函數(shù)凹凸性判別法與應(yīng)用

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2011屆畢業(yè)論文函數(shù)凹凸性判別法與應(yīng)用作者：祝紅麗 指導(dǎo)老師：邢抱花摘要 函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.它反映在函數(shù)圖象上就是曲線(xiàn)的彎曲方向，通過(guò)它可以較好地掌握函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的性狀.本文基于函數(shù)凹凸性概念的分析，著重探討了函數(shù)凹凸性的判別方法以及在解題中的應(yīng)用，如在不等式證明中的應(yīng)用以及在求函數(shù)最值時(shí)的應(yīng)用等.并結(jié)合相關(guān)例題做了較詳細(xì)的論述.關(guān)鍵詞 凹凸性 導(dǎo)數(shù) 不等式 應(yīng)用1 引言函數(shù)的凹凸理論在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位.函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)的因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結(jié)合函數(shù)的其它性質(zhì)，可以使我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加精確.以函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增

2、加為例說(shuō)明.我們不難理解，隨著自變量的穩(wěn)定增加，當(dāng)函數(shù)的增量越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)圖形是凹的，當(dāng)函數(shù)的增量越來(lái)越小時(shí)，函數(shù)圖形是凸的，當(dāng)函數(shù)的增量保持不變時(shí)，函數(shù)圖象是直線(xiàn)，對(duì)于減函數(shù)我們可以作類(lèi)似的分析.作為研究分析函數(shù)的工具和方法，它在許多學(xué)科里有著重要的應(yīng)用.長(zhǎng)期以來(lái)，很多學(xué)者致力于函數(shù)凹凸性的判別法及其應(yīng)用的研究.近年來(lái)，關(guān)于函數(shù)凹凸性的判定與應(yīng)用的研究取得了一些成果，使函數(shù)凹凸性的判別法與應(yīng)用更加的廣泛.本文先從兩個(gè)具體的函數(shù)圖象為出發(fā)點(diǎn)，直觀上觀察函數(shù)圖象的彎曲方向，從而引出函數(shù)凹凸性的概念和拐點(diǎn)的定義.并在此基礎(chǔ)上介紹了凹凸函數(shù)的幾何特征，接著介紹函數(shù)凹凸性的幾種判別方法，如：用定義去

3、判別函數(shù)的凹凸性，利用二階導(dǎo)函數(shù)判別函數(shù)的凹凸性，及利用函數(shù)凹凸性的判定定理判別函數(shù)的凹凸性.其中利用函數(shù)凹凸性的概念是最基本的判別方法，利用二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)凹凸性之間的關(guān)系是最常用的判別方法.最后舉例介紹了函數(shù)凹凸性在證明不等式、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖中的應(yīng)用.雖然說(shuō)并不是所有的不等式都能利用函數(shù)的凹凸性證明，但是利用函數(shù)的凹凸性去證明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函數(shù)凹凸性證明不等式豐富了不等式的證明方法，開(kāi)闊了解題思路.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的上升、下降，圖形的凹凸性和極值.根據(jù)對(duì)這些的討論可以幫助我們畫(huà)出用公式表示的函數(shù)圖形,了解函數(shù)的凹凸性能夠使對(duì)函數(shù)圖形的描繪更加精確化. 2 凹

4、凸函數(shù)及拐點(diǎn)的定義0YXY0我們已經(jīng)熟悉函數(shù)和的圖象.x它們的不同之處是：曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的下方；而曲線(xiàn)則相反，任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的上方.我們把具有前一種特性的曲線(xiàn)稱(chēng)為凹的，相應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為凹函數(shù)；后一種曲線(xiàn)稱(chēng)為凸的，相應(yīng)的函數(shù)成為凸函數(shù).函數(shù)凹凸性的分析定義形式較多，下面給出函數(shù)凹凸性定義的更一般的形式.2.1函數(shù)凹凸性的定義 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)，和任意實(shí)數(shù),總有: , 則稱(chēng)為上的凹函數(shù).反之，如果總有:,則稱(chēng)為上的凸函數(shù).特別地，當(dāng)=時(shí)，滿(mǎn)足的函數(shù)為凹函數(shù)，滿(mǎn)足的函數(shù)為凸函數(shù). 如果定義中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為嚴(yán)格凹函

5、數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù). 2.2 凹函數(shù)與凸函數(shù)的幾何意義定義中凹函數(shù)與凸函數(shù)的圖象如圖、圖. Y0x 0Yx圖1 圖2凹函數(shù)（凸函數(shù)）的幾何意義：連接曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的弦總位于對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的上方（下方）. 2.3 拐點(diǎn)的定義設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處有穿過(guò)曲線(xiàn)的切線(xiàn).且在切點(diǎn)近旁，曲線(xiàn)的切線(xiàn)的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凹和嚴(yán)格凸的，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).由定義可見(jiàn)，對(duì)于具有凹凸性的函數(shù)而言，拐點(diǎn)正是函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變的那一點(diǎn)，即拐點(diǎn)的兩側(cè)鄰域有著互異的嚴(yán)格凹凸性.如下圖中的點(diǎn).xYM. · · .·0嚴(yán)格地說(shuō)，拐點(diǎn)都是平面光滑曲線(xiàn)（即切線(xiàn)連續(xù)變動(dòng)的曲線(xiàn)）彎曲方向發(fā)生改變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，拐點(diǎn)的幾何特征是該點(diǎn)

6、的切線(xiàn)不是在曲線(xiàn)的一側(cè)“托著曲線(xiàn)”而是切線(xiàn)在切點(diǎn)處把曲線(xiàn)一分為二，分別在切線(xiàn)的兩側(cè).易知，有正弦曲線(xiàn)的圖象可知有拐點(diǎn) ，為整數(shù).2.4 拐點(diǎn)的判別法若在處連續(xù)，在兩側(cè)反號(hào)，則是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).若，則是的拐點(diǎn).例題1 求下列函數(shù)的拐點(diǎn) ； .解 ， ， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，又, 所以點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn).，所以點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn).注意：函數(shù)的拐點(diǎn)只是表示在該點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)具有不同的嚴(yán)格凹凸性，而不能只依靠判斷二階導(dǎo)數(shù)是否為零來(lái)確定函數(shù)的拐點(diǎn).對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，檢查在左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)鄰近的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)函數(shù)的拐點(diǎn).因此函數(shù)的拐點(diǎn)與二次導(dǎo)數(shù)是否存在

7、沒(méi)有必然的聯(lián)系.例如：在時(shí)的情況.易知，在處的二階導(dǎo)數(shù)不存在，但是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是的一個(gè)拐點(diǎn).3 函數(shù)凹凸性的判別法觀察函數(shù)圖象，我們很容易得出結(jié)論：凹函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是不斷變大的，而凸函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)則恰恰相反.這是我們通過(guò)觀察幾何圖形進(jìn)行直觀的感知得到的結(jié)論，但是人的觀察不可避免的存在著一定的局限性，只有通過(guò)嚴(yán)密的證明得到的結(jié)論才能使人信服.迄今為止，判別函數(shù)的凹凸性已經(jīng)有很多的方法.3.1 定義法判別函數(shù)的凹凸性 用定義法去判別函數(shù)的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基礎(chǔ).所以對(duì)定義的理解和掌握是至關(guān)重要的.例題2 ，均為上的連續(xù)函數(shù)，證明： 若，均為凹函數(shù)，則為凹函數(shù)； 若，均

8、為遞增非負(fù)凹函數(shù)，則為凹函數(shù).證明 設(shè)任意的，、因?yàn)?，均為凹函?shù)，所以由定義知：和.兩式相加：,即：， 所以為凹函數(shù).、由題題意得： .下面只要證明： 即可.采用做差法比較兩者的大?。?綜上所述，可得.所以是凹函數(shù).例3 為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，證明：若對(duì)于上的任意兩點(diǎn)，有， 則為上的凹函數(shù).證明 設(shè)以，為上任意兩點(diǎn)， ， . 由， 并利用與，. .分別用與上列兩式并相加，得到：.所以為上的凹函數(shù).3.2 函數(shù)凹凸性的判定定理定理 為上的函數(shù)，若對(duì)于上的任意三點(diǎn)，總有： ， 則為上的凹函數(shù).證明 在上任取兩點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，則， ， 因?yàn)?，所以有：.所以有， ，因?yàn)?，所以不等式兩邊同時(shí)除以有：

9、.即又. 所以.所以為上的凹函數(shù).例題4 設(shè)為區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)于實(shí)數(shù)，使得，有， 證明：為區(qū)間上的凹函數(shù).證明 設(shè)是區(qū)間上任意三點(diǎn)，由已知條件，對(duì)于，存在實(shí)數(shù)，使得， . 令 ， 有，得到.再令， 有 ，得到.綜上所述， ，所以為區(qū)間上的凹函數(shù). 3.3 函數(shù)凹凸性的充要條件充要條件 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么，若在內(nèi)恒有，則在上的圖形是凹的；若在內(nèi)恒有，則在上的圖形是凸的.注意：若在區(qū)間內(nèi)的某一子區(qū)間上，則在該子區(qū)間上的圖形是一段直線(xiàn)，該子區(qū)間既非凹區(qū)間也非凸區(qū)間.證明 （1）充分性：因?yàn)?，所以為上的增函?shù)，設(shè)任意的，在以，（不妨設(shè)）為端點(diǎn)的區(qū)間上，由拉格朗日中值定理和為

10、上的增函數(shù)，可得：，即對(duì)上的任意兩點(diǎn)，有：. 令，有，；所以，. . 以上兩個(gè)不等式的兩端分別乘以與并相加得：.即在是凹函數(shù)；必要性：任取上兩點(diǎn)及充分小的正數(shù).由于，根據(jù)是凹函數(shù)及函數(shù)凹凸性的判定定理有：.由于是可導(dǎo)函數(shù)，令時(shí)可得.所以為上的增函數(shù)，所以在內(nèi)恒有.（2）的情況類(lèi)似的可以證明.例題5 求曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解 函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，即，得到，點(diǎn)把定義域分成兩個(gè)部分即與.在各部分區(qū)間內(nèi)與的符號(hào)，相應(yīng)曲段弧的升降及凹凸、拐點(diǎn)等，如下圖表：圖形凸區(qū)間拐點(diǎn)凹區(qū)間可得：在內(nèi)，因此是曲線(xiàn)的凸區(qū)間.在內(nèi)，因此是曲線(xiàn)的凹區(qū)間.所以：點(diǎn)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).小結(jié)：求曲線(xiàn)凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟：首先找出可

11、能是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)（包括使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)），再利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷該曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).4 函數(shù)凹凸性的應(yīng)用函數(shù)凹凸性的應(yīng)用及其廣泛，很多與函數(shù)、不等式交匯的綜合問(wèn)題都可以利用函數(shù)的凹凸性加以解決.利用函數(shù)的凹凸性去解決問(wèn)題，往往能夠使某些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.接下來(lái)，我們重點(diǎn)討論函數(shù)凹凸性在不等式的證明、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖等中的應(yīng)用.4.1 函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應(yīng)用 有些不等式的表達(dá)形式很簡(jiǎn)單，但如果通過(guò)常規(guī)的證明方法和技巧卻很難達(dá)到預(yù)期的效果，這就需要我們另辟蹊徑，尋找更有效的方法技巧，利用凹凸函數(shù)的性質(zhì)不但可以減少計(jì)算量，使解題更加合理，而且借助凹凸函數(shù)的幾

12、何特征可以使解題思路更加清晰直觀.4.1.1 利用函數(shù)的凹凸性證明一個(gè)重要的不等式定理 如果是凸函數(shù)對(duì)，滿(mǎn)足，都有.特別地，當(dāng)時(shí)，上述不等式稱(chēng)為琴生（Jensen）不等式.例題6 任意個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的調(diào)和平均值小于或等于它們的幾何平均值小于或等于他們的算數(shù)平均值.即：， 恒有：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證明 考慮函數(shù)，很容易判斷出其是凸函數(shù)，有琴生（Jensen）不等式得到：.即：，又在定義域上是單調(diào)遞增的.所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.另一方面，. 即：.又在定義域上是單調(diào)遞增的. 所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述有：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.注意：利用函數(shù)的凹凸性證明不等式時(shí)，一定要注意構(gòu)造或者

13、引進(jìn)我們所需要的輔助函數(shù)，使條件和結(jié)論、已知與未知建立聯(lián)系.4.1.2 凹凸函數(shù)不等式的積分形式定理 設(shè)是上的可積函數(shù)且，是上的連續(xù)凸函數(shù)，則：（如果是凹函數(shù)，則不等式反向）.例題7 設(shè)為上的正值連續(xù)函數(shù)，證明：.證明 令，由上述定理得： .即得證.例題8設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，.若，證明：.證明 由，可得，進(jìn)而得到，所以.由函數(shù)凹凸性的充要條件知為凸函數(shù). 所以有：.又，所以.另一方面，由Hadamard不等式：設(shè)函數(shù)是上連續(xù)的凸函數(shù)，對(duì)任意的 ，有：，得.即：，又，所以在為單調(diào)增函數(shù)，所以有：， 即.綜上所述， 即有：.小結(jié)：利用函數(shù)凹凸性證明不等式雖然有一定的局限性，但是它卻能夠避免一些繁雜的解

14、題過(guò)程，大大的簡(jiǎn)化解題步驟，是其它方法不能達(dá)到的.利用函數(shù)凹凸性證明不等式的解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，能夠使問(wèn)題和已知的條件聯(lián)系起來(lái)，只有這樣才能達(dá)到預(yù)期的效果.4.2 函數(shù)凹凸性在求函數(shù)最值中的應(yīng)用通過(guò)觀察不等式的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果不等式的一邊是常數(shù)的話(huà)，那么不等式的證明就演變成了求函數(shù)的最值問(wèn)題，我們就可以利用函數(shù)的凹凸性來(lái)求函數(shù)的最值，從而就可以避免繁雜的化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化、變形等過(guò)程.若能夠靈活運(yùn)用函數(shù)的凹凸性解題，可達(dá)到事半功倍的效果.例題9 設(shè)，試求 的最小值.解析 如果采用一般的解題方法，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)很難找到問(wèn)題的突破口，但是如果我們采用函數(shù)的凹凸性去思考，再結(jié)合著題目的表達(dá)形

15、式，就很容易聯(lián)想到琴生（Jensen）不等式，問(wèn)題就迎刃而解了.解 設(shè)，則，.所以為凹函數(shù)，由琴生（Jensen）不等式，得：.化簡(jiǎn)整理得：，所以的最小值為.例題10 設(shè)函數(shù)為上的凸函數(shù)，則求在閉區(qū)間上的最值.解 對(duì)于任意的，取，（），所以有.進(jìn)而有，又為上的凸函數(shù)所以有：.所以的最小值為.記區(qū)間的中點(diǎn)為，且，設(shè)任意的關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 則有，又是上的凸函數(shù)，所以有：，即：）.（其中）.所以的最大值為 ：，（其中.注意：此例題可以表述為若函數(shù)在為凸函數(shù)，則在閉區(qū)間上有界.例題11 若，且，求的最小值.解 設(shè)，則，所以為凹函數(shù).所以有：.即：.化簡(jiǎn)整理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.小結(jié)：求函數(shù)最值的常用

16、方法是利用函數(shù)的單調(diào)性、求導(dǎo)和均值不等式等方法，但是求函數(shù)值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，要靠在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷積累，掌握規(guī)律.而利用函數(shù)的凹凸性求解，為求函數(shù)最值開(kāi)辟了一條新的路徑.從上面幾個(gè)例題可以看出利用函數(shù)凹凸性去求函數(shù)最值的關(guān)鍵還是構(gòu)造合適的輔助函數(shù).4.3 利用函數(shù)的凹凸性作函數(shù)圖象圖象是刻畫(huà)函數(shù)變量之間關(guān)系的一個(gè)重要途徑，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)和依據(jù).函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，是探求解題途徑、獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.但是在實(shí)際的解題過(guò)程中，并不是所有的函數(shù)圖形都能夠很容易地作出.下面我們就利用

17、函數(shù)的凹凸性去解決一些函數(shù)作圖問(wèn)題.例題12 作出函數(shù)的圖形.解析 題目中的函數(shù)解析表達(dá)式不夠直觀，我們考慮將函數(shù)做恒等變換，之后再利用函數(shù)的凹凸性作出函數(shù)圖象.解 因?yàn)?，設(shè)， ，所以所給函數(shù)的表達(dá)式可以寫(xiě)成，且函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)是偶函數(shù)，它的圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因此只需討論區(qū)間上的圖形即可. ，進(jìn)而得到：， 在區(qū)間上，的解為或，的解為.用點(diǎn)和把區(qū)間劃分為，三個(gè)部分區(qū)間.在各部分區(qū)間內(nèi)及的符號(hào)、相應(yīng)曲線(xiàn)弧的升降、凹凸性、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等如下表：圖形極小值點(diǎn)拐點(diǎn)因而在處，取極小值，再由函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在處，取極大值，在處，取極小值，曲線(xiàn)有兩個(gè)拐點(diǎn) 和. YyyyY函數(shù)的圖象如下圖所示：0X 小

18、結(jié)：利用函數(shù)凹凸性作圖的步驟：確定函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性等，并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù).求出方程和在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及使和不存在的點(diǎn)，用以上兩種點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間.確定在這些部分區(qū)間內(nèi)及的符號(hào)，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸、極值點(diǎn)和拐點(diǎn).確定函數(shù)圖形的水平鉛直漸近線(xiàn).(5)列表并作出函數(shù)圖象. 函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結(jié)合函數(shù)其它性質(zhì)，可使我們對(duì)函數(shù)圖象的描繪更加的準(zhǔn)確.4.4 利用函數(shù)的凹凸性判斷函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法是利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷的，但是利用函數(shù)的凹凸性來(lái)判斷函數(shù)的單

19、調(diào)性，作為判斷函數(shù)單調(diào)性方法的補(bǔ)充，是需要我們了解的.例題13 設(shè)，在上為非負(fù)的嚴(yán)格凹函數(shù)，.試證明：為嚴(yán)格遞增的函數(shù).證明 因?yàn)闉閲?yán)格凹函數(shù)，所以為嚴(yán)格遞增的.因?yàn)槭欠秦?fù)函數(shù)，所以對(duì)于 ，有.若某點(diǎn)，使得，則在上有 與為嚴(yán)格凹函數(shù)矛盾.所以，有，最后設(shè)，則：，得為嚴(yán)格遞增的.結(jié) 束 語(yǔ)本文從函數(shù)凹凸性的概念出發(fā)，通過(guò)具體的實(shí)例較系統(tǒng)地介紹了函數(shù)凹凸性的常規(guī)的判定方法及在證明不等式、求函數(shù)最值以及在作函數(shù)圖象時(shí)的應(yīng)用.把握函數(shù)凹凸性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，關(guān)鍵就是在把握函數(shù)凹凸性的基本概念、定理的基礎(chǔ)上，同時(shí)加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練和研究.函數(shù)凹凸性的應(yīng)用，拓展了學(xué)習(xí)和研究的鄰域由于受到各種因素的限制，本文也

20、有一定的不足之處.函數(shù)凹凸性的判別方法與應(yīng)用還有很多，本文只介紹了其中的一部分，還有其它方法與應(yīng)用可以補(bǔ)充.參考文獻(xiàn)1 宣立新. 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))M.高等教育出版社，1999.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系M.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，2007.3 毛綱源.高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納M.華中理工大學(xué)出版社，2002.4 于淑蘭.關(guān)于曲線(xiàn)拐點(diǎn)的判別法J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33(1):98-100.5 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（第三版）M.高等教育出版社，1995.6 沈家英，方永宏.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))M.山東大學(xué)出版社，1995.7 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.高等教育出版社，2007.8 孫清華，鄭小姣.高等數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法與技巧M.華中科技大學(xué)出版社，2004.9 Fred Brauer .Fundamentals of Advanced MathematicsM .Higher Education Press，2006.10 何衛(wèi)力，繆克英.高等數(shù)學(xué)方法導(dǎo)引(上)M.北京交通大學(xué)出版社，2004.11 盛祥耀.高等數(shù)學(xué)M.高等教育出版社，2004.12 劉士強(qiáng).數(shù)學(xué)分析M.廣西民族出版社，2000. The discrimination approach and application of conc