線性代數(shù)試題及答案2

1、一 . 單項選擇題（每小題3 分，本題共15 分）a1a2a3a1a2a31. 如果 b1b2b3m ，則2b12b22b3 =().c1c2c33c13c23c3A. 6m ；B.6m ；C. 2333 m ；D.2333 m 。2. 設 A、 B 是 m n 矩 陣 ， 則 ()成立.A. R(A B)R( A)；B.R(A B) R(B) ；C. R(A B)R( A)R( B)；D.R(A B)R( A)R(B) 。3. 設 A 是 s n 矩 陣 ， 則 齊 次 線 性 方 程 組 Ax0有非零解的充分必要條件是().A. A的行向量組線性無關B.A的列向量組線性無關C. A的行向量

2、組線性相關D. A的列向量組線性相關ab35235，則 a, b 分別等于（）4. 設1a b2142A.1, 2B.1,3 C.3,15.若 x1 是方程 AXB 的解， x2 是方程 AX任意常數(shù)） .A. xcxB.cxcxC.1212二 . 填空題（每小題3 分，共15 分）1. 設 A, B 均為 n 階方陣，且Aa, Bb ，則112.1.0=13.若對任意的 3維列向量 x( x1 , x2 , x3 )T , Ax144設 a0, b2, c 與 a 正交，且 b2 35. 設向量組 1 (1, 0,0)T , 2 ( 1,3, 0)T , 3D.6, 2O 的解，則（）是方程

3、 AXB 的解（ c 為cx1cx2D.cx1x2(2A)BT =.x1x2，則 A=2 x1x3ac 則=， c =(1,2, 1)T 線性關.三 . 計算行列式（ 10 分）214131211232506213451,a24122 , a3 , a4 的秩和一個最大無關四 . （ 10 分）設 a1, a3, a4. 求向量組 a1, a11232231組 .130120五.（10 分）已知矩陣滿足XAB ，其中 A261 ， B，求 X .013011六 . （8 分）設方陣A 滿足 A2A2E0, 證明 A 可逆，并求 A 的逆矩陣 .七 .(8分）已知向量組a1 , a2 , a3

4、線性無關，b12a1a2 ， b23a2a3 ， b3a14a3 ，證明向量組b1, b2 ,b3 線性無關 .110八 . （ 12 分）求矩陣A430 的特征值和對應于特征值的所有特征向量。102x1x22x31九. （12 分）取何值時，下列非齊次線性方程組x1x2x325 x15x24 x31(1)無解，（ 2）有唯一解，（ 3）有無窮多解？并在有無窮多解時寫出通解。一、填空題（共 5 小題，每題3 分，共計 15分）1. 2n ab ;2.113. A110; 4 .2 , c ( 2,2, 1)T ; 5. 無關01201二、選擇題 （共5 小題，每題3 分，共計 15分1. (B

5、);2. (D) ;3. (D);4(C);5. (A).三、（10 分）214 1cc214 0解：31 2 14231 2 2123 2123 0506 2506 2rr214 04231 2 2123 0214 0rr214 041312 20123 0000 0四 （10 分）解： A10，所以 A 可逆，有XBA 1，3 分3 分4 分4 分A153321121053311201113 分XBA012112131420五 . （10 分）13451345解：( 1, 2, 314120153, 4 )1230222 分122231081111134513451340153015301

6、53011100640016 分1081 11 100330002向量組的秩為 4，1,2 ,3 , 4 為最大無關組。2 分六、 證明：恒等變形A2A2E ， A(A E)2E ，3 分A1 (A E) E，所以 A可逆，且 A 11 ( AE) 。3 分22七、證法一 ：把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式201b1, b , b3a , a , a130,記B AK，3分2123014設 BX0，以 BAK 代入得A( Kx) 0 ，因為矩陣 A 的列向量組線性無關，根據(jù)向量組線性無關的定義知Kx0 ，3 分又因 K25 0 ，知方程 Kx 0只有零解 x0。所以矩陣 B 的列向量組 b

7、1 , b2, b3 線性無關。4 分201證法二： 把已知條件合寫成b1 ,b2 , b3a1, a2 ,a3130,記BAK，3014分因K250 ，知 K 可逆， 根據(jù)上章矩陣性質4知R AR B3 分因矩陣 A 的列向量組線性無關，根據(jù)定理4知 R A3，從而 R B3 ，再由定理 4 知矩陣 B 的三個列向量組 b1 , b2, b3線性無關。4 分八（12 分）110解:A的特征多項式為AE430(2)(1 )2102所以 A的特征值為 1 2,231.4 分310100當 12時,解方程 ( A 2E) x0.由 A2E4100101000000得基礎解系p 1 0,1所以 k p1( k0) 是對應于12的全部特征向量 .4 分210101當 23 1.時,解方程 ( A1E)x0.由A E420012,1010001得基礎解系p 22,1所以 k p2 ( k0)是對應于231的全部特征 向量 。4 分九（12 分）121121解： ( Ab)112r2r10123r35r1554105566121r35r2012300549（1） 當4時， R(A)2, R( Ab）=3 ，方程組無解；5（ 2）當4 , 且1時， R( A)