傅里葉變換原理-文檔資料

1、1傅立葉積分變換傅立葉積分變換 （傅氏變換）（傅氏變換）拉普拉斯積分變換拉普拉斯積分變換 （拉氏變換）（拉氏變換）21、何為積分變換？、何為積分變換？).()(),(Fdttftkba記記為為 所謂積分變換，實際上就是通過積分算，把一所謂積分變換，實際上就是通過積分算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的一種變換個函數(shù)變成另一個函數(shù)的一種變換. .：變量，具體形式可寫為變量，具體形式可寫為這類積分一般要含有參這類積分一般要含有參原原像像函函數(shù)數(shù)；是是要要變變換換的的函函數(shù)數(shù)，這這里里 )(tf像像函函數(shù)數(shù)；是是變變換換后后的的函函數(shù)數(shù)， )(F.),(積積分分變變換換核核是是一一個個二二元元函函數(shù)數(shù)，

2、tK32、積分變換的產(chǎn)生、積分變換的產(chǎn)生 數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運算先把復(fù)雜問題變?yōu)閿?shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運算先把復(fù)雜問題變?yōu)楸容^簡單的問題，求解后，再求其逆運算就可得比較簡單的問題，求解后，再求其逆運算就可得到原問題的解到原問題的解. .原原 問問 題題原問題的解原問題的解直接求解困難直接求解困難變換變換較簡單問題較簡單問題變換后問題的解變換后問題的解求求 解解逆變換逆變換4 如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、商運算化為較簡單的和、差運算；商運算化為較簡單的和、差運算； 再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)

3、變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況思路都屬于這種情況. . 基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換. .其主要體現(xiàn)在：其主要體現(xiàn)在： 數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能實現(xiàn)卷積與能實現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化. . 工程上：工程上：是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)分析是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具的重要工具. .5主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：1、 傅立葉積分公式傅立葉積分公式2、傅立葉變換及其性質(zhì)、傅立葉變換及其性質(zhì) 3、卷積、卷積61 1 傅立葉級

4、數(shù)與積分傅立葉級數(shù)與積分1 1、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式在在高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)中有下列定理：中有下列定理：定理定理1 1一一個個周周期期上上滿滿足足：上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件，即即在在為為周周期期的的實實函函數(shù)數(shù)，且且在在是是以以設(shè)設(shè)2,2)(TTTtfT （1 1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2 2）只有有限個極值點）只有有限個極值點. . 則在則在連續(xù)點連續(xù)點處，有處，有7)1(. )sincos(2)(10 nnnTtnbtnaatf).,2,1(sin)(2),2,1(cos)(2,2,d)(22222220 ndttntfTbn

5、dttntfTaTttfTaTTTTTTTnTnT其其中中).0()0(21)1(000 tftftTT式式右右端端級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于處處，在在間間斷斷點點8注意：注意：.2sin,2cosiiiieeiee )(”寫寫為為“也也有有的的課課本本上上把把“ji于是于是.222222)(1010 ntninntninnntnitnintnitninTeibaeibaaeeibeeaatf9,3,2,1,2,2,200 nbiacbiacacnnnnnn令令則則)2(.)( ntinnTectf（2 2）式稱為傅立葉級數(shù)的）式稱為傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，復(fù)指數(shù)形式，具有明顯具有明顯的物理意義的物

6、理意義. .)3().,2,1,0()(122 ndtetfTccTTtinTnn可可以以合合寫寫成成一一個個式式子子容容易易證證明明102 2、傅立葉積分、傅立葉積分 任何一個非周期函數(shù)任何一個非周期函數(shù) f (t), 都可看成是由某個周都可看成是由某個周期函數(shù)期函數(shù) fT (t) 當(dāng)當(dāng)T T+時轉(zhuǎn)化而來的時轉(zhuǎn)化而來的. .).()(limtftfTT .)(1lim)(,)(1)()3()2(2222 ntinniTTntininTTedefTtfedefTtfTTTT可可知知，得得、由由公公式式11.,2,1nnnnnTTn 或或則則令令 nntiiTntiiTTnTTnnnTTneef

7、edefTtf2222d)(21lim)(1lim)(0T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2于是于是12.)(21)(22tiiTnTnTTnedef 令令)4(.)(lim)(0 nnnTntf故故.)(21)()(,0tiinnTnnnedefT 時時即即注注意意到到當(dāng)當(dāng)從而按照積分的定義，（從而按照積分的定義，（4 4）可以寫為：）可以寫為：,)()( dtf或者或者13)5(.)(21)( dedeftftii公式（公式（5 5）稱為函數(shù)）稱為函數(shù) f(t) 的的傅氏積分公式傅氏積分公式. .定理定理2 2 若若 f(t) 在在(-(- , +, + ) )上滿足條件上滿足條件:

8、: (1) f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; ; (2) f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(-(- , +, + ) )上絕對可積上絕對可積, ,即即.|)(|收收斂斂 dttf則（則（5 5）在）在 f(t) 的的連續(xù)點連續(xù)點成立成立. .2)0()0(,)(000來來代代替替應(yīng)應(yīng)以以處處的的間間斷斷點點而而在在 tftfttf上述定理稱為上述定理稱為傅氏積分定理傅氏積分定理. .14可可以以寫寫為為三三角角形形式式，即即公公式式時時，滿滿足足傅傅氏氏積積分分定定理理條條件件可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng))5()(tf)6(.2)0()0()(),()(cos)(10

9、其其它它，連連續(xù)續(xù)點點處處，在在tftftftfddtf事實上事實上, ,根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式, ,有有.)(sin)()7()(cos)(21)(21)()(ddtfidtfddeftfti 15.)(sin)()(cos)(的的偶偶函函數(shù)數(shù)和和奇奇函函數(shù)數(shù)分分別別是是和和因因為為 dtfdtf所以由所以由(7),(7),得到得到 0.)(cos)(1)(ddtftf于是于是(6)成立成立.162 2 傅立葉變換傅立葉變換1、傅立葉變換的概念、傅立葉變換的概念 上一節(jié)介紹了：當(dāng)上一節(jié)介紹了：當(dāng) f(t) 滿足一定條件（？）時，滿足一定條件（？）時，在在 f(t) 的連續(xù)點處有：的連續(xù)點處

10、有：.)(21)( dedeftftii)2(.)(21)()1(,)()( deFtfdtetfFtiti則則從從上上式式出出發(fā)發(fā)，設(shè)設(shè)17的的傅傅立立葉葉變變換換為為式式，即即稱稱)()()()1(tfdtetfFti 簡稱簡稱傅氏變換傅氏變換, ,記為記為F F )(F);(tf為為傅傅立立葉葉逆逆變變換換式式，即即稱稱 deFtfti)(21)()2(簡稱簡稱傅氏逆變換傅氏逆變換, ,記為記為F F )(tf).(1tf ).()()2()1(tfF和和式式，定定義義了了一一個個變變換換對對式式和和.)()()()(的的原原像像函函數(shù)數(shù)為為的的像像函函數(shù)數(shù)；為為也也稱稱FtftfF還可

11、以將還可以將 f(t) 和和 F( )用箭頭連接用箭頭連接: : f(t) F( ) .18.0,0,0,0)(1 其其中中其其積積分分表表達達式式的的傅傅氏氏變變換換及及求求函函數(shù)數(shù)例例tettft.,)(是是工工程程中中常常碰碰到到叫叫做做指指數(shù)數(shù)衰衰減減函函數(shù)數(shù)這這個個tftf (t)o19解解: :根據(jù)定義根據(jù)定義, , 有有 0)()(tdeetdetfFtitti這就是指數(shù)衰減函數(shù)的這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換傅氏變換. 0)(tdeti.122 ii20 deideFtftiti2221)(21)(根據(jù)積分表達式的定義根據(jù)積分表達式的定義,有有注意到注意到.sincostitet

12、i 02222.sincos1)sin(cos21)(dttdtititf化簡化簡整理整理21 .0,0,2/,0,0sincos022tettdttt因因此此.0,e)(22 AAtft其其中中的的傅傅氏氏變變換換求求例例-鐘形脈沖函數(shù)鐘形脈沖函數(shù). tdeAetdetfFtitti2)()(解解: :根據(jù)定義根據(jù)定義, , 有有22.)(4242222 AetdeAetdeAeFittit化簡化簡整理整理如何計算？如何計算？這里利用了以下這里利用了以下 結(jié)果：結(jié)果：).0(2 dxex232 2、傅立葉變換的物理意義、傅立葉變換的物理意義 如果仔細(xì)分析如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏

13、積分周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達式表達式,)( ntinnTectf,)(21)( deFtftin的的表表達達式式和和以以及及)(Fcn,)(122 TTtdetfTctinTn.)()( tdetfFti24由此引出以下術(shù)語：由此引出以下術(shù)語： 在頻譜分析中在頻譜分析中, , 傅氏變換傅氏變換F( )又稱為又稱為 f(t) 的的頻頻譜譜函數(shù)函數(shù), , 而它的模而它的模|F( )|稱為稱為f(t)的的振幅頻譜振幅頻譜( (亦簡亦簡稱為頻譜稱為頻譜).). 由于由于 是連續(xù)變化的是連續(xù)變化的, , 我們稱之為連我們稱之為連續(xù)頻譜續(xù)頻譜, , 對一個時間函數(shù)作傅氏變換對一個時間函數(shù)作傅氏變

14、換, , 就是求這就是求這個時間函數(shù)的頻譜個時間函數(shù)的頻譜. .顯然，振幅函數(shù)顯然，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率是角頻率w的的偶函數(shù)偶函數(shù), 即即. | )(| )(| FF,sin)(cos)(e)()( ttdtfittdtftdtfFti這這是是因因為為25. | )(| )(|,sin)(cos)(| )(|22 FFtdttftdttfF顯顯然然有有所所以以.)()(arg)(相相角角頻頻譜譜稱稱為為的的輻輻角角tfFF顯然顯然,dcos)(dsin)(arct)(arg tttftttfanF 相角頻譜相角頻譜argF( )是是 的的奇函數(shù)奇函數(shù).26 ,2| , 0,2| ,)(

15、atatEtf例例3 3 求單個矩形脈沖函數(shù)求單個矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖的頻譜圖. .2sin2)()(2222aEeiEdtEedtetfFaatititiaa 解：解：27請畫出其頻譜圖請畫出其頻譜圖.頻譜為頻譜為. |2sin|2| )(|aEF 以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會在有關(guān)專業(yè)課中詳?shù)膽?yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會在有關(guān)專業(yè)課中詳細(xì)介紹！細(xì)介紹！28本講小結(jié)：本講小結(jié)：1. 掌握傅氏積分定理的條件和結(jié)論；掌握傅氏積分定理的條件和結(jié)論；2. 掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；3. 了解傅

16、氏變換的物理意義了解傅氏變換的物理意義.29單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)2 2、 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)1 1、 單位脈動函數(shù)單位脈動函數(shù) .,0,0,1)(其其它它tt(t)1/Ot 在物理和工程技術(shù)中在物理和工程技術(shù)中, , 有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì)有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì). . 例如斷電以后的突然來電等例如斷電以后的突然來電等; ; 在力學(xué)中在力學(xué)中, , 機械系統(tǒng)受沖擊機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等力作用后的運動情況等. . 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù)紹的單位脈沖函數(shù). .物理學(xué)家狄拉克首先引入，此后在物理物理學(xué)家狄拉克首先引入，此后

17、在物理及工程技術(shù)中被廣泛地采用及工程技術(shù)中被廣泛地采用.30 在原來電流為零的電路中在原來電流為零的電路中, , 某一瞬時某一瞬時( (設(shè)為設(shè)為t=0) )進入一單位電量的脈沖進入一單位電量的脈沖, , 現(xiàn)在要確定電路上的電流現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù)表示上述電路中的電荷函數(shù), , 則則 .0,1,0,0)(tttq.)()(lim)()(0ttqttqdttdqtit 由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率, 即即 所以所以, 當(dāng)當(dāng)t 0時時, i(t)=0, 由于由于q(t)不連續(xù)不連續(xù), 從而在普從而在普通導(dǎo)數(shù)

18、意義下通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.31如果我們?nèi)绻覀冃问叫问降赜嬎氵@個導(dǎo)數(shù)地計算這個導(dǎo)數(shù), , 得得.1lim)0()0(lim)0(00 ttqtqitt 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度數(shù)能夠表示這樣的電流強度. . 為此為此, , 引進一稱為狄拉引進一稱為狄拉克克(Dirac)(Dirac)的函數(shù)的函數(shù). . 有了這種函數(shù)有了這種函數(shù), , 對于許多集中于對于許多集中于一點或一瞬時的量一點或一瞬時的量, , 例如點電荷，點源例如點電荷，點源, , 集中于一點集中于一點的質(zhì)量

19、及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, , 就能夠象處就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣理連續(xù)分布的量那樣, , 以統(tǒng)一的方式加以解決以統(tǒng)一的方式加以解決. . .0,0,0)(ttti廣義函數(shù)，廣義函數(shù)，沒有普通意義沒有普通意義下的函數(shù)值下的函數(shù)值. .322.1 單位脈沖函數(shù)的定義單位脈沖函數(shù)的定義定義定義對于任何一個對于任何一個無窮次可微無窮次可微的函數(shù)的函數(shù) f(t), 稱滿足稱滿足)1()()(lim)()(0tdtfttdtft .)(.)(是是單單位位脈脈動動函函數(shù)數(shù)這這里里函函數(shù)數(shù)為為的的tt 2.2 單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)(1) 積分性質(zhì)積分

20、性質(zhì))2(.1)( tdt.11)(lim)(00 tdtdttdt證明：證明：33 一些工程書中，一些工程書中，-函數(shù)常用一個長度等于函數(shù)常用一個長度等于1 1的有向線段來表示的有向線段來表示. .tO(t)1)3().0()()(ftdtft (2) 篩選性質(zhì)篩選性質(zhì)對于無窮次可微的函數(shù)對于無窮次可微的函數(shù) f(t)，有，有一般地一般地)4(. )()()(00 tftdtftt34 這一性質(zhì)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛這一性質(zhì)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛的應(yīng)用的應(yīng)用. 求求單位脈沖函數(shù)的傅氏變換單位脈沖函數(shù)的傅氏變換. .解：解：.1)()(0 ttitietdetF 可見可見,

21、 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) (t)與常數(shù)與常數(shù)1 1構(gòu)成了一構(gòu)成了一傅傅氏變換對氏變換對； 同理同理, , (tt0)和和 亦構(gòu)成了一個亦構(gòu)成了一個傅氏變傅氏變換對換對. .0tie 35.)( dttf 需要指出的是，此處的廣義積分是按需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)(1)式計式計算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換氏變換為廣義的傅氏變換. . 根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)f f( (t t) )能取傅立葉積能取傅立葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對可積，即分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對可積，即 實際

22、上這個條件非常強，它要求實際上這個條件非常強，它要求f f( (t t) )條件較條件較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點. .如如.,;cos,sin2可可積積的的條條件件等等多多項項式式都都不不滿滿足足絕絕對對ttettt36 如此以來，較強的條件使得傅立葉變換的應(yīng)如此以來，較強的條件使得傅立葉變換的應(yīng)用受到限制用受到限制. 為克服這一缺陷，我們把單位脈沖為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換. 實際運算時，我實際運算時，我們通常

23、用傅氏逆變換來推證們通常用傅氏逆變換來推證.比較典型的有：比較典型的有： u(t)（單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)）, sin t, cost. 同樣可以說同樣可以說, , 象函數(shù)象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)和象原函數(shù) f(t)亦構(gòu)成亦構(gòu)成一個傅氏變換對一個傅氏變換對. .37 0, 0, 0, 1)(tttu稱為單位躍階函數(shù)稱為單位躍階函數(shù).首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換.我們用考察我們用考察逆變換逆變換的方法證明的方法證明. .則則事事實實上上，設(shè)設(shè)),(1)( iFdeitfti )(121)().(1)( itu的的傅傅氏氏變變換換為為證證明明38d

24、edeititi )(21121(*).21sin1d)(21sin210 dtedtti由于由于,2sin0 dxxx所以所以當(dāng)當(dāng) t0 時，有時，有.2sinsin000 duuudtutt時時綜上所述，根據(jù)綜上所述，根據(jù)(*), 有有)(1)(1 iFtf 0, 021210, 12121tt).(tu 證畢證畢. .40解：由定義，有解：由定義，有 )(01Fdeti )(210)()(0和和 例例3 求求的傅氏逆變換的傅氏逆變換. .210tie 特別地特別地 )(1F.21得到得到).(200 tieF41.)(200構(gòu)構(gòu)成成了了一一個個傅傅氏氏變變換換對對和和即即 tie(*).

25、(20)(0 tdeti.00時時也也常常用用注注意意 例例4 4 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) f(t)=sin 0 t 的傅氏變換的傅氏變換. .解：解： tdeieettdeFtitititi2sin)(00042同理，可得同理，可得 .)()()(2)(221210000*)()(00 iitdeeititi即即 .)()()(sin000 itF .)()()(cos000 tF注：我們介紹注：我們介紹-函數(shù)，主要是提供一個應(yīng)函數(shù)，主要是提供一個應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性. .43 為了能更好的用傅立葉變換這一工具解決各類為了能更好的用傅立葉變換這一工

26、具解決各類實際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握實際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握. 為了敘述方便起見為了敘述方便起見, , 假定在這些性質(zhì)中假定在這些性質(zhì)中, , 凡凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件的條件, , 在證明這些性質(zhì)時在證明這些性質(zhì)時, , 不再重述這些條件不再重述這些條件. .1、 線性性質(zhì)線性性質(zhì)F F )(1F設(shè)設(shè)),(1tf )(2F),(2tfF F則則F F).()()()(22112211FkFktfktfk .21為為常常數(shù)數(shù)，其其中中kk逆變換逆變換也具有類似的性質(zhì)，請寫出相應(yīng)的性質(zhì)也具有類似的性質(zhì)，

27、請寫出相應(yīng)的性質(zhì). .442、位移性質(zhì)、位移性質(zhì).)()(0的的位位移移函函數(shù)數(shù)為為稱稱tfttf .)()(00Fettfti F有有，則則對對于于實實常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè),)()(00tFtf F F duuftdettfttftuiuttti)(0000e)()()(F證明：根據(jù)定義，得證明：根據(jù)定義，得).()(00Fedueufetiuiti 45 顯而易見，顯而易見，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一個函數(shù)是：知道了一個函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！.)()(001tietfF F F同理可得同理可得有有，則則對對于于實實常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)

28、,)()(0Ftf F F推論推論),()(21cos)(000 FFttfF F).()(2sin)(000 FFittfF F提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明. .463 3、微分性質(zhì)、微分性質(zhì)證明證明：根據(jù)定義，得：根據(jù)定義，得 )()()(tfdedtetftftitiF Ftdeitfetftiti )()( 如果如果 f(t) 在在(- , + )上連續(xù)或只有有限個可去間上連續(xù)或只有有限個可去間斷斷點點, , 且當(dāng)且當(dāng)|t|+ 時時, f(t)0, 則則).()( tfitfF FF F ).(tfiF F 47).()()()(tfitfnnF FF F 類似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：類似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 一般地，如果一般地，如果 在在(- , + )上連續(xù)或只有上連續(xù)或只有有限個可去間斷點有限個可去間斷點, , 且當(dāng)且當(dāng)| |t t| |+ + 時時, , 有有)()(tfn).1, 1 , 0(0)()( nktfk則則).()()(ddtftiFnnnnF F .)( 的的傅傅氏氏變變換換經(jīng)經(jīng)常常使使用用上上述述公公式式求求tftn48例如，設(shè)例如，設(shè) . 0, 0);0, 0(0,)(tAtAetft.)()(iAFtf 的的傅傅氏氏變變換換則則.)()()()(