立體幾何中用傳統(tǒng)法求空間角

1、-立體幾何中的傳統(tǒng)法求空間角知識(shí)點(diǎn)：一異面直線所成角：平移法二線面角1.定義法：此法中最難的是找到平面的垂線 .1.）求證面垂線， 2）.圖形中是否有面面垂直的結(jié)構(gòu)，找到交線，作交線的垂線即可。2.用等體積法求出點(diǎn)到面的距離sinA=d/PA三求二面角的方法1、直接用定義找，暫不做任何輔助線；2、三垂線法找二面角的平面角.例一：如圖 , 在正方體 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 中 , 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。、錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 分別是 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 、錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 的中點(diǎn) , 則異面直線 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。與錯(cuò)誤! 未找到引用源。所成的角的大小是_90_.考向

2、二線面角例二、如圖，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是矩D1C1A1B1NDCMAB形， AD PD， BC=1，PC=2 3 ， PD=CD=2.（ I ）求異面直線 PA 與 BC所成角的正切值；（ II ）證明平面 PDC平面 ABCD；（ III ）求直線 PB 與平面 ABCD所成角的正弦值。練習(xí) ：如圖，在三棱錐PABC中， PA底面ABC , PAAB ,ABC60,BCA90，點(diǎn) D ， E 分別在棱 PB, PC 上，且 DE / BC（）求證：BC平面 PAC ；（）當(dāng) D 為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，求 AD 與平面 PAC 所成的角的正弦值；（） PA底面 ABC ，

3、PA BC .又BCA90 ， AC BC. BC平面 PAC.（） D 為 PB 的中點(diǎn)， DE/BC ，1 DEBC，2又由（）知，BC 平面 PAC， DE 平面 PAC，垂足為點(diǎn)E. DAE 是 AD 與平面 PAC 所成的角， PA底面 ABC ， PA AB ，又 PA=A B， ABP 為等腰直角三角形，AD1AB ，2在 Rt ABC 中， ABC 60， BC1 AB.2在 Rt ADE 中， sin DAEDEBC2AD2AD，4考向三：二面角問(wèn)題在圖中做出下面例題中二面角例三： .定義法（ 2011 廣東理 18）如圖 5在椎體P-ABCD 中， ABCD 是邊長(zhǎng)為 1

4、的棱形，且 DAB=60， PAPD2 ,PB=2,E,F 分別是 BC,PC 的中點(diǎn)（1） 證明： AD（2） 求二面角平面 DEF;P-AD-B 的余弦值法一：（ 1）證明：取AD 中點(diǎn) G，連接 PG，BG， BD 。因 PA=PD ，有 PGAD ，在 ABD 中， ABAD1,DAB60 ，有ABD 為等邊三角形，因此BG AD, BGPGG，所以AD平 面PBGAD PB, ADGB.又 PB/EF，得 ADEF ，而 DE/GB 得 ADDE，又 FEDEE ，所以 AD平面 DEF 。（2）Q PGAD, BGAD ，PGB 為二面角 PAD B 的平面角，RtPAG中, PG

5、 2PA2AG 27在4RtABG中 ,BG=AB sin60=3在2PG2BG2PB273421cos44PGB2PG BG737222法二：（ 1）取 AD 中點(diǎn)為 G，因?yàn)?PAPD,PGAD.又 ABAD , DAB60 ,ABD 為等邊三角形，因此，BG AD ，從而 AD平面 PBG。延長(zhǎng)BG到O且使得 POOB，又 PO平面 PBG，POAD， AD OBG,所以 PO平面 ABCD 。以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，直線OB，OP 分別為 x 軸， z 軸，平行于AD 的直線為 y 軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。P(0,0, m), G (n,0,0), 則A(n,

6、1 ,0), D ( n, 1 ,0).設(shè)22uuuruuur3Q|GB | AB | sin 602B(n3 ,0,0), C ( n3 ,1,0), E(n3 , 1 ,0), F ( n3 , 1 , m).22222422uuuruuur(3,0,0),uuur( n3 ,0,m)AD(0,1,0), DEFE由于2242uuuruuuruuuruuur得 ADDE0, ADFE0, ADDE,ADFE ,DEFEEAD平面 DEF 。uuur( n,1 ,uuur(n3 ,0,m)Q PAm), PB（ 2）22m2n212,( n3 )2m22, 解之得 m1,n3 .422取平面

7、 ABD 的法向量 n1(0,0, 1),設(shè)平面 PAD 的法向量 n2( a, b, c)uuur0, 得 3 abuuur0, 得 3 abPA n2c 0,由 PD n2c 0,由2222n2(1,0,3 ).取2321cosn1 ,n22.77142、三垂線定理法例四 ( 廣東省惠州市 2013屆高三第三次調(diào)研理) （本小題滿分14分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1 D1 中， AD AA11， AB2 ，點(diǎn) E 在棱 AB 上移動(dòng)（1）證明： D1EA1D ；（2）當(dāng) E 點(diǎn)為 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E 到平面 ACD1 的距離；（3） AE 等于何值時(shí)，二面角D1 EC D 的

8、大小為 4 ？18（ 本小題滿分 14分）（1）證明： 如圖，連接 D1 B ，依題意有：在長(zhǎng)方形A1 ADD1 中， AD AA11，四邊形 A1ADD 1A1DAD1平面 AD1B又 AB 平面 A1 ADD1ABA1DA1 DA1D D1EADI ABD1E平面 AD1BA 4 分1EACD1383DDFEC EC FD1FDFD 1D1ECDDFD 14D1DFD1D1DF1102sinDCFDF1BCFDCDCF32612tanBEBE3ABBE233BCAEAE23D1ECD414練習(xí) .如圖，在四面體A BCD 中， AB AD2,BD 2,DC 1, 且 BDDC ，二面角 ABD C 大小為 60o (1) 求證：平面 ABC平面 BCD ；(2) 求直線 CD 與平面 ABC 所成角的正弦值17解： (1) 在四面體 ABCD 中，取 BD、BC 中點(diǎn)分別為M、N ，連接 MN ，則 MN / / DCQ BDDC ,則 MNBD又 ADAB2則 AMBDAMN 中， AM1,MN1AMN60o ,2可知 ANM90o又 BD面AMN ,則BDANAN 和兩相交直線BD 及 MN 均垂直，從而AN 面 BDC又面 ABC 經(jīng)過(guò)直線AN ，故面 ABC面 BCD(6分 )(2) 由 (1