線性代數(shù)典型例題

1、線性代數(shù)第一章行列式典型例題一、利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式二、按行（列）展開公式求代數(shù)余子式1234已知行列式 D433446 ，試求 A41A42 與 A43A44 .15671122三、利用多項(xiàng)式分解因式計(jì)算行列式11231計(jì)算 D12 x223.1315131 9x2xbcd2設(shè) f (x)bxcd0 有根 x_.bcx，則方程 f ( x)dbcdx四、抽象行列式的計(jì)算或證明1. 設(shè)四階矩陣 A2,32 , 43 ,4, B,2 2,3 3, 44 ，其中, , 2, 3, 4均為四維列向量，且已知行列式 | A |2,|B|3, 試計(jì)算行列式 | AB |.2. 設(shè) A為三階方陣， A

2、*為 A 的伴隨矩陣，且 |A| 1，試計(jì)算行列式2(3A) 12A*O.2O A3. 設(shè) A 是 n 階 ( n 2) 非零實(shí)矩陣，元素 aij 與其代數(shù)余子式 Aij 相等，求行列式 | A |.2104.設(shè)矩陣 A 120, 矩陣 B 滿足 ABA*2BA*E, 則|B| _.0015. 設(shè)1,2 , 3 均為 3 維列向量，記矩陣A(1,2,3),B(123,12243,13293)大學(xué)數(shù)學(xué)如果 | A| 1，那么 |B |_.五、 n 階行列式的計(jì)算六、利用特征值計(jì)算行列式1. 若四階矩陣 A與 B相似，矩陣 A的特征值為 1,1,1,1，則行列式2345| B 1E |_.2. 設(shè)

3、 A 為四階矩陣，且滿足 | 2EA | 0 , 又已知 A 的三個(gè)特征值分別為1,1,2 ，試計(jì)算行列式 | 2 A*3E |.第二章矩陣典型例題一、求逆矩陣1. 設(shè) A,B, AB 都是可逆矩陣，求： ( A 1B1)1.00021000532.設(shè)A 12300，求A1.4580034600二、討論抽象矩陣的可逆性1.設(shè) n 階矩陣 A 滿足關(guān)系式 A3A2A E 0,證明 A可逆，并求 A 1.2.已知 A32E,B A22A 2E , 證明 B 可逆，并求出逆矩陣。3.設(shè) A Exy T , 其中 x, y 均為 n 維列向量，且 xT y 2 , 求 A 的逆矩陣。4. 設(shè) A, B

4、 為 n 階矩陣，且 E AB 可逆，證明 E BA也可逆。三、解矩陣方程1111.設(shè)矩陣A111，矩陣X滿足A*XA12X,求矩陣X.111大學(xué)數(shù)學(xué)1000112. 已知矩陣 A110, B 101 ，且矩陣 X 滿足111110AXA BXBAXBBXAE，求X.四、利用伴隨矩陣進(jìn)行計(jì)算或證明1. 證明下列等式(1) (AT)*(A*)T ；(2)若|A|0,則(A 1)*(A*) 1；（3）| A|0, 則( A 1)T*( A*)T 1；(4)| A |0 , 則 (kA)*k n 1 A* ( k0, A為 n階矩陣）；（5）若 A, B 為同階可逆矩陣，則 ( AB )*B* A*

5、 .2. 設(shè)矩陣 A(aij )3 3 滿足 A*AT , 若 a11, a12 , a13 為三個(gè)相等正數(shù)，則 a11_.五、關(guān)于初等矩陣和矩陣的秩（看教材）第三章矩陣典型例題一、判斷向量組的線性相關(guān)性1. 設(shè) i( i1 , i 2 ,L , in )T (i1,2,L, r ; rn) 是 n 維實(shí)向量，且1,2 ,L , r 線性無關(guān)，已知(b1, b2 ,L ,bn )T 是線性方程組a11 x1a12 x2La1n xn0a21 x1a22 x2 La2 n xn0L Lar1 x1ar 2x2Larn xn0的非零解向量，試判斷向量組1 ,2,L ,r ,的線性相關(guān)性。2.設(shè) 1

6、,2 ,L , n 是 n 個(gè) n 維的線性無關(guān)向量，n1k1 1k22Lkn n ，其中k1, k2 ,L , kn 全不為零，證明1, 2 ,L , n1 中任意 n個(gè)向量均無關(guān)。1111213. 設(shè) A為43矩陣， B為3 3矩陣，且 AB0, 其中 A，證明 B的230012大學(xué)數(shù)學(xué)列向量組線性相關(guān)。4. 設(shè)1,L, n 1為n 1個(gè)線性無關(guān)的 n 維列向量，1和2 是與1 ,2 ,L, n 1均2 ,正交的 n 維非零列向量，證明（ 1） 1 、 2 線性相關(guān)；（2） 1,2,L ,n1， 1線性相關(guān)。二、把一個(gè)向量用一組向量線性表示a11x1a12 x2 La1n xn0證明線性方

7、程組a21x1a22x2 La2n xn0L L的解都是am1 x1am 2 x2L amn xn0b1x1 b2 x2Lbn xn0 的解的充要條件是是 1,2,L,m 的線性組合，其中(b1, b2 ,L, bn ) ， i( i1,i 2 ,L , in )(i1,2,L , m) .三、求向量組的秩1. 給定一個(gè)向量組， 求其一個(gè)極大線性無關(guān)組， 并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。2.已知向量組（ 1） 1, 2 ,3；（2）1,2 ,3 ,4 ；（3） 1,2, 3, 5. 如果各向量組的秩分別是 3、3、4，證明：向量組1 ,2 ,3 , 54 的秩為 4.四、有關(guān)矩陣秩的命題1

8、.設(shè) A 為 m n 實(shí)矩陣，證明： R( A)R( AT A).2.設(shè) A 為 n 階方陣，且滿足 A2A2E ，證明： R( A2E )R( AE) n .綜合題1.設(shè) A 為m n矩陣，B 為n (nm)矩陣，且已知 ABR( A)m, R(B) nm，0，設(shè)是滿足 Ax0 的一個(gè) n 維向量，證明：存在唯一的一個(gè)( n m) 維列向量，使B .2.已知隨機(jī)變量01， P Y0.5 1，又 n 維向量1, 2, 3線性無X 0.750.25關(guān)，求向量 12,223,X 3Y1 線性相關(guān)的概率。第四章線性方程組典型例題大學(xué)數(shù)學(xué)一、基本概念題（解的判定、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)）二、含有參數(shù)的線性方程組的

9、求解三、抽象線性方程組求解a11x1a12 x2 La1,2 n x2n01. 已知線性方程組： ( )a21x1a22 x2La2,2 n x2n0L Lan1 x1an2 x2Lan,2 n x2n0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 (b11 ,b12 ,L, b1,2 n )T ,( b21, b22 ,L,b2,2 n )T ,L,( bn1 , bn2 ,L , bn,2 n )T . 試寫出b11y1b12 y2Lb1,2n y2 n0線性方程組： (b21y1b22 y2Lb2,2 n y2 n0)L L的通解，并說明理由。bn1 y1bn 2 x2Lbn,2n y2n02.已知 4階方陣 A(

10、 1 ,2 ,3 ,4 ),1 ,2 ,3,4 均為 4 維列向量，其中2 ,3 ,4 線性無關(guān)， 1 223 ，如果1234 ，求線性方程組 Ax的通解。四、討論兩個(gè)方程組的公共解x1 x2x301. 設(shè)線性方程組x12 x2ax30與方程 x12x2x3a 1 有公共解，求 a 的值x14x2a2 x30及所有公共解。x1x22x46x1 mx2x3x452. 已知下列非齊次線性方程組( ) 4x1x2x3 x4，x32x4111 ( ) nx23x1x2x33x32x4t 1（ 1）求解方程組 ( ) ，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；（ 2）當(dāng)方程組 ( ) 中的參數(shù) m, n,t 為何

11、值時(shí)，方程組 ( ) 與 ( ) 同解。3.設(shè) A, B 都是 n 階級(jí)矩陣，且 r ( A)r ( B) n ，證明齊次方程組 Ax 0 與 Bx0 有非零公共解。五、討論兩個(gè)方程組解之間的關(guān)系1.Ax 0 與 AT Ax 0 的解的關(guān)系。2.設(shè)有齊次線性方程組 Ax 0 與 Bx0 ，其中 A, B 都是 m n 矩陣，現(xiàn)有 4個(gè)命題：若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，則 r ( A)r (B) ；大學(xué)數(shù)學(xué)若 r (A)r ( B) ，則 Ax0 的解均是 Bx0 的解；若 Ax0 與 Bx0 同解，則 r ( A)r (B) ；若 r (A)r ( B) ，則 Ax0與 Bx0 同解。

12、以上命題中正確的是： (A) (B) (C)(D)六、已知方程組的解，反求系數(shù)矩陣或系數(shù)矩陣中的參數(shù)12121.設(shè)A01tt，且方程組 Ax0 的基礎(chǔ)解系含有 2 個(gè)線性無關(guān)的解向量，1t01求 Ax 0 的通解。21120112.設(shè)A0131,b1 ,，如果 是 Axb 的一個(gè)解，試求 Ax b 的1ac1011通解。七、有關(guān)基礎(chǔ)解系的討論1.設(shè) 1,2,L ,s 為線性方程組 Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，1t1 1t2 2 , 2t1 2t2 3 ,L , st1 st2 1其中 t1 ,t 2 為實(shí)常數(shù)，試問 t1, t2 滿足什么關(guān)系時(shí)， 1 ,2,L ,s 也為 Ax0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系？2

13、. 若矩陣 A 的秩為 r ，其 r 個(gè)列向量為某一齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，B 為r 階非奇異矩陣，證明： AB 的 r 個(gè)列向量也是該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。3. 設(shè)* 是非齊次線性方程組Axb 的一個(gè)解，1 , 2 ,L , n r 是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：（ 1）* , 1 , 2 ,L , n r 線性無關(guān)；（ 2）* , *1 , *2 ,L , *n r 是方程組 Axb 的 nr1個(gè)線性無關(guān)的解；（ 3）方程組 Ax b 的任一解 x ，都可以表示為這 n r 1個(gè)解的線性組合，而且組合系數(shù)之和為 1.八、有關(guān) AB 0的應(yīng)用1221. 已知方陣 A21，三階

14、方陣 B0 滿足 AB0 ，試求的值。311大學(xué)數(shù)學(xué)1232. 已知 3 階矩陣 A 的第一行是 (a,b, c) ， a,b, c 不全為零，矩陣 B 246（ k36k為常數(shù)），且 AB0 ，求線性方程組 Ax0 的通解。綜合題1. 設(shè)矩陣 A(aij )n n , r ( A)n1 ，證明：存在常數(shù)k ，使得 ( A* )2 kA* .2. 已知 n 維向量 1 , 2 ,L , n 中，前 n 1個(gè)向量線性相關(guān)，后 n 1個(gè)向量線性無關(guān)，又12 Ln矩陣 A 1,2 ,L, n 是 n 階矩陣，證明方程組 Ax必有無窮多解，且其任一解1 2nT中必有 an1.(a , a ,L , a)3. 設(shè) n 階方陣 A的列向量組為1, 2,L ,n ， n 階方陣 B 的列向量組為：12 ,23,L , n1試問當(dāng) r (A)n時(shí)，齊次線性方程組 Bx0 是否有非零解？并證明你的結(jié)論。4. 設(shè) A為 mn 矩陣， B 為 ns 矩陣，且 r ( A)n ，證明： r ( AB)r (B).5. 設(shè) A ( aij )3 3 是實(shí)矩陣，滿足：（ 1） Aij( ,j1,2,3)，其中 Aij 為元素 aij的代