線性代數(shù)答案

1、第二章矩陣及其運(yùn)算1 已知線性變換x1 2y12y2y3x2 3y1y25y3x33y12y2 3y3求從變量 x1x2 x3 到變量 y1y2y3 的線性變換解由已知x2 2 1y11y2x23 1 5x33 2 3y2y12 2 11 x17 4 9y1故y23 1 5x26 3 7 y2y3 2 3x332 4y23y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x32已知兩個(gè)線性變換x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y2 2z1 z3x3 4y1 y2 5y3y3z2 3z3求從 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的線性變換解由已知x20

2、1y120 13 1 01x22 3 2y22 3 220 1x341 5y41 501 32z1z2z3613z112 4 9 z210 1 16 z3x16z1z23z3所以有 x212z14z29z3x310z1z216z31111232A 及 ATB3設(shè) A1 11B12 4求 3AB111051111123111解3AB2A3 1 1112 42 111111051111058111213223 05 62 111217202901114292111123058ATB111124 0561110512904 計(jì)算下列乘積4317(1)12325701431747321 135解123

3、217(2)2316570157720 1493(2) (123)2 13解(123)2(132231)(10)12(3)1(1 2)322(1) 222 4解1(12)1(1)121 233(1) 323 6131(4)21 4 001211 3 4131402214 0131678解01211 3 41312056402a11a12 a13 x1(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3解a11a12a13x1(x1 x2 x3) a12 a22a23 x2a13a23a33x3x1(a11x1a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a

4、23x3 a13x1 a23x2 a33x3) x2x3a x2a x2a x22a x x 2a x x 2a x x1112223331212131323235 設(shè) A1 2B1 0問(wèn)1 31 2(1)AB BA 嗎 ?解 ABBA因?yàn)?AB34BA1 2所以 AB BA463 8(2)(A B)2 A2 2AB B2 嗎?解 (A B)2 A2 2AB B2因?yàn)?AB2 22 5( AB)2222 28 14252 514 29但A2 2AB B23 86 81 010 164 118 123 415 27所以 (A B)2 A2 2AB B2(3)(A B)(A B) A2 B2 嗎?

5、解 (A B)(A B) A2 B2因?yàn)?AB2 2A B0 22 50 1( AB)( AB)2 20 20 62 50 10 9而A2 B23 810 284 113 417故(A B)(A B) A2 B26 舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的(1)若 A20 則 A0解 取 A0 1則 A20但 A 00 0(2)若 A2A 則 A0或A E解 取 A1 1則 A2A但A 0且A E0 0(3)若AX AY且 A 0則 X Y解取A1 0X11Y1 10 01 10 1則AXAY且A0 但XY7 設(shè) A1 023Ak1求 AA解 A21 01 0101121A3A2A101 01021131A

6、k10k110求 Ak8 設(shè) A010 0解 首先觀察1010221A20101022000000233 23A3A2A033 2003A4A344 36 2A044 3004A5A455 410 3A055 4005k k k 1k(k1)k2k02Akk k100k用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) k 2 時(shí) 顯然成立假設(shè) k 時(shí)成立，則 k 1 時(shí)，k k k1k(k1)k 21 0Ak 1 Ak A 02kk k 10 100k00k 1 (k1)k 1(k1)kk 10k1(k2k 11)00k 1由數(shù)學(xué)歸納法原理知kk k 1k(k 1)k 2Ak02kk k100k9設(shè) A B 為 n 階矩陣

7、，且 A 為對(duì)稱(chēng)矩陣，證明BTAB 也是對(duì)稱(chēng)矩陣證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 從而 BTAB 是對(duì)稱(chēng)矩陣10 設(shè) A B 都是 n 階對(duì)稱(chēng)矩陣，證明 AB 是對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是 AB BA證明充分性因?yàn)锳T A BT B且AB BA所以(AB)T (BA)T ATBT AB即 AB 是對(duì)稱(chēng)矩陣必要性因?yàn)?AT A BT B且(AB)T AB所以AB (AB)T BTAT BA11 求下列矩陣的逆矩陣(1) 1 22 5解A12|A| 1故 A1存在因?yàn)?5A*A11A2152A12A2221故A 11 A*52| A|2 1(2)cossins

8、incos解Ac o ss i n|A| 10 故 A1存在 因?yàn)閟 i nc o sA*A11A21cossinA12A22sincos所以A 11 A*cossin| A|sincos121(3)342541A121|A|20故A1存在解342因?yàn)?41A11 A21 A31420A*A12 A22 A321361A13 A23 A33321421 A*210所以A 113 31| A|2216 71a1 a02(a1a2an0)(4)0ana10Aa2解由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知0an110a1A1a201an12 解下列矩陣方程(1)2 5X461 3212 5163546223解X41 32

9、112210821111 3(2)X 21043211111 32111解X2104321111 11 31012 3234323 302 218 5233(3)14X2 031121 1011411201解X31 2011 1124311 01211011 216 61 01110123 01 240 1 01 0 0143(4)1 0 0X0 0 12010 0 10 1 0120114310 1 01 0 0解X10020 10 0 10 0 11200 1 00 1 01431 0 02101 0 02010 0 11340 0 11200 1 010213 利用逆矩陣解下列線性方程組

10、x12x23x31(1) 2x1 2x2 5x3 23x1 5x2 x3 3解方程組可表示為1 2 3x112 2 5x223 5 1x33x1123111故x222520x335 130x11從而有x20x30x1x2x32(2) 2x1 x2 3x3 13x1 2x2 5x3 0解方程組可表示為111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314 設(shè) Ak O (k 為正整數(shù) )證明(E A)1 E A A2Ak 1證明因?yàn)?Ak O 所以 E AkE 又因?yàn)镋 Ak (E A)(E A A2Ak 1)所以(E A)(E A A2Ak

11、 1)E由定理 2推論知 (E A)可逆且(EA)1EAA2Ak 1證明一方面有E (E另一方面由 Ak O有E (E A) (A A2) A2A)1(EA)Ak 1(Ak 1Ak)(EAA2A k 1)(EA)故(E A)1(EA) (E A A2Ak 1)(E A)兩端同時(shí)右乘 (E A) 1就有(E A) 1(E A) E A A2Ak 115 設(shè)方陣 A滿(mǎn)足 A2 A 2E O 證明 A及 A 2E都可逆 并求 A 1及(A 2E) 1證明由 A2A2E O得A2A2E即 A(A E)2E或A 1(AE)E2由定理 2推論知 A可逆 且A11(A E)2由A2 A 2E O得A2A 6

12、E4E 即 (A 2E)(A 3E)4E或( A2E) 1(3E A)E4由定理 2 推論知 (A2E)可逆且(A 2E) 11(3E A)4即故證明由A2 A 2E O得|A2 A| 2|A|A E| 2|A| 0A2A 2E兩端同時(shí)取行列式得所以 A 可逆而 A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0故 A 2E 也可逆由A2A2EO A(AE)2EA 1A(A E) 2A 1EA1 1(A E)2又由A2A2EO(A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A3E)4 E所以(A 2E) 1(A 2E)(A3E)4(A 2 E)1(A 2E) 11(3EA)416設(shè)A為3階矩

13、陣|A|1 求 |(2A) 15A*|2解因?yàn)?A11 A*所以| A|(2A) 15A*| |1A 15|A|A 1| |1 A 15A 1|222| 2A1|(2)3|A 1|8|A| 182 1617 設(shè)矩陣 A 可逆 證明其伴隨陣 A*也可逆 且 (A*) 1 (A 1)*證明由A11A* 得 A* |A|A 1所以當(dāng) A 可逆時(shí)有| A|A*| |A|n|A 1|A|n 1 0從而A* 也可逆因?yàn)锳*|A|A1所以(A*)1|A|1A又A1|A1|(A1)*|A|(A1) *所以(A*) 1 |A| 1A |A| 1|A|(A 1)*(A 1)*18 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為

14、 A* 證明(1)若|A| 0則 |A*|0(2)|A*|A|n 1證明(1)用反證法證明假設(shè) |A*| 0則有 A*( A*) 1 E由此得AA A*( A*)1|A|E(A*) 1O所以A* O這與 |A*| 0 矛盾，故當(dāng) |A| 0 時(shí) 有|A*|0(2)由于 A 11 A*則 AA* |A|E 取行列式得到|A|A|A*|A|n若|A| 0則 |A*|A|n 1若 |A| 0 由 (1)知|A*| 0 此時(shí)命題也成立因此 |A*|A|n 103319設(shè)A 110 ABA2B求 B1 23解由AB A2E 可得 (A 2E)BA故23313 303 30B (A 2E)1 A 11 0

15、11 01 2 31211 2 311 01 0 1且ABEA2B 求B20 設(shè)A 0201 0 1解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)因?yàn)?|AE |0 0 11 0 所以(AE)可逆01 0從而1 0 02 0 1BAE0 3 01 0 221設(shè) A diag(12 1) A*BA 2BA8E 求B解由 A* BA 2BA8E 得(A*2E)BA8EB8(A*2E) 1A 18A(A*2E) 18(AA*2A) 18(|A|E2A) 18(2E2A) 14(EA) 14diag(212)14diag(1 ,1, 1)2 2 2diag(1 2

16、1)100022已知矩陣 A的伴隨陣 A*010 0101003 0 8且ABA1 BA1 3E求B解由 |A*| |A|3 8得|A| 2由ABA1 BA1 3E得ABB3AB 3(A E) 1A 3A(EA 1) 1A3(E1A*) 16(2EA*) 1210 0016 0 00601 000 6 001 0 106 0 6003 060 3 0123設(shè) P1AP其中P141 011110 2求 A解由P1AP得 A PP 1所以 A11 A=P11P 1.|P| 3P*1 4P 11141 13111 0111 0而110 20 2111410142731 2732故A113311021

17、1116836843324設(shè)AP P其中 P111110211115求 (A) A8(5E 6A A2)解( )8(5E 62)diag(1 1 58)diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0)(A) P ()P11 P()P*| P|1111 0 02222 1020 0 03031110 0 01211 1 141111 1 125 設(shè)矩陣 A、B及A B都可逆 證明 A1 B1也可逆 并求其逆陣證明因?yàn)锳 1(AB)B1B1A1A1B111而 A (A B)B是三個(gè)可逆矩陣的乘積

18、所以A1(AB)B1可逆即A1 B1可逆(A 1B1)1A 1(AB)B 1 1 B(A B) 1A1 21 01 03126 計(jì)算01 010 12100210 02300030 003解設(shè) A112A22 1B131B223010 32103則A1E EB1A1 A1B1 B2O A2O B2O A2B2而A1B1 B21 23123520 1210324A2B22 123430 303091 252所以A1E EB1A1 A1B1 B20 124O A2O B2O A2B20 0430 00912101 0311 252即01010 1210 12400210 0230 04300030 0030 00927取ABC D1 0驗(yàn)證A B |A| |B|0 1C D |C| |D|101 0200 0解AB 0101 020020104CD 1010 1010 020101 0 101 0 1而|A| |B|1 10|C| |D|1 1故AB|A| |B|CD|C| |D |34O28設(shè) A4384O2 0求|A |及 A2 2