分析力學(xué)習(xí)題解答

1、第六章_分析力學(xué)_習(xí)題解答_By XuJie6.1、一長(zhǎng)為10、質(zhì)量為m的勻質(zhì)棒，斜靠在固定的半球形碗的邊緣，一端置于碗內(nèi)，如圖示。已知碗是光滑的，半徑為r ;棒在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為1(1 <2r)。用虛功原理證明棒的全長(zhǎng)為4(122r2) 皓=1。6.2、用繩子等距離地在定點(diǎn) O處懸掛兩個(gè)相同的勻質(zhì)球。兩球之上另旋轉(zhuǎn)一相同的球體，如圖示。已知分別懸掛兩球的繩長(zhǎng)都是1 ,用虛功原理求出a角與E角之間的關(guān)系。6.3、用輕質(zhì)橡皮圈捆扎三個(gè)置于光滑水平桌面上的相同球體，捆扎的高度與球心的高度相同。將第四個(gè)同樣的球體置于三球之上，由虛功原理求出橡皮圈中的張力。 已知每個(gè)球體的重量為P6.4、 一彈性繩

2、圈，它的自然長(zhǎng)度為10 ,彈性系數(shù)為k ,單位長(zhǎng)度質(zhì)量(線密度)為§。將此彈性圈套在一半徑為 R(2兀Ra1° )的光滑球面上，彈性圈因自重而下滑。用虛功原理求出平衡 時(shí)彈性繩圈對(duì)球心所張的角度9應(yīng)滿足的方程。6.5、 一半徑為 R的半球形碗內(nèi)裝有兩個(gè)質(zhì)量分別為m和m的球體，它們的半徑同為r(2r <R)。用虛功原理求出這兩個(gè)球體在碗中平衡時(shí)它們的連心線與水平線間的夾角。56.6、一輕桿長(zhǎng)為21 , 一端光滑皎鏈于固定點(diǎn) 的小球。桿可在鉛直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)擺動(dòng)。O,另一端點(diǎn)及中點(diǎn)分別焊接有質(zhì)量為 m'和m 寫(xiě)出此力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)， 并求出其作微小擺動(dòng)時(shí)的周

3、期。6.7、一半徑為r、質(zhì)量為m'的圓柱形車(chē)古轆，其軸線沿水平方向。帖轆上繞有長(zhǎng)為1的輕繩,繩的自由端系一質(zhì)量為 m的重物。初始時(shí)繩子完全繞在帖轆上，體系靜止。爾后重物下落 帶動(dòng)姑轆轉(zhuǎn)動(dòng)。寫(xiě)出此力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)，并求出繩子完全釋放時(shí)姑轆轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的大小。6.8、上題中，如果繩子具有彈性，彈性勢(shì)能為ks2/2 , s為繩子的伸長(zhǎng)。證明重物 m的運(yùn)動(dòng)為維持恒定的加速運(yùn)動(dòng)上附加一角頻率為仍的振動(dòng)，其中co2 = k(m'+2m)/m'm。求出此種振動(dòng)的振幅。設(shè)初始時(shí)繩子完全繞在帖轆上，體系靜止，爾后釋放。6.9、力學(xué)系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤(pán)，半徑為 r ,質(zhì)量為m

4、。懸掛的重物質(zhì)量分 別為m和m2,且m(m + m0 / 2。初始時(shí)系統(tǒng)靜止。(i) 導(dǎo)出此力學(xué)系的運(yùn)動(dòng)微分方程(ii) 分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離h之間的關(guān)系。6.10、一質(zhì)量為m、半徑為r的小圓柱體，置于一半徑為 R的大圓柱面的內(nèi)側(cè)作純滾動(dòng)。寫(xiě) 出小圓柱體的拉格朗日函數(shù)，并求出在最低點(diǎn)(平衡位置)附近小圓柱體作微小振動(dòng)時(shí)的周期。6.11、一質(zhì)量為m、半徑為r的小圓柱體，放在質(zhì)量為m'、半徑為R的另一大圓柱體上，大圓柱體m'則置于粗糙的水平面上。兩柱體的軸相互平行，質(zhì)心在同一豎直平面內(nèi)。初始 時(shí)力學(xué)系統(tǒng)靜止。若以初始時(shí)大圓柱體的質(zhì)心為固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，證明此后

5、的任意時(shí)刻小圓柱體的質(zhì)心坐標(biāo)為Xm=m+(3m'+m)Sin%+R) , y(R)cos6 3(m' m)其中，e為兩柱體質(zhì)心連線與鉛直線間的夾角。6.12、小球1和小球2的質(zhì)量分別為 m和雁，用繩子相連，繩子穿過(guò)光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球2則垂直懸掛在桌面下。寫(xiě)出此力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)和所有的第一積分。設(shè)繩長(zhǎng)為l。6.13、長(zhǎng)為2l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)棒，兩端分別用長(zhǎng)都為S的輕繩垂直懸掛。今若突然將其中一根繩子剪斷，用拉格朗日方程求出棒上落的運(yùn)動(dòng)微分方程。6.14、 一半徑為r、質(zhì)量為m的圓環(huán)，用三根長(zhǎng)度都為l的無(wú)彈性輕繩在等弧點(diǎn)處水平懸掛， 成一扭擺，如圖所

6、示。求此扭擺繞中心鉛直軸扭轉(zhuǎn)的微振動(dòng)周期T6.15、在圖示的耦合擺，若兩擺錘的質(zhì)量不同，分別為 m和m'求此耦合擺的本征頻率。初始條件如同題 6.31，僅第一個(gè)擺有微小偏移 ,求第二個(gè)擺可能達(dá)到的最大擺幅。當(dāng)?shù)诙?個(gè)擺的擺動(dòng)最大時(shí)，第一個(gè)擺的擺幅是否為0?6.16、擺長(zhǎng)為1、擺錘質(zhì)量為 m的兩個(gè)相同單擺串接成為一個(gè)雙擺，如圖所示。求此雙擺在 鉛直平面內(nèi)作微振動(dòng)時(shí)的各個(gè)本征頻率。6.17、一質(zhì)量m為和另一質(zhì)量為 m'的球體用兩根勁度系數(shù)都為 k的輕質(zhì)彈簧沿一直線串接, 如圖。求出此體系的微振動(dòng)本征頻率。6.18、一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在一光滑錐面的內(nèi)壁上運(yùn)動(dòng)。錐體的半頂角為 a，錐體

7、口朝上。 以質(zhì)點(diǎn)離錐體頂點(diǎn)的距離 r及圍繞錐體軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度 中為廣義坐標(biāo)，寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函 數(shù)；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞錐體軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大時(shí)，可以繞軸作穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)？6.19 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在三維勢(shì)場(chǎng) V(r)中運(yùn)動(dòng)。以球坐標(biāo)r,6和中為質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，寫(xiě) 出此質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函數(shù)。哪些廣義坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)？并寫(xiě)出相應(yīng)的循環(huán)積分6.20、 寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)陀螺繞其頂點(diǎn) O作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的哈密頓量。設(shè)陀螺關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸及橫軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量分別為I、I*,質(zhì)心離頂點(diǎn)的距離為1。6.21、力學(xué)量A, B和C都是體系正則變量的函數(shù)，證明它們的泊松括號(hào)存在如下關(guān)系：A,B = TB,A ； A+B,C=A,C十B,C ; AB,C

8、 =A,CB + AB,C6.22、 證明，任何正則變量的函數(shù)G(q，q2,.,qs; p，P2,., Ps;t)存在如下關(guān)系：G -:G r 7 = TPo(,G ; 7 = -q/,G(。=1,2,.,s)q：.：p:.6.23、證明一質(zhì)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位矢r ,動(dòng)量p和角動(dòng)量L的直角坐標(biāo)分量存在如下關(guān)系:x,Ly=z ; x,LJ = -y ； x,Lx=0Px，Ly = Pz; Px，Lz=-Py； Px，Lx=02Lx,Ly=Lz; Lx,Lz = -Ly ； Px,L2=06.24、試問(wèn)變換Q=q, P=2p是正則變換嗎？s6.25、取母函數(shù)U(q, P)=£ q%求出正則變換關(guān)系。1 .6.26、試證變換 Q =ln(-sin p), P = qcot p為一正則變換。q6.27、 證明，變換關(guān)系qnjcosp, p =