zl+/，.的定義域是,cos20 =iq兀13 .已知 sin9=一豆，0G (n, ±y-),貝U cos0 =，2214 .已知雙曲線M: j-七=1 (a>0, Z?>0) , ZkABC為等邊三角形.若點A在丁軸上, £14點、B,。在雙曲線M上，且雙曲線加的實軸為ABC的中位線，則雙曲線M的離心率 為.15 .已知函數(shù)/ G)=消血+3kg),尤0, 2n,其中用表示不超過x的最大整數(shù).例如： =1, 0.5=0, - 0.5= - 1.怨)=:若/G) >x+a對任意尤0, 2ir都成立，則實數(shù)”的取值范圍是.

5、三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16 . (13分)如圖，在四棱錐P-A8C。中，PD上平面ABCD, PD=4,底面ABCD是邊 長為2的正方形，E, F分別為PB, PC的中點.(I )求證：平面AOE1.平面PCO：(II)求直線BE與平面AOE所成角的正弦值.17 . (13分)已知函數(shù)g (x) =sin (x-) , h (x) =cosx,再從條件、條件這兩 個條件中選擇一個作為已知，求：(I ) /(A)的最小正周期；(II ) /(A)在區(qū)間0,5上的最大值.條件：/ (x) =g (a) h (a);條件：f (x) =g (x) +h

6、 (x).18 . (14分)為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機抽取10個水果測量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為100, 150) , 150, 200) , 200, 250) , 250, 300) , 300, 350) , 350, 400(單 位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示：(I )用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量在250, 300) , 300, 350)的水果中抽取6個， 求質(zhì)量在250, 300)的水果數(shù)量：(II )從(I )中得到的6個水果中隨機抽取3個，記X為質(zhì)量在300, 350)的水果數(shù) 量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(III)果園現(xiàn)有該種水果約20000個，其等級規(guī)格及銷售價格如

7、表所示，19.(15分)已知橢圓C:過點 A (-2, 0) , B (2, 0),且離質(zhì)量，(單/h<200200W，V，心 300位：克)300等級規(guī)格 二等一等特等價格(元/4710個)心率為(I )求橢圓。的方程:(II)設(shè)直線/與橢圓C有且僅有一個公共點E,且與X軸交于點G (E, G不重合)，ETLr軸，垂足為7.求證:|TA| _|GA|TB| |GB| . , 220. (15 分)已知函數(shù)/(x) =1-qawR.e(I )若曲線y=/Cr)在點(1, /(I)處的切線平行于直線y=x,求該切線方程;(II)若 ”=1,求證：當 x>0 時，/Cv)>0;(

8、Ill)若/(X)恰有兩個零點，求a的值.21. (15分)給定正整數(shù)叫f 50),若數(shù)列A： a1，S,，如，滿足：，氏(0,1, 4】+2+«=?，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)E (1, m).對于兩個數(shù)列 & bl, bl,，bn9 ；C： Cl, C2, , Cn,，定義數(shù)列 8+C： b+c9 bi+C29 ,瓦+Cn,.(I )設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)E (4, 2),數(shù)列B的通項公式為bn=n (WN*)，求數(shù)列A+8 的前四項和：(II)設(shè)數(shù)列Ar (ON*)具有性質(zhì)E (4, m),數(shù)列B滿足仇=1, b2=2,d=3, b4 =4且勿=陽4 OwN*).若存在一組數(shù)列A,

9、A2,，A"使得A】+A2+4+3為常 數(shù)列，求出m所有可能的值；(III)設(shè)數(shù)列4 (淚N*)具有性質(zhì)E (t, t- 1)(常數(shù)f22),數(shù)列B滿足耕=1, b2 =2, , 且 bj=bj* (JwN*).若存在一組數(shù)列 A, A2,，4,使得4+42+4+8 為常數(shù)列，求k的最小值.(只需寫出結(jié)論)參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。1. （4 分）已知集合 A = xk-120）, 8=0, 1, 2,則 AC8=（）A. 0B. 1C. 2）D. 1, 2解：A=xlx21, B=0, 1, 2）, :.

10、AQB=9 2.故選：2. （4分）已知小是公差為4的等差數(shù)列，S”為其前項和.若S3=34+3,則d=（）A-2B. - 1C. 1D. 2解:V S3 = 3t/i+3, ' 3ai+3d=3ai+3,則 cl= 1.故選：C.3. （4分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0, 1）上單調(diào)遞增的是（）A. y=2 rB. y=InxC. v=D. v=sinvx解：對于A,），=2一、為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于8, .v=/，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意：對于C,，=1為奇函數(shù)，但在區(qū)間（0, 1）上單調(diào)遞減，不符合題意： x對于£）, y=sinA,為奇的數(shù)，由正

11、弦函數(shù)的圖象可知，y=siiu,在區(qū)間（0, 1）上單調(diào)遞增, 符合題意.故選：4. （4分）將正方體去掉一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）視圖 為（）解：將幾何體補充為正方體，如圖1所示:則該正方體去掉這個四棱錐，得到的幾何體的側(cè)（左）視圖如圖2所示:A. -2解：根據(jù)題意,P, -2-1故選：B.5. （4分）與圓/+ （y-1） 2=5相切于點（2, 2）的直線的斜率為（）1 1B. -C.D. 2圓片+ （- 1） 2=5,其圓心為（0, 1）,設(shè)圓心為C,切點（2, 2）為2-0 2'則切線的斜率左=-2,故選：A.兀6. （4分）函數(shù)f （分=2sin（3

12、x+（p） （o）>0, l（pl<-）的部分圖象如圖所示，則f Gr） 乙B.*C亨解：由圖可知,又2XT 5兀 ,兀、 兀 ，2='= 則 TF ,3 = 2兀兀= .<p=-則 f (x) =2sin (2x-?),7T兀-V (n) =2sin (2n-) =2sin (-)=一«故選：A.7. （4分）設(shè)之，式是兩個不共線向量，則“W與E的夾角為銳角”是G -b） ”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解:若a，（曠b），則 <a- b) =a2-|7 | |b|cos<a, b>=|

13、a | (| a |-|b|cos< a， b)=。14是兩個不共線向量，二即|W|聲0,，I a | = | b|cos< a, b>,，cos<7, E>>。，<£,與E的夾角為銳角,而彳與E的夾角為銳角，不妨設(shè)£二（1, 0）, b=（2, 2）,此時b） =-1手0,故W與（之一4）不垂直，“W與己的夾角為銳角”是“W，（a -b） ”的必要不充分條件.故選：B.8. （4分）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、 豬.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個，甲沒有選擇馬，

14、 乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（）A. 242 種B. 220 種C. 200 種D. 110 種解：根據(jù)題意，分3步進行分析：對于甲，不選馬和羊，有10種選法，對于乙和丙，有1個人選擇羊，有2種選法，剩下1人在剩下10個生肖中任選1個，有10種選法，則有10X2X10=200種不同的選法，故選：C.9. （4分）已知拋物線丁=2外（）的焦點廠到準線的距離為2,過焦點廠的直線與拋 物線交于A, B兩點,且L4FI = 3IF8,則點A到y(tǒng)軸的距離為（）A. 5B. 4C. 3D. 2解：焦點F到準線的距離為=2,過點A作A。垂直于準線/于點。，過點8作BE垂直于/于點E,延長A8交

15、/于點C,則BCEs/vic。，“ BC BE BF 1所以=AC AD AF 3'記 BC=x,則 AC=3a因為 L4n=3IFBI,1 1Q所以即言此4工，”=3即嘮工， jZ乙乙因為CF=BC+BF=x, F為AC的中點，所以 AO=2FG=4,即點A至I y軸的距離為4*=3.故選：C.10. （4分）某公園門票單價30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：10人（含）以上團體購票9折優(yōu)惠：50人（含）以上團體購票8折優(yōu)惠：100人（含）以上團體購票7折優(yōu)惠：購票總額每滿500元減100元（單張票價不優(yōu)惠）.現(xiàn)購買47張門票，合理地設(shè)計購票方案，則門票費用最少為（）A. 1090 元B. 1

16、171 元C. 1200 元D. 1210 元解：由于需要購買47張門票，所以不能享受優(yōu)惠政級中的和，若只按優(yōu)惠政褰購買，則門票費用為47X30X90%= 1269元；若將47分為17+17+13,則可享受兩次優(yōu)惠政策，一次優(yōu)惠政褰，門票費用為（17X30- 100） X2+13X30X90%=1171 元，因為1269>1171,所以門票費用最少為1171元.故選：B.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.復(fù)數(shù)史也14-3/ .解:復(fù)數(shù)空三=二- 3/1 -1*1故答案為：4-3L12.函數(shù)/ （x） =11+歷x的定義域是1,十8）解：由題意得：jxT）Q,>0,解得

17、門“故函數(shù)的定義域是1, +°°）,故答案為：1, +8).1q兀13.已知 sin6=一石，0e (n,則 cosB =13兀事一 -=4-可得 cose=_ Jisi 產(chǎn)以=小(-產(chǎn)-¥解：因為 sine=-w，0e (n, f), O乙可得 cos2e=2cos20-1=2X (-2返)2-i=1 39故答案為：-享，卷. 4 y.2 214 .已知雙曲線M：3-七=1 (a>0, >0) , ZkABC為等邊三角形.若點A在)，軸上, az bz點、B,。在雙曲線用上，且雙曲線M的實軸為A8C的中位線，則雙曲線M的離心率 為_亞_.解：雙曲線M

18、的實軸為A8C的中位線，二等邊aABC的邊長為44假設(shè)點B在第一象限，則點8的坐標為(2，J9。，4a23 2將其代入雙曲線M的方程有，-"-=1,故答案為：V2.15 .已知函數(shù)/G) =2忻叫3“叫.w0, 2n,其中燈表示不超過x的最大整數(shù).例如： =1, 0.5=0, - 0.5= - 1.®f 嗎-)=_4：Q若“X)>x+a對任意正0, 2巾都成立，則實數(shù)”的取值范圍是 (-8, 2-2川 .解： ®f )=2sirr-+3cos- =2 ”+3=20+3 】=母；若/ (x) >x+a對任意成0, 2巾都成立，即為aV/(x) 7=2區(qū)同

19、+3k3)-x對任意.回0, 2旬都成立，當 a=0 或 x=2n 時，,f (x) - x= 1+3=4 或 4 - 2ir；兀兀當 x=時，/ M -x=2+l -=3 乙乙_4- 71=- n;當 x=n 時，f (x) 一元=3等十號等等,7T當 OVxV-時，siiuG (0, 1) , cosaW (0, 1), 乙7T7T可得,忘2。+3。-虧=2-虧； 乙乙兀4同理可得當虧VxViT時，可得aW20+37-Tr=5-E2兀262'當 irVxV-y-時，可得 ”W27+3.J 乙當耳L<rV21r 時,可得 aW2+30- 27r=,-2Tr.乙乙Q綜上可得，”的

20、取值范圍是(-8, -2n.4q故答案為：:(-8, - - 2n. u)乙三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16. (13分)如圖，在四枝錐P-A8C。中，平面ABC。，PO=4,底面ABCD是邊長為2的正方形，E, F分別為PB, PC的中點.(I )求證：平面從OEJ平面PC。：(II)求直線8E與平面AOE所成角的正弦值.【解答】(I )證明：因為P。，平面ABC。,所以 POJ_A。，因為底面A3CD是正方形，所以AOLC。，因為 ponco=。，所以AO«L平面PCD,又AOu平面AOE,所以平面AOE_L平面PCD;(II )解：因為

21、尸。，平面A8CO,所以 PD«LA。，PD±CD9因為底面ABC。是正方形，所以 AOJ_C。，如圖建立空間直角坐標系O-qz,因為PD=4,底面ABC。是邊長為2的正方形，所以尸(0, 0, 4) , A (2, 0, 0) , B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , D (0, 0, 0) , E (1, 1, 2) , F (0, 1, 2),則球 0, 0), DE=(1, 1, 2), BF=(-2, -1, 2),設(shè)平面AOE的法向量為y, z),-mDA=0 , ? f2x=0則有一 一，可得 0mDE=0 x+y+2z=0所以m=(0, 2

22、, T),設(shè)直線BF與平面AOE所成的角為0,則諦，譚涌卜向黑所以直線8廠與平面ADE所成角的正弦值為二邑.17. (13分)已知函數(shù)g (x) =sin (x-) , h (x) =cos.v,再從條件、條件這兩o個條件中選擇一個作為已知，求:(I ) / M的最小正周期：(II ) /(A)在區(qū)間0,令|上的最大值.乙條件：/ (x) =g(X) h (x)；條件：f (x) =g (.v) +h (x).解：選擇條件:V3 .1 、 f3、/ 1 勺 l+cos2x2222217T 1=苧由2.-=(2r-) -。，44649JTn.所以/(x)的最小正周期7=工丁 乙"J t

23、Jl I 5 JI(ID因為.隹0, -1,可得21工日一丁，馬一,2666所以 sin (2v-)日-4，1,可sin -春，),622642 4TT TTTT1當2工一一=丁，即時，.f(X)有最大值"7.選擇條件：.f (a) =g (x) +h (a),(I ) / (a) =sin+cosx= (-siiu - -cos.v) +cosx622=苧底會皿(x吟)，9 JT所以/ G)的最小正周期T=2m(II)因為.隹0, -y,可得人吟6卷，等,所以sin,IL兀兀兀當即工=丁丁時，f(x)有最大值1. uZ318. (14分)為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機抽取10個水

24、果測量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為100, 150)，150, 200) , 200, 250) , 250, 300) , 300, 350) , 350, 400(單位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示:(I )用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量在250, 300) , 300, 350)的水果中抽取6個,求質(zhì)量在250, 300)的水果數(shù)量:（II）從（I ）中得到的6個水果中隨機抽取3個，記X為質(zhì)量在300, 350）的水果數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）果國現(xiàn)有該種水果約20000個，其等級規(guī)格及銷售價格如表所示，試估計果園該種水果的銷售收入.卓頻率組距00150503003質(zhì)量?。▎蝝&l

25、t;200200W?V加 2 300位:克）300等級規(guī)格 二等一等特等價格（元/4710個）解：（I ）質(zhì)量在250, 300） , 300, 350）的該種水果的頻率分別為0.008X50=0.4,0.004X50=0.2,其比為 2： 1,所以按分層抽樣從質(zhì)量在250, 300） , 300, 350）的這種水果中隨機抽取6個，質(zhì)量在250,300)的該種水果有4個;(II)0, 1,2,3C4 1P (X=0)P (X=l)=J D%C63p (X=2)=DC42 1C65'I ）可知，6個水果中有2個質(zhì)量在300, 350）,所以X的所有可能取值為所以X的分布列為:X012P

26、1 535151Q1所以 E(X) =0X2十IX菅十2X = 1; S33(Ill)二等品的須率為(0.002+0.002) X50=0.2,一等品的頻率為(0.003+0.008) X50=0.55,特等品的頻率為(0.004+0.001) X50 = 0.25,19. (15分)已知橢圓C：則20000個水果中共有二等品4000個，一等品11000個，特等品有5000個, 貝”銷售收入約為 4000X4+11000X7+5000 探 10=143000 元.=1 (a>>0)過點 A (-2, 0) , B (2, 0),且離心率4 乙(I )求楣圓C的方程:(II)設(shè)直線/

27、與橢圓C有且僅有一個公共點E,且與X軸交于點G(E, G不重合)，Gx軸，垂足為求證：借卜解2二2el.解：(I )由題意可得e=T=V ,解得：，尸=4,尻=3,2八2工2a -b +c22所以橢圓的方程為：-=1：4 37(II)由題意可得直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為：y=k.x+m (】工0),整理可得：(3+42)+8k?x+4?2 - 12=0,由題意可得=(),即646層- (3+4好)(團2-3) =0,解得：尸= 3+4M設(shè) G (xi, 0) , E (刈，yo)則片=一乎，xo=： 2 = 一, k 3十妹 m因為E7Lx軸，所以7(-生，0), m第十21|

28、U| ' m |-4k+2ml |m-2k|TB| |2_(_4k |2m+4k|m+2k，m又因為留=|irr2k |m+2k |所以可證：W=w220. (15分)已知函數(shù)/(x) =1-且 WR.(I )若曲線y=/a)在點(1, /(I)處的切線平行于直線y=x,求該切線方程;(II )若 4=1,求證：當 X>0 時，/(X)>0；(III)若/(X)恰有兩個零點，求”的值.ax(x-2)解：()因為 r a)=-一， e所以 f (1) = - -= 1 ,故4=-6 e所以7 (1) =1-且=2, e所以切線方程為y-2=x- 1,即y=x+l.2Z V(I

29、I)當 4=1 時，/(X)=1 一 J, f (X)='"尸,eAe .當.隹(0, 2)時，r (X)<0, / (x)單調(diào)遞減，當.隹(2, +8)時，f (a) >0, f G)單調(diào)遞增，4所以的最小值為/ (2) =1->0, 日一故.¥>0 時，/(X)>0.,2(III)對于函數(shù)/。)=1-受一，wR,e當“W0時，/ (a) >0, / (x)沒有零點，/ax(x-2)當 </>0 時，f G)=；一，當.隹(-8, 0)時，G) >0,所以/(X)在區(qū)間(-8, 0)上單調(diào)遞增,當.隹(0, 2

30、)時，f G) <0,所以/G)在區(qū)間(0, 2)上單調(diào)遞減，當.隹(2, +8)時，f (a) >0,所以/G)在區(qū)間(2, +8)上單調(diào)遞增，所以f(0) =1是函數(shù)的極大值，/ (2) =1-避是/6)的極小值， 日一a(-)21因為八一五)F一 -七=】一出°'F ee所以/ (x)在(-8, 0)上有且只有一個零點4a由/=1-,日一2若f (2) >0,即“V旦一，/ (x)在區(qū)間(0, +8)上沒有零點.42若f(2) =0,即=且_，/Cv)在區(qū)間(0, +oo)上只有一個零點.42若f (2) <0,即4>另_,由于f (0) =1,所以/(x)在區(qū)間(0, 2)上有一個零點.4由(II)知，當心>0時，、1 16a316a316a31所以n一記區(qū)故/(X)在區(qū)間(2, 4a)上