反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合復習

1、 反比例函數(shù)與一次函數(shù)考點一、平面直角坐標系1. 平面直角坐標系平面內(nèi)兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標系，坐標平面內(nèi)一點對應的有序?qū)崝?shù)對叫做這點的坐標.在平面內(nèi)建立了直角坐標系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對）緊密結(jié)合起來.2各象限內(nèi)點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點點P(x,y)在第一象限；點P(x,y)在第二象限；點P(x,y)在第三象限；點P(x,y)在第四象限；點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)；點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)；點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）.3. 兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的

2、特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù).4. 和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.5. 關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；點P與點p關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；點P與點p關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù).6. 點P(x,y)到坐標軸及原點的距離（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.7. 在平面

3、直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式如果直角坐標平面內(nèi)有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：考點二、函數(shù)1. 函數(shù)的概念設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它相對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.2. 自變量的取值范圍對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數(shù)學問題，自變量取值應保證數(shù)學式子有意義.3表示方法解析法；列表法；圖象法.4畫函數(shù)圖象（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值；（2）

4、描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.考點三、幾種基本函數(shù)（定義圖象性質(zhì)）1. 正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的正比例函數(shù)（2）正比例函數(shù)y=kx（ k0)的圖象：過（0，0），（1，K）兩點的一條直線 （3）正比例函數(shù)y=kx （k0)的性質(zhì)當k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小 .2. 一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k0),那么y叫做x的一次函數(shù)（2

5、）一次函數(shù)y=kx+b（k0)的圖象 （3）一次函數(shù)y=kx+b（k0)的圖象的性質(zhì)一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過(0，b)點和點的一條直線當k>0時，y隨x的增大而增大；當 k<0時，y隨x的增大而減?。?）用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為axb0(a，b為常數(shù)，a0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)ykxb(k，b為常數(shù)，k0)，當y0時，求相應的自變量的值，從圖象上看，相當于已知直線ykxb，確定它與x軸交點的橫坐標二元一次方程組對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)值相等，以及這

6、兩個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化axb0或axb0(a、b為常數(shù)，a0)的形式，解一元一次不等式可以看做：當一次函數(shù)值大于0或小于0時，求自變量相應的取值范圍3. 反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).三種形式：(k0)或(k0)或xy=k(k0).（2）反比例函數(shù)解析式的特征：等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式.分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1；比例系數(shù)；自變量的取值為一切非零實數(shù)；函數(shù)的取值是一切非零實數(shù).（3）反比例函數(shù)的圖象圖象的畫法：描點法

7、列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）；描點（由小到大的順序）；連線（從左到右光滑的曲線）.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交.反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是和）和中心對稱圖形（對稱中心是坐標原點）.反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線 （）上任意點引軸、軸的垂線，所得矩形面積為.（4）反比例函數(shù)性質(zhì)：反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像 性質(zhì)x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限.

8、在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小.x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限.在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大.（5）反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對對應值或圖象上一個點的坐標即可求出）（6）“反比例關系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個變量必成反比例關系.（7）反比例函數(shù)的應用反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點 作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=. .（8）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題若正比例

9、函數(shù)(0)，反比例函數(shù)，則當時，兩函數(shù)圖象無交點；當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，坐標分別為(，)，(，)由此可知，正反比例函數(shù)的圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱類型一、坐標平面有關的計算1已知點A(a，-5)，B(8，b)，根據(jù)下列要求確定a，b的值.（1）A，B兩點關于y軸對稱；（2）A，B兩點關于原點對稱；（3）ABx軸；（4）A，B兩點都在一、三象限的角平分線上【變式】已知點A的坐標為(-2，-1)（1）如果B為x軸上一點，且，求B點的坐標；（2）如果C為y軸上的一點，并且C到原點的距離為3，求線段AC的長；（3）如果D為函數(shù)y2x-1圖象上一點，求D點的坐標2已知：如圖所示，（1）寫

10、出ABC三個頂點的坐標；（2）作出ABC關于x軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標；（3）作出ABC關于y軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標 【變式】如圖所示，ABC的頂點坐標分別為A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如將B點向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達B1點，若設ABC的面積為S1，AB1C的面積為S2，則S1，S2的大小關系為( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能確定 3（1）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，以B1B2為對角線作第一個正方形A1B1C1B2，以B2B3為

11、對角線作第二個正方形A2B2C2B3，以B3B4為對角線作第三個正方形A3B3C3B4，如果所作正方形的對角線都在y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點都在第一象限內(nèi)(n1，且n為整數(shù))，那么A1的縱坐標為_，用n的代數(shù)式表示的縱坐標為_；（2）若設的坐標為(x，y)，求y關于x的函數(shù)關系式 類型二、一次函數(shù)4周末，小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊游從家出發(fā)0.5小時后到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地小明離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，如圖是他們離家的路程y（km）與小明離家時間x（h）的函數(shù)圖象已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍（1）求小明騎車的速度和在甲地游玩的時

12、間；（2）小明從家出發(fā)多少小時后被媽媽追上？此時離家多遠？（3）若媽媽比小明早10分鐘到達乙地，求從家到乙地的路程 【變式1】（1）直線y2x+1向下平移2個單位，再向右平移2個單位后的直線的解析式是_.（2）直線y2x+1關于x軸對稱的直線的解析式是_； 直線y2x+l關于y軸對稱的直線的解析式是_； 直線y2x+1關于原點對稱的直線的解析式是_（3）如圖所示，已知點C為直線yx上在第一象限內(nèi)一點，直線y2x+1交y軸于點A，交x軸于B，將直線AB平移后經(jīng)過(3，4)點，則平移后的直線的解析式是_5已知點A(，1)，B(0，0)，C(，0)，AE平分BAC，交BC于點E，則直線AE對應的函數(shù)

13、解析式是( )A. B. C. D. 【變式】已知：如圖所示，在直角坐標平面內(nèi)，O為原點，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，4)，直線CMx軸點B與點A關于原點對稱，直線yx+b(b為常數(shù))經(jīng)過點B，且與直線CM相交于點D，連接OD（1）求b的值和點D的坐標（2）設點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點P的坐標 類型三、反比例函數(shù)6已知函數(shù)和ykx+1(k0)（1）若這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，a)，求a和k的值；（2）當k取何值時，這兩個函數(shù)的圖象總有公共點?【變式】已知正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象有一個交點的橫坐標是2（1）求兩個函數(shù)圖象的

14、交點坐標；（2）若點，是反比例函數(shù)圖象上的兩點，且，試比較的大小 7如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tanBOA=（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長【變式1】已知：如圖，正比例函數(shù)yax的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A(3，2)（1）求上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當x取何值時，反

15、比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；（3）M(m，n)是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0m3，過點M作直線MBx軸，交y軸于點B；過點A作直線ACy軸交x軸于點C，交直線MB于點D當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關系，并說明理由 類型四、函數(shù)綜合應用8如圖，直線（0）與雙曲線（0）在第一象限的一支相交于A、B兩點，與坐標軸交于C、D兩點，P是雙曲線上一點，且.（1）試用、表示C、P兩點的坐標；（2）若POD的面積等于1，試求雙曲線在第一象限的一支的函數(shù)解析式；（3）若OAB的面積等于，試求COA與BOD的面積之和. 9已知直線(n是不為零的自然數(shù))當n1時，直線與x軸和y軸

16、分別交于點A1和B1，設A1OB1(其中O是平面直角坐標系的原點)的面積為S1；當n2時，直線與x軸和y軸分別交于點A2和B2，設A2OB2的面積為S2，依此類推，直線與x軸和y軸分別交于點An和Bn，設AnOBn的面積為Sn（1）求的面積S1；（2）求S1+S2+S3+S6的面積10如圖，已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和軸、軸分別交于點A和點B，且OAOB1.這條曲線是函數(shù)的圖像在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（、），由點P向軸、軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F.（1）分別求出點E、F的坐標（用的代數(shù)式表示點E的坐標，用的代數(shù)式表示點F的坐標，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計算過程）；（2）求OEF的面積（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）；（3）AOF與BOE是否一定相似，請予以證明.如