lqsAAA平面曲線的弧長PPT

1、 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長1小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)弧長的概念弧長的概念直角坐標情形直角坐標情形參數方程情形參數方程情形7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長第第7 7章章 定積分的應用定積分的應用極坐標情形極坐標情形 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長2,0MA 設設A、B是曲線是曲線在在弧上插入分點弧上插入分點依次用弦將依次用弦將記每條弦記每條弦的長度為的長度為折線長度的極限折線長度的極限如果當分點無限增加如果當分點無限增加, ,|lim110存在存在iniiMM 弧長弧長( (長度長度).).,1 nM弧上的兩個端點弧上的兩個端點,光滑曲線弧是可求長光滑曲線弧是可求長

2、.Oxy A B0M nM 1M 2M iM 1 nM 則稱則稱此極限此極限為曲線弧為曲線弧 AB的的,1iMM ,BMn 相鄰兩點聯結起來相鄰兩點聯結起來, 得到一條內接折線得到一條內接折線., 2 , 1|,|1niMMii . |max11iiniMM 令令,0時時且且 一、平面曲線弧長的概念一、平面曲線弧長的概念 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長3xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12 弧長元素弧長元素,d1d2xys 弧長弧長.d12xysba 小切線段的長為小切線段的長為:弧段的長弧段的長,)(xfy 設曲線弧為設曲線弧為y = f (x),(bxa 其中其

3、中f (x)在在a, b上有上有一階連續(xù)導數一階連續(xù)導數.取積分變量為取積分變量為x,任取小區(qū)間任取小區(qū)間,d,xxx xd在在a, b上上二、直角坐標情形二、直角坐標情形現在計算這現在計算這曲線弧的長度曲線弧的長度.(弧微分弧微分)以對應小以對應小切線段的長代替小切線段的長代替小 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長4解解2)(1y 所求弧長為所求弧長為xaxsdch axaayaxaxch)ee (2 bxbx 與與,chaxay axysh xaxbdch20 .sh2sh20abaaxab 2sh1 axaxch 例例xysbad12 b b懸鏈線方程懸鏈線方程計算介于計算介于 之間一

4、段弧長度之間一段弧長度.xyObb axxsh)ch( Cxxx shdch 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長5解解nxnysin ,sinnx sxnxndsin10 tntdsin1 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n ntx 例例xysbad12 計算曲線計算曲線的弧長的弧長 dsin0 nynxtnxdd 000nn1 ).0(nx 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長6曲線弧為曲線弧為 )(),(tytx )( t22)d()d(dyxs tttd)()(22 弧長弧長.d)()(22ttts 其中其中)(),(tt 在在

5、a, b上上具有連續(xù)導數具有連續(xù)導數.三、參數方程情形三、參數方程情形現在計算這現在計算這曲線弧的長度曲線弧的長度.取參數取參數t為積分變量為積分變量, 其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為., 對應于對應于, 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間d,ttt 的小弧段的的小弧段的長度的近似值長度的近似值, 即即弧長元素弧長元素為為 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長7解解 星形線的參數方程為星形線的參數方程為 taytax33sincos)20( t對稱性對稱性14ss tyxd)()(422 tttadcossin3420 .6a tttsd)()(22 02例例 求星形線求星形線的全長的全長.323232ayx

6、 )0( aaaOxyaa 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長8證證xysd12021 xxadcos12022 設正弦線的弧長等于設正弦線的弧長等于s1設橢圓的周長為設橢圓的周長為s2tyxsd)()(20222 證明正弦線證明正弦線例例的弧長的弧長)20(sin xxay等于橢圓等于橢圓的周長的周長.)20(sin1cos2 ttaytx對稱性對稱性ttatd)(cos1 ()(sin20222 ttadcos12022 xxadcos12022 .1s 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長9曲線弧為曲線弧為)( )( rr sincosryrx)( 22)d()d(dyxs d)()(

7、22rr 弧長弧長.d)()(22 rrs具有連續(xù)導數具有連續(xù)導數.上上在在其中其中,)( r sin)(cos)(ryrx四、極坐標情形四、極坐標情形現在計算這現在計算這曲線弧的長度曲線弧的長度.由直角坐標與極坐標的關系：由直角坐標與極坐標的關系：弧長元素弧長元素為為 為參數的為參數的參數方程參數方程 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長10)0( a)30( 解解 d)()(22 rrs d3cos3sin3sin3024262 aa d3sin302 a.23a d)()(22 rrs求極坐標系下曲線求極坐標系下曲線例例33sin ar的長的長.3cos3sin2 a23sin3 ar3

8、cos 31 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長11解解 d)()(22 rrs d20222 aa d1202 a求阿基米德螺線求阿基米德螺線 上上相相應應于于)0( aar.20的的弧弧長長到到從從例例xaxd22 Caxxaaxx |ln2222222).412ln(412222 axa2o 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長12平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標系下直角坐標系下參數方程情形下參數方程情形下極坐標系下極坐標系下求弧長的公式求弧長的公式 四、小結四、小結 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長13思考題思考題解答解答僅僅有曲線連續(xù)還不夠僅僅有曲線連續(xù)還不夠, 不一定不一定.必須保證曲線光滑才可求長必須保證曲線光滑才可求長.閉區(qū)間閉區(qū)間a, b上的連續(xù)曲線