空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、知識要點：1.平面的基本性質(zhì)：公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理 2：過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：如圖： AB 與 BC 相交于 B 點， AB 與 AB平行， AB 與 BC異面。1 / 9公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。3.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：（ 1）直線在平面

2、內(nèi)有無數(shù)個公共點；（ 2）直線與平面相交有且只有一個公共點；（ 3）直線與平面平行沒有公共點。其中直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。注意，我們不提倡如下畫法4.平面與平面之間的位置關(guān)系：（ 1）兩個平面平行沒有公共點；（ 2）兩個平面相交有一條公共直線。2 / 9二、例題講解：例 1、根據(jù)圖形，寫出圖形中點、直線和平面之間的關(guān)系圖 1 可以用幾何符號表示為： _ 圖 2 可以用幾何符號表示為： _ 分析： 本題關(guān)鍵是找出圖中基本元素點、直線、平面，然后再仔細(xì)分析點與直線、點與平面、直線與平面的位置關(guān)系，最后用文字語言和符號語言寫出解： 圖 1 可以用幾何符號表示為：即：平面與平面相

3、交于直線AB ，直線a 在平面內(nèi)，直線b 在平面內(nèi)，直線a 平行于直線AB ，直線b 平行于直線AB 圖2可以用幾何符號表示為：，ABC的三個頂點滿足條件即：平面與平面相交于直線MN ， ABC 的頂點A 在直線 MN 上，點B 在內(nèi)但不在直線 MN 上，點 C 在平面內(nèi)但不在直線MN 上例 2、觀察下面的三個圖形，說出它們有何異同3 / 9分析： 圖 1 既可能是平面圖形，也可能是一個空間圖形的直觀圖；圖2、圖 3 均用了一條直線襯托，它們都是空間圖形的直觀圖解： 圖 1 可能是平面圖形，也可能是空間圖形的直觀圖；圖2 是 MN 凸在外面的一個空間圖形的直觀圖；圖3 是 MN 凹在里面的一個

4、空間圖形的直觀圖點評：（ 1）本題隱含了三個平面兩兩相交的直觀圖畫法及平面的畫法、立體幾何圖的畫法而這些畫法的掌握程度將影響對空間結(jié)構(gòu)的認(rèn)識、對空間圖形的分析和對立體幾何的學(xué)習(xí)（ 2）與本題類似的其它變形還有：用虛線畫出圖4 正方體和圖5 三棱錐中被遮擋的棱，完成圖形例 3、正方體 ABCD-A 1B1C1D 1 中，（ 1） DD 1 和 A1B1 的位置關(guān)系如何？D 1B 和 AC 的位置關(guān)系如何？A 1C 和 D 1B 的位置關(guān)系如何？（ 2）和 AD 成異面直線的棱所在直線有幾條？（ 3）和 BD 1 成異面直線的棱所在直線有幾條？（ 4）六個面的正方形對角線共12 條，這些對角線所在

5、直線中，異面直線共有多少對？4 / 9解析：我們知道空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種， 判斷的依據(jù)是看兩條直線是共面還是異面及是否有公共點。（ 1）異面直線；異面直線；相交直線；（ 2） 4 條分別是 A 1B1、 B1B、 C1D 1、 C1C；（ 3） 6 條分別是 AA 1、 CC1、 A1B1、 B1C1、 AD 、 CD；（ 4） 30 對。例 4、已知：如圖，立體圖形A BCD 的四個面分別是ABC 、 ACD 、 ABD 和 BCD，E、 F、 G 分別為線段AB 、 AC 、 AD 上的點， EF BC ， FG CD 求證： EFG BCD 證明： 在平面ABC中， EF

6、BC，又在平面ACD 中， FG CD ， = EGBD EFG = BCD 同理 FGE = CDB ， EFG BCD 5 / 9與本例類似變形還有：已知：將一張長方形的紙片ABCD 對折一次，EF 為折痕再打開豎直在桌面上，如圖所示，連結(jié) AD 、BC求證： ADBC ， ADE BCF （證明略）三、練習(xí)：1下列圖形中， 滿足的圖形是 （）（ A）（B）（ C）（D）2已知 A 、B 表示點， b 表示直線，、表示平面， 下列命題和表示方法都正確的是（）（A）（B）（ C）（D）3用符號表示“若 A 、 B 是平面內(nèi)的兩點， C 是直線 AB 上的點，則C 必在內(nèi) ”，即是_ 4 “a

7、， b 為異面直線 ”是指：6 / 9（ 1）且 a 不平行于 b；（ 2）且；（ 3）且；（ 4）；（ 5）不存在平面，使且成立上述結(jié)論中，正確的是（）（ A）（ 1）（ 4）（ 5）（ B）（ 1）（ 3）（ 4）（ C）（ 2）（ 4）（D）（ 1）（ 5）5一條直線和兩條異面直線的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）（ A）平行或異面（ B）異面（ C）相交（ D ）相交或異面6如圖，空間四邊形ABCD中， M 、 N 分別是 ABC 和 ACD 的重心，若BD m，則MN _ 7.如圖，是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AF 、 BC 、 DE 這三條線段所在直線是異

8、面直線的是_ ，它們所成的角為_ 度。四、練習(xí)答案：7 / 91. 提示 : 根據(jù)平面的無限延展性及平面畫法來判斷答案 :（ C）2. 提示： 根據(jù)點與平面應(yīng)用“ ”“ ”連接排除A ；根據(jù)公理兩個平面相交為一條直線，排除B ；再跟據(jù)圖形可排除D ，因為 A 有可能在平面上答案：（ C）3. 提示 : 熟悉點與線，點與平面的關(guān)系，正確使用“ ”、 “”等符號答案:.4. 提示：根據(jù)異面直線定義“不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點的兩條直線叫異面直線”，結(jié)合圖形可排除（2）、（ 3）、（ 4）（2）中可能有a b，（ 3）中可能有a b，（ 4）可能有 a 與 b 相交或平行）（5）是正確的，再由直線位置關(guān)系可得（1）也是正確的答案：（ D ）5. 提示：由公理可排除（ A ），再結(jié)合圖形可利用平移方法驗證答案：（ D ）6. 提示：重心是三條中線的交點，并分每條中線的比為2 3連結(jié) AM 并延長交BC 于 E，連結(jié) AN 并延長交CD 于 F，再連結(jié)MN 、 EF，根據(jù)三角形重心